一階微分方程的初等解法53129

1、第二章 一階微分方程的初等解法例2-1 求的通解。解 解法1 不定積分法。令,，則 ，所以該方程為恰當(dāng)方程。，關(guān)于積分，得，所以通解為。解法2 公式法利用恰當(dāng)方程求解方法3中公式得方程通積分為解法3 分組法去括號重新分組可得積分，得原方程的通解為 。評注：求解一個對稱形式方程的時候，首先應(yīng)當(dāng)判定它是不是恰當(dāng)方程，如果是，則就可以直接進(jìn)行求解，否則求其積分因子將方程化為恰當(dāng)方程來求解。實際應(yīng)用中，往往在判斷一個方程為恰當(dāng)方程之后，并不需要嚴(yán)格按照解法1和解法2的常規(guī)方法求解，而可以采用分項組合的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項分出，再把剩下的項湊成全微分，這樣可以簡化運(yùn)算量，因此需要熟悉以下二

2、元函數(shù)的全微分公式：， ， ，。例2-2 求方程的通解。解 經(jīng)判斷 ，所以該方程不是恰當(dāng)方程。分組得顯然前兩項具有積分因子，相應(yīng)的全微分為，要使得成立。只需取，即可，這樣就找到了一個積分因子。原方程兩邊同乘，可得，所以通解為 。評注：當(dāng)一個方程不是恰當(dāng)方程時，尋求積分因子便成了求解此類方程的一個有效途徑，分組組合法降低了尋找積分因子的難度，這就要求大家熟悉常見的二元函數(shù)的全微分公式。例2-3 求方程的通解。解 由于，所以原方程不是恰當(dāng)方程。解法1 可將原方程改寫為 ，左端有積分因子或，但考慮到右端只與變量有關(guān)，故取為方程的積分因子，因此有，兩邊積分可得通解 ，易見也是原方程的解。解法2 也可將

3、原方程改寫為，這是齊次方程。令，即可進(jìn)行求解。解法3 將看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程 ，從而可就進(jìn)行求解。解法4由于，只與有關(guān)，所以存在關(guān)于的積分因子，以乘以方程兩端，得到 ，為恰當(dāng)方程，即，因而通解為 ，另外，易見也是原方程的解。評注：解法1體現(xiàn)了選取積分因子的一般原則，如果積分因子選取恰當(dāng)，則解方程的難度就會降低；解法2運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，將原方程化為可分離變量的方程；解法3體現(xiàn)了在求解常微分方程時，變量和具有同等重要的地位，有時侯將看成的函數(shù)，則方程很容易就求解；當(dāng)判定只與 有關(guān)或者只與有關(guān)時，運(yùn)用解法4可以很方便地求出積分因子，但必須注意乘以積分因子可能出現(xiàn)使此積分因子為零的多余特

4、解，同時應(yīng)該注意在對方程作同解變形時，會不會產(chǎn)生漏解的情況，如果漏掉則應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，例如上例當(dāng)中的。例2-4 證明方程有形如的積分因子的充要條件是，并求出這個積分因子。證 由定理2.2，方程有積分因子的充要條件是 。令，則有即滿足下列微分方程 ，上式右端應(yīng)為的函數(shù)，這就證明了為方程的積分因子的充要條件為。求解一階方程 ，得積分因子為 。評注：此例對于探索積分因子極為有用。若令，則可分別獲得方程 具有以下形式積分因子的充分必要條件分別為，。例2-5 求方程的通解。解 對第一項，可以取，乘以得，因此可取第一項的積分因子通式為。同理第二項的積分因子通式為。容易看出，若取，則兩項的積分因子相等為這就是方程

5、的積分因子。 如果不易觀察到所需的，我們可以嘗試用下面方法。現(xiàn)設(shè)，我們選擇使得成立。比較兩邊的次數(shù)，得 ，從而求得 。因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是。將所求積分因子乘原方程兩端得，即有 ，故通解是 。評注：用分組法求積分因子的關(guān)鍵在于方程恰當(dāng)分組和尋求各組的共同積分因子。例2-6 求下列方程的通解。1） 2） 解 1） 解法1 設(shè)有積分因子，則為恰當(dāng)方程，于是，比較系數(shù)可得，解之得，因此，積分因子為。將所求積分因子乘以分組后方程得 ，即有 ，容易得出原方程的通積分是。解法2 方程各項重新組合為 ，對第一個括號，可以取，乘以得，因此可取第一個括號的積分因子的通式為。同理第二個括號的

6、積分因子的通式為?，F(xiàn)設(shè)，我們選擇使得=成立。比較兩邊的次數(shù)，得 ，從而求得 。因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是。接下來同解法1，略。2） 方程各項重新組合為 ，對第一個括號，可以取，乘以得，因此可取第一個括號的積分因子通式為。同理第二個括號的積分因子通式為?，F(xiàn)設(shè)，我們選擇使得成立。比較兩邊的次數(shù)，得 ，從而求得 。因此兩項的公共積分因子，即原方程的積分因子是。將所求積分因子乘以分組后方程得 ，即有 容易得出通積分是或。評注：待定指數(shù)法提供了當(dāng)對稱形式方程的系數(shù)為多項式時求積分因子的一個一般性方法，具有一定的實用價值。如果通過比較指數(shù)法解不出和，或者和得表達(dá)式比較復(fù)雜，這時可以考慮利

7、用分組法來求積分因子。例2-7 解方程 。解 方程各項重新組合為 ，此時，可令，上方程化為，解之得 ，回代變量得原方程的通積分為，另外也是方程的解。評注：通過變量變換，降低了方程的求解難度，但是究竟采用怎樣的變換，一般而言，沒有規(guī)律可循。從此例中我們可以看到，有時可將方程變形，在這個過程中觀察其特點，尋找恰當(dāng)?shù)淖儞Q。例2-8 求解方程。解 設(shè)，原方程寫為 （1）兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到，化簡后得到，由此可得或把代入（1），得原方程的一個特解；由方程，解得，代入（1），得到原方程的通解。評注：屬于第一類能解出(或)的方程 ，引進(jìn)參數(shù) ，則原方程變?yōu)?，兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到的關(guān)系式。注意要全面考察這個關(guān)系

8、式，有的已經(jīng)是的直接表示式，對應(yīng)方程的奇解；而有的還須求解關(guān)于的微分方程，對應(yīng)方程的通解。例2-9 求解方程 。解 這是隱式方程的求解問題。令，則 ，代入原方程，得整理得方程，即這是關(guān)于的克萊洛方程，其通解為，奇解為。從而可得原方程的通解和奇解分別為。評注：運(yùn)用適當(dāng)?shù)淖儞Q將方程轉(zhuǎn)化為可積類型或一些特殊方程，從而即可求解原方程，這就需要熟悉常見的可積方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。例2-10 求滿足下列關(guān)系式的函數(shù)。1） 2） 解 1） 給方程兩端關(guān)于求導(dǎo)得，則求解積分方程就等價于求解初值問題。 解上面微分方程得其通解為 ，即 。滿足初始條件的解為。2） 給方程兩端關(guān)于求導(dǎo)得，對上方程兩端關(guān)于再求導(dǎo)得。這樣，求解原積分方程就等價于求解初值問題。 方程是迫努利方程，兩端同除以，變形為，即解之得方程 得通解為 即 。故滿足初始條件的解為 。評注：本題是一類積分方程的求解問題，通常是通過對方程關(guān)于求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題。需要熟悉變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式和