機器人正運動學(xué)方程的D-H表示法

1、2.8機器人正運動學(xué)方程的D-H表示法在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”發(fā)表了一篇論文，后來利用這篇論文來對機器人進(jìn)行表示和建模，并導(dǎo)出了它們的運動方程，這已成為表示機器人和對機器人運動進(jìn)行建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，所以必須學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。Denavit-Hartenberg(D-H模型表示了對機器人連桿和關(guān)節(jié)進(jìn)行建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機器人構(gòu)型，而不管機器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。它也可用于表示已經(jīng)討論過的在任何坐標(biāo)中的變換，例如直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)及RPY坐標(biāo)等。另外，它也可以用

2、于表示全旋轉(zhuǎn)的鏈?zhǔn)綑C器人、SCARA機器人或任何可能的關(guān)節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對機器人直接建模會更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好處，使用它已經(jīng)開發(fā)了許多技術(shù)，例如，雅克比矩陣的計算和力分析等。假設(shè)機器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成。這些關(guān)節(jié)可能是滑動（線性）的或旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動）的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長度（包括零），它可能被彎曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一組關(guān)節(jié)和連桿都可以構(gòu)成一個我們想要建模和表示的機器人。為此，需要給每個關(guān)節(jié)指定一個參考坐標(biāo)系，然后，確定從一個關(guān)節(jié)到下一個關(guān)節(jié)（一個坐標(biāo)系到下一個坐標(biāo)系）來進(jìn)行變換的步驟。如果將從基

3、座到第一個關(guān)節(jié)，再從第一個關(guān)節(jié)到第二個關(guān)節(jié)直至到最后一個關(guān)節(jié)的所有變換結(jié)合起來，就得到了機器人的總變換矩陣。在下一節(jié)，將根據(jù)D-H表示法確定一個一般步驟來為每個關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系，然后確定如何實現(xiàn)任意兩個相鄰坐標(biāo)系之間的變換，最后寫出機器人的總變換矩陣。圖2.25 通用關(guān)節(jié)連桿組合的D-H表示假設(shè)一個機器人由任意多的連桿和關(guān)節(jié)以任意形式構(gòu)成。圖2.25表示了三個順序的關(guān)節(jié)和兩個連桿。雖然這些關(guān)節(jié)和連桿并不一定與任何實際機器人的關(guān)節(jié)或連桿相似，但是他們非常常見，且能很容易地表示實際機器人的任何關(guān)節(jié)。這些關(guān)節(jié)可能是旋轉(zhuǎn)的、滑動的、或兩者都有。盡管在實際情況下，機器人的關(guān)節(jié)通常只有一個自由度，但圖2

4、.25中的關(guān)節(jié)可以表示一個或兩個自由度。圖2.25（a）表示了三個關(guān)節(jié)，每個關(guān)節(jié)都是可以轉(zhuǎn)動或平移的。第一個關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n，第二個關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+1，第三個關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+2。在這些關(guān)節(jié)的前后可能還有其他關(guān)節(jié)。連桿也是如此表示，連桿n位于關(guān)節(jié)n-1與n+1之間，連桿n+1位于關(guān)節(jié)n+1與n+2之間。為了用D-H表示法對機器人建模，所要做的第一件事是為每個關(guān)節(jié)指定一個本地的參考坐標(biāo)系。因此，對于每個關(guān)節(jié)，都必須指定一個z軸和x軸，通常并不需要指定y軸，因為y軸總是垂直于x軸和z軸的。此外，D-H表示法根本就不用y軸。以下是給每個關(guān)節(jié)指定本地參考坐標(biāo)系的步驟： 所有關(guān)節(jié)，無一例外的用z軸表示。如果關(guān)

5、節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，z軸位于按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)的方向。如果關(guān)節(jié)是滑動的，z軸為沿直線運動的方向。在每一種情況下，關(guān)節(jié)n處的z軸（以及該關(guān)節(jié)的本地參考坐標(biāo)系）的下標(biāo)為n-1。例如，表示關(guān)節(jié)n+1的z軸是。這些簡單規(guī)則可使我們很快地定義出所有關(guān)節(jié)的z軸。對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，繞z軸的旋轉(zhuǎn)（角）是關(guān)節(jié)變量。對于滑動關(guān)節(jié)，沿z軸的連桿長度d是關(guān)節(jié)變量。 如圖2.25（a）所示，通常關(guān)節(jié)不一定平行或相交。因此，通常z軸是斜線，但總有一條距離最短的公垂線，它正交于任意兩條斜線。通常在公垂線方向上定義本地參考坐標(biāo)系的x軸。所以如果表示與之間的公垂線，則的方向?qū)⒀?。同樣，在與之間的公垂線為，的方向?qū)⒀亍Ｗ⒁庀噜応P(guān)節(jié)之間的公垂線不

6、一定相交或共線，因此，兩個相鄰坐標(biāo)系原點的位置也可能不在同一個位置。根據(jù)上面介紹的知識并考慮下面例外的特殊情況，可以為所有的關(guān)節(jié)定義坐標(biāo)系。 如果兩個關(guān)節(jié)的z軸平行，那么它們之間就有無數(shù)條公垂線。這時可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線，這樣做就可以簡化模型。 如果兩個相鄰關(guān)節(jié)的z軸是相交的，那么它們之間就沒有公垂線（或者說公垂線距離為零）。這時可將垂直于兩條軸線構(gòu)成的平面的直線定義為x軸。也就是說，其公垂線是垂直于包含了兩條z軸的平面的直線，它也相當(dāng)于選取兩條z軸的叉積方向作為x軸。這也會使模型得以簡化。在圖2.25（a）中，角表示繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離

7、，a表示每一條公垂線的長度（也叫關(guān)節(jié)偏移量），角表示兩個相鄰的z軸之間的角度 （也叫關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)）。通常，只有和d是關(guān)節(jié)變量。下一步來完成幾個必要的運動，即將一個參考坐標(biāo)系變換到下一個參考坐標(biāo)系。假設(shè)現(xiàn)在位于本地坐標(biāo)系，那么通過以下四步標(biāo)準(zhǔn)運動即可到達(dá)下一個本地坐標(biāo)系。（1）繞軸旋轉(zhuǎn)（如圖2.25（a）與（b）所示），它使得和互相平行，因為和都是垂直于軸的，因此繞軸旋轉(zhuǎn)使它們平行（并且共面）。（2）沿軸平移距離，使得和共線（如圖2.25（c）所示）。因為和已經(jīng)平行并且垂直于，沿著移動則可使它們互相重疊在一起。（3）沿軸平移的距離，使得和的原點重合（如圖2.25（d）和（e）所示）。這是兩個參考坐標(biāo)

8、系的原點處在同一位置。（4）將軸繞軸旋轉(zhuǎn)，使得軸與軸對準(zhǔn)（如圖2.25（f）所示）。這時坐標(biāo)系n和n+1完全相同（如圖2.25（g）所示）。至此，我們成功的從一個坐標(biāo)系變換到了下一個坐標(biāo)系。在n+1和n+2坐標(biāo)系間嚴(yán)格地按照同樣的四個運動順序可以將一個坐標(biāo)變換到下一個坐標(biāo)系。如有必要，可以重復(fù)以上步驟，就可以實現(xiàn)一系列相鄰坐標(biāo)系之間的變換。從參考坐標(biāo)系開始，我們可以將其轉(zhuǎn)換到機器人的基座，然后到第一個關(guān)節(jié)，第二個關(guān)節(jié)，直至末端執(zhí)行器。這里比較好的一點是，在任何兩個坐標(biāo)系之間的變換均可采用與前面相同的運動步驟。通過右乘表示四個運動的四個矩陣就可以得到變換矩陣A，矩陣A表示了四個依次的運動。由于所

9、有的變換都是相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的（即他們都是相對于當(dāng)前的本地坐標(biāo)系來測量與執(zhí)行），因此所有的矩陣都是右乘。從而得到結(jié)果如下： （2.51） （2.52）比如，一般機器人的關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3之間的變換可以簡化為： （2.53）在機器人的基座上，可以從第一個關(guān)節(jié)開始變換到第二個關(guān)節(jié)，然后到第三個，再到機器人的手，最終到末端執(zhí)行器。若把每個變換定義為，則可以得到許多表示變換的矩陣。在機器人的基座與手之間的總變換則為： （2.54）其中n是關(guān)節(jié)數(shù)。對于一個具有六個自由度的機器人而言，有6個A矩陣。為了簡化A矩陣的計算，可以制作一張關(guān)節(jié)和連桿參數(shù)的表格，其中每個連桿和關(guān)節(jié)的參數(shù)值可從機器人的原理示意圖上確定，

10、并且可將這些參數(shù)代入A矩陣。表2.1可用于這個目的。在以下幾個例子中，我們將建立必要的坐標(biāo)系，填寫參數(shù)表，并將這些數(shù)值代入A矩陣。首先從簡單的機器人開始，以后再考慮復(fù)雜的機器人。表2.1 D-H參數(shù)表#da123456例2.18 對于如圖2.26所示的簡單機器人，根據(jù)D-H表示法，建立必要的坐標(biāo)系，并填寫相應(yīng)的參數(shù)表。解：為方便起見，在此例中，假設(shè)關(guān)節(jié)2，3和4在同一平面內(nèi)，即它們的圖2.26 具有六個自由度的簡單鏈?zhǔn)綑C器人圖2.27 簡單六個自由度鏈?zhǔn)綑C器人的參考坐標(biāo)系圖2.28 簡單六個自由度鏈?zhǔn)綑C器人的參考坐標(biāo)系線圖從關(guān)節(jié)1開始，表示第一個關(guān)節(jié)，它是一個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。選擇與參考坐標(biāo)系的x軸平

11、行，這樣做僅僅是為了方便，是一個固定的坐標(biāo)軸，表示機器人的基座，它是不動的。第一個關(guān)節(jié)的運動是圍繞著-軸進(jìn)行的，但這兩個軸并不運動。接下來，在關(guān)節(jié)2處設(shè)定，因為坐標(biāo)軸和是相交的，所以垂直于和。在和之間的公垂線方向上，在和之間的公垂線方向上，類似地，在和之間的公垂線方向上。最后，和是平行且共線的。表示關(guān)節(jié)6的運動，而表示末端執(zhí)行的運動。通常在運動方程中不包含末端執(zhí)行器，但應(yīng)包含末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系，這是因為它可以容許進(jìn)行從坐標(biāo)系出發(fā)的變換。同時也要注意第一個和最后一個坐標(biāo)系的原點的位置，它們將決定機器人的總變換方程?？梢栽诘谝粋€和最后的坐標(biāo)系之間建立其他的（或不同的）中間坐標(biāo)系，但只要第一個和最后

12、的坐標(biāo)系沒有改變，機器人的總變換便是不變的。應(yīng)注意的是，第一個關(guān)節(jié)的原點并不在關(guān)節(jié)的實際位置，但證明這樣做是沒有問題的，因為無論實際關(guān)節(jié)是高一點還是低一點，機器人的運動并不會有任何差異。因此，考慮原點位置時可不用考慮基座上關(guān)節(jié)的實際位置。接下來，我們將根據(jù)已建立的坐標(biāo)系來填寫表2.2中的參數(shù)。參考前一節(jié)中任意兩個坐標(biāo)系之間的四個運動的順序。從開始，有一個旋轉(zhuǎn)運動將轉(zhuǎn)到了，為使得與軸重合，需要沿和沿的平移均為零，還需要一個旋轉(zhuǎn)將轉(zhuǎn)到，注意旋轉(zhuǎn)是根據(jù)右手規(guī)則進(jìn)行的，即將右手手指按旋轉(zhuǎn)的方向彎曲，大拇指的方向則為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的方向。到了這時，就變換到了。接下來，繞旋轉(zhuǎn)，將轉(zhuǎn)到了，然后沿軸移動距離，使坐

13、標(biāo)系原點重合。由于前后兩個z軸是平行的，所以沒有必要繞x軸旋轉(zhuǎn)。按照這樣的步驟繼續(xù)做下去，就能得到所需要的結(jié)果。必須要認(rèn)識到，與其他機械類似，機器人也不會保持原理圖中所示的一種構(gòu)型不變。盡管機器人的原理圖是二維的，但必須要想象出機器人的運動，也就是說，機器人的不同連桿和關(guān)節(jié)在運動時，與之相連的坐標(biāo)系也隨之運動。如果這時原理圖所示機器人構(gòu)型的坐標(biāo)軸處于特殊的位姿狀態(tài)，當(dāng)機器人移動時它們又會處于其他的點和姿態(tài)上。比如，總是沿著關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4之間連線的方向。當(dāng)機器人的下臂繞關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)而運動。在確定參數(shù)時，必須記住這一點。表2.2 例2.19機器人的參數(shù)#da1009020030040-90500906000表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，d表示滑動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。因為這個機器人的關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)的，因此所有關(guān)節(jié)變量都是角度。通過簡單地從參數(shù)表中選取參數(shù)代入A矩陣，便可寫出每兩個相鄰關(guān)節(jié)之間的變換。例如，在坐標(biāo)系0和1之間的變換矩陣可通過將（sin=1,cos=0, =）以及指定為等代入A矩陣得到，對其他關(guān)節(jié)的矩陣也是這樣，最后得： （2.55） 特別注意：為簡化最后的解，將用到下列三角函數(shù)關(guān)系式： （2.56）在機器人的基座和手之間的總變換為： （2.57）例