數(shù)學(xué)培優(yōu)專題24平面幾何的定值問題

1、專題24 平面幾何的定值問題【閱讀與思考】 所謂定值問題，是指按照一定條件構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)某些幾何元素按一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時(shí)，與它有關(guān)的元素的量保持不變（或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變）. 幾何定值問題的基本特點(diǎn)是：題設(shè)條件中都包含著變動(dòng)元素和固定元素，變動(dòng)元素是指可變化運(yùn)動(dòng)的元素，固定元素也就是“不變量”，有的是明顯的，有的是隱含的，在運(yùn)動(dòng)變化中始終沒有發(fā)生變化的元素，也就是我們要探求的定值.解答定值問題的一般步驟是：1.探求定值；2.給出證明.【例題與求解】【例1】 如圖，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧上任意一點(diǎn).求證：為定值.解題思路：線段的和差倍分考慮截長補(bǔ)

2、短，利用圓的基本性質(zhì)，證明三角形全等. 【例2】 如圖，AB為O的一固定直徑，它把O分成上、下兩個(gè)半圓，自上半圓上一點(diǎn)C作弦CDAB，OCD的平分線交O于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在上半圓（不包括A，B兩點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P（ ） A.到CD的距離保持不變 B.位置不變 C.等分 D.隨C點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)（濟(jì)南市中考試題）解題思路：添出圓中相關(guān)輔助線，運(yùn)用圓的基本性質(zhì)，用排除法得出結(jié)論. 【例3】 如圖，定長的弦ST在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)，M是ST的中點(diǎn)，P是S對(duì)AB作垂線的垂足.求證：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）解題思路：不管ST滑到什么位置，SOT的度數(shù)是定值.從

3、探尋SPM與SOT的關(guān)系入手. 【例4】 如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角AOB=90°.點(diǎn)C是上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDOA于點(diǎn)D，作CEOB于點(diǎn)E.連接DE，點(diǎn)G，H在線段DE上，且DG=GH=HE.（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在CD，CG，DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請(qǐng)求出該線段的長度；（3）求證：CD2+3CH2是定值. （廣州市中考試題）解題思路：延長OG交CD于N，利用題中的三等分點(diǎn)、平行四邊形和三角形中位線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)把線段ON轉(zhuǎn)化成線段CH的倍分關(guān)系，再以RtOND為基礎(chǔ)，通過勾股定理，使問題得以解決. 【例

4、5】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，M交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C，D兩點(diǎn)，且C為弧AE的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn).若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），AE=8.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）連接MG，BC，求證：MGBC；（3）如圖2，過點(diǎn)D作M的切線，交x軸于點(diǎn)P.動(dòng)點(diǎn)F在M的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否發(fā) 生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律. （深圳市中考試題） 解題思路：對(duì)于（3）從動(dòng)點(diǎn)F達(dá)到的特殊位置時(shí)入手探求定值. （圖1） （圖2）【例6】 如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于半徑為1的圓O，P是O上的任意一點(diǎn).求證：PA2+PB2+PC2為定值. 解題思路：當(dāng)點(diǎn)P與

5、C點(diǎn)重合時(shí)，PA2+PB2+PC2=2BC2為定值，就一般情形證明.【能力訓(xùn)練】A級(jí)1.如圖，點(diǎn)A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，分別經(jīng)過A，B兩點(diǎn)向x軸，y軸作垂線段.若S陰影=1，則_.（牡丹江市中考試題） （第1題圖） （第3題圖） （第4題圖）2.從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線段，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這個(gè)等邊三角形的面積是_.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3.如圖，OA，OB是O任意兩條半徑，過B作BEOA于E，又作OPAB于P，則定值OP2+EP2為_.4.如圖，在菱形ABCD中，ABC=120°，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，AF的延長線交BC的延長線于點(diǎn)E，則直線BF與直線DE所

6、夾的銳角的度數(shù)為（ ）A.30° B.40° C.50° D.60°（武漢市競(jìng)賽試題）5.如圖，在O中，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)作AB，且=AP，=BP.連接，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，的中點(diǎn)的位置（ ）A在平分AB的某直線上移動(dòng) B.在垂直AB的某直線上移動(dòng)C.在弧AMB上移動(dòng) D.保持固定不移動(dòng)（荊門市中考試題） （第5題圖） （第6題圖）6.如圖，A，B是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別在坐標(biāo)軸上，且分別與點(diǎn)A，B，O構(gòu)成正方形和長方形.若正方形OCAD的面積為6，則長方形OEBF的面積是（ ）A.3 B.6 C.9 D.12（海南省

7、競(jìng)賽試題）7.（1）經(jīng)過O內(nèi)或O外一點(diǎn)P作兩條直線交O于A，B和C，D四點(diǎn)，得到如圖所表示的六種不同情況.在六種不同情況下，PA，PB，PC，PD四條線段之間在數(shù)量上滿足的關(guān)系式可以用同一個(gè)式子表示出來.請(qǐng)你首先寫出這個(gè)式子，然后只就如圖所示的圓內(nèi)兩條弦相交的一般情況給出它的證明.（2）已知O的半徑為一定值r，若點(diǎn)P是不在O上的一個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)你過點(diǎn)P任作一直線交O于不重合的兩點(diǎn)E，F(xiàn). PE·PF的值是否為定值？為什么？由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？請(qǐng)你把這一結(jié)論用文字?jǐn)⑹龀鰜?（濟(jì)南市中考試題）8.在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原

8、點(diǎn)，現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N.（1）求OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN與AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)度數(shù)；（3）設(shè)MBN的周長為P，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中，P值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（濟(jì)寧市中考試題）9.如圖，AB是半圓的直徑，ACAB，AC=AB.在半圓上任取一點(diǎn)D，作DECD，交直線AB于點(diǎn)E，BFAB，交線段AD的延長線于點(diǎn)F.（1）設(shè)弧AD是x°的弧，若要點(diǎn)E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是_.（2）不論點(diǎn)D取在半圓的什么位置，圖中除AB

9、AC外，還有兩條線段一定相等.指出這兩條相等的線段，并予證明.（江蘇省競(jìng)賽試題） （第9題圖） （第10題圖） （第11題圖）10.如圖，內(nèi)接于O的四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD垂直相交于點(diǎn)K，設(shè)O的半徑為R.求證：（1）是定值；（2）是定值.11.如圖，設(shè)P是正方形ABCD外接圓劣弧弧AB上的一點(diǎn)，求證：的值為定值.（克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題）B 級(jí)1. 等腰ABC的底邊BC為定長2，H為ABC的垂心.當(dāng)頂點(diǎn)A在保持ABC為等腰三角形的情況下 改變位置時(shí)，面積SABC·SHBC的值保持不變，則SABC·SHBC=_.2.已知A，B，C，D，E是反比例函數(shù)（x0）圖象上五

10、個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別過這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是_（用含的代數(shù)式表示）.（福州市中考試題）3.如圖，將六邊形ABCDEF沿直線GH折疊，使點(diǎn)A，B落在六邊形ABCDEF的內(nèi)部，記CDEF，則下列結(jié)論一定正確的是（ ） A. 12900°2 B. 121080°2 C. 12720° D. 12360°（武漢市競(jìng)賽試題）（第3題圖） （第4題圖）4.如圖，正ABO的高等于O的半徑，O在AB上滾動(dòng)，切點(diǎn)為T，O交AO，BO于

11、M，N，則弧MTN（ ） A.在0°到30°變化 B.在30°到60°變化 C.保持30°不變 D.保持60°不變5.如圖，AB是O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8.若MN的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與AB相交，記點(diǎn)A，B到MN的距離分別為h1，h2，則h1-h2等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8（黃石市中考試題）（第5題圖） （第6題圖）6.如圖，已知ABC為直角三角形，ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A，C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)B，D.（1

12、）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）（2）求拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F.試證明：FC（AC+EC）為定值.（株洲市中考試題）7.如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A，B的點(diǎn)M.設(shè)直線AC與BM相交于K，直線CB與AM相交于點(diǎn)N.證明線段AK和BN的乘積與M點(diǎn)的選擇無關(guān).（湖北省選拔賽試題） （第7題圖） （第8題圖）8.如圖，設(shè)H是等腰三角形ABC兩條高的交點(diǎn)，在底邊BC保持不變的情況下讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變小，這時(shí)乘積SABC·SHBC的值變小、變大，還是不變？證明你的結(jié)論.（全國初中

13、數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B.過點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEOA，交CA于E，射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）.（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫出計(jì)算過程；（3）當(dāng)時(shí)，PQF的面積是否總是定值？若是，求出此值；若不是，請(qǐng)說明理由；（4）當(dāng)t為何值時(shí)，PQF為等腰三角形，請(qǐng)寫出解答過程.（黃岡市中考試題）（第9題圖） （第10題圖）10.已知拋物線C1：，點(diǎn)F（1,1）.（1）求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）