數(shù)理金融學(xué)第4章ROSS套利定價模型

1、數(shù)理金融學(xué)數(shù)理金融學(xué) 第第4章章ROSS套利定價模型套利定價模型4.1 概述概述 資本資產(chǎn)定價模型提示了在資本市場均衡資本資產(chǎn)定價模型提示了在資本市場均衡狀態(tài)下證券期望收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系，狀態(tài)下證券期望收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系，簡潔、明確地回答了證券風(fēng)險的合理度量簡潔、明確地回答了證券風(fēng)險的合理度量問題以及證券如何在資本市場上被定價。問題以及證券如何在資本市場上被定價。 資本資產(chǎn)定價模型也存在一些缺陷。其中資本資產(chǎn)定價模型也存在一些缺陷。其中最主要的一點是缺乏經(jīng)驗驗證的有力支持。最主要的一點是缺乏經(jīng)驗驗證的有力支持。 CAPM與與APT建立在均值建立在均值-方差分析基礎(chǔ)上的方差分析基礎(chǔ)上的C

2、APM是一種是一種理論上相當(dāng)完美的模型，但實際上只有理論意理論上相當(dāng)完美的模型，但實際上只有理論意義，因為假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格！義，因為假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格！除除CAPM理論外，另一種重要的定價理論是由理論外，另一種重要的定價理論是由Stephen Ross在在1976年建立的套利定價理論年建立的套利定價理論（Arbitrage pricing theory，APT），從另一），從另一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論=CAPM無套利假定下因子模型無套利假定下因子模型=APT CAPM是建立在一系列假設(shè)之上的

3、非常理是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想化的模型，這些假設(shè)包括想化的模型，這些假設(shè)包括Harry Markowitz建立均值建立均值-方差模型時所作的假方差模型時所作的假設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)同質(zhì)性假設(shè)。 相反，相反，APT所作的假設(shè)少得多。所作的假設(shè)少得多。APT的基的基本假設(shè)之一是：本假設(shè)之一是：個體是非滿足個體是非滿足，而不需要，而不需要風(fēng)險規(guī)避的假設(shè)！風(fēng)險規(guī)避的假設(shè)！每個人都會利用套利機會：在不增加風(fēng)險的前每個人都會利用套利機會：在不增加風(fēng)險的前提下提高回報率。提下提高回報率。只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！套利套利

4、是指利用同一資產(chǎn)在不同市場上或不同資產(chǎn)是指利用同一資產(chǎn)在不同市場上或不同資產(chǎn)在同一市場上存在的價格差異，通過低買高賣而在同一市場上存在的價格差異，通過低買高賣而獲取利潤的行為。獲取利潤的行為。 無風(fēng)險套利無風(fēng)險套利 只要投資者發(fā)現(xiàn)這種機會，他就會力圖通過在兩只要投資者發(fā)現(xiàn)這種機會，他就會力圖通過在兩個市場上不斷地低買高賣，以實現(xiàn)套利收益的巨個市場上不斷地低買高賣，以實現(xiàn)套利收益的巨額增加。但另一方面，在套利者進行買賣的同時，額增加。但另一方面，在套利者進行買賣的同時，兩個市場上對同種證券的供需會發(fā)生變化，當(dāng)何兩個市場上對同種證券的供需會發(fā)生變化，當(dāng)何等的上升與下降調(diào)整到使套利機會不再存在時，等

5、的上升與下降調(diào)整到使套利機會不再存在時，套利者就會結(jié)束其套利行為。套利者就會結(jié)束其套利行為。 價格同一律價格同一律 當(dāng)套利機會出現(xiàn)時，投資者會通過低買高賣賺取當(dāng)套利機會出現(xiàn)時，投資者會通過低買高賣賺取差價，這時，使套利機會存在的那些證券，它的差價，這時，使套利機會存在的那些證券，它的定價是不合理的。由于套利者利用他們進行套利，定價是不合理的。由于套利者利用他們進行套利，因此市場上對這些證券的需求與供給就處于非均因此市場上對這些證券的需求與供給就處于非均衡狀態(tài)。相應(yīng)地，這些證券的價格就為非均衡價衡狀態(tài)。相應(yīng)地，這些證券的價格就為非均衡價格。在套利者不斷套利的過程中，這些證券的價格。在套利者不斷套

6、利的過程中，這些證券的價格格 會隨供需的變化而發(fā)生上升或下跌。當(dāng)達到某會隨供需的變化而發(fā)生上升或下跌。當(dāng)達到某種水平使套利機會不再存在時，套利者的套利行種水平使套利機會不再存在時，套利者的套利行為就會終止，市場將處于均衡狀態(tài)，各種證券的為就會終止，市場將處于均衡狀態(tài)，各種證券的定價就處于合理水平。當(dāng)市場經(jīng)過一系列調(diào)整達定價就處于合理水平。當(dāng)市場經(jīng)過一系列調(diào)整達到均衡時，各種證券交易的價格都處于合理水平，到均衡時，各種證券交易的價格都處于合理水平，在這種狀態(tài)下，不存在任何套利機會。這就是在這種狀態(tài)下，不存在任何套利機會。這就是套套利與均衡的關(guān)系利與均衡的關(guān)系，它是資本市場理論的一個基本，它是資本

7、市場理論的一個基本論點。論點。 當(dāng)市場不存在任何無風(fēng)險套利機會或者說市場處當(dāng)市場不存在任何無風(fēng)險套利機會或者說市場處于均衡狀態(tài)時，各種證券及證券組合應(yīng)如何合理于均衡狀態(tài)時，各種證券及證券組合應(yīng)如何合理定價？它們的期望收益率與風(fēng)險之間存在什么關(guān)定價？它們的期望收益率與風(fēng)險之間存在什么關(guān)系，這些問題正是系，這些問題正是套利定價理論套利定價理論所要回答的。所要回答的。4.2 因子模型因子模型 （Factor model） 定義定義：因子模型是一種假設(shè)證券的回報率因子模型是一種假設(shè)證券的回報率只與不同的因子波動（只與不同的因子波動（相對數(shù)相對數(shù)）或者指標(biāo)）或者指標(biāo)的運動有關(guān)的經(jīng)濟模型。的運動有關(guān)的經(jīng)濟

8、模型。 因子模型是因子模型是APT的基礎(chǔ)，其目的是找出這的基礎(chǔ)，其目的是找出這些因素并確認證券收益率對這些因素變動些因素并確認證券收益率對這些因素變動的敏感度。的敏感度。 依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多因子模型。多因子模型。4.2.1 單因子模型單因子模型 引子引子若把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的若把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的宏觀經(jīng)濟指數(shù)。宏觀經(jīng)濟指數(shù)。假設(shè)假設(shè)：（：（1）證券的證券的回報率回報率僅僅取決于該僅僅取決于該指數(shù)指數(shù)的變化的變化；（；（2）除此以外的因素是公司特有風(fēng)）除此以外的因素是公司特有風(fēng)險險殘余風(fēng)險殘余風(fēng)險 則可以

9、建立以宏觀經(jīng)濟指數(shù)變化為自變量，以證則可以建立以宏觀經(jīng)濟指數(shù)變化為自變量，以證券回報率為因變量的單因子模型。券回報率為因變量的單因子模型。例如，例如，GDP的預(yù)期增長率是影響證券回報率的的預(yù)期增長率是影響證券回報率的主要因素主要因素。 例例1：設(shè)證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān)：設(shè)證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān)其中其中 =在給定的時間在給定的時間t，證券，證券i 的回報率的回報率 =在同一時間區(qū)間，市場因子在同一時間區(qū)間，市場因子m的相對數(shù)的相對數(shù) =截距項截距項 =證券證券i對因素對因素m的敏感度的敏感度 =隨機誤差項，隨機誤差項，itiim mtitrab reitrmtriaimbite0

10、,cov(,)0,cov(,)0ititmtitjtE er因子模型回歸因子模型回歸年份年份IGDPt（%）股票股票A收益率（收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.0 4%trtGDPI613.0%r 63.2%e 62.9%GDPI 圖中，橫軸表示圖中，橫軸表示GDP的增長率，縱軸表示的增長率，縱軸表示股票股票A的回報率。圖上的每一點表示：在的回報率。圖上的每一點表示：在給定的年份，股票給定的年份，股票A的回報率與的回報率與GDP增長增長率。率。 通過線性回歸，我們得到一條符合這些點通過線性回歸，我們得到一條符合

11、這些點的直線為（極大似然估計）的直線為（極大似然估計）4%2tGDP ttrIe從這個例子可以看出，從這個例子可以看出，A在任何一期的在任何一期的回報率包含了三種成份：回報率包含了三種成份：1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a2.依賴于依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都不相的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分同的部分bIGDPt3.屬于特定一期的特殊部分屬于特定一期的特殊部分et。 通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一般形式：對時間一般形式：對時間t 的任何證券的任何證券i 有時間序列有時間序列 其中：其中：ft是是t時期公共因子的

12、預(yù)測值；時期公共因子的預(yù)測值；rit在時期在時期t證券證券i的回報；的回報；eit在時期在時期t證券證券i的特有回報的特有回報ai零因子零因子bi證券證券i對公共因子對公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或因或因子載荷（子載荷（factor loading）itiititrab fe（8.1） 為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因子模型，從而省掉角標(biāo)子模型，從而省掉角標(biāo)t，從而（，從而（8.1）式變）式變?yōu)闉椴⑶壹僭O(shè)并且假設(shè)(1)cov( ,)0ie f (2)cov( ,)0ije e0iE eiiiirab fe（8.2） 假設(shè)假設(shè)(1

13、)：因子：因子f具體取什么值對隨機項沒有具體取什么值對隨機項沒有影響，即因子影響，即因子f與隨機項是獨立的，與隨機項是獨立的，這樣保這樣保證了因子證了因子f是回報率的唯一因素。是回報率的唯一因素。若不獨立，結(jié)果是什么？若不獨立，結(jié)果是什么？ 假設(shè)假設(shè)(2)：一種證券的隨機項對其余任何證：一種證券的隨機項對其余任何證券的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券券的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子之所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子f所所致。致。 如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。確，應(yīng)該考慮增加因子或

14、者其他措施。對于證券對于證券i，由（由（8.2）其回報率的均值（期望值）為）其回報率的均值（期望值）為 其回報率的方差其回報率的方差2222iifeib因子風(fēng)險因子風(fēng)險非因子風(fēng)險非因子風(fēng)險對于證券對于證券i和和j而言，它們之間的協(xié)方差為而言，它們之間的協(xié)方差為2cov( ,)cov(,)ijijiiijjjijfr rab fe ab febbiiirab f（8.3）單因子模型的優(yōu)點單因子模型的優(yōu)點 單因子模型能夠大大簡化我們在均值單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差方差分析中的估計量和計算量。假定分析人員需分析中的估計量和計算量。假定分析人員需要分析要分析n種股票，則種股票，則均值方差模

15、型：均值方差模型：n個期望收益，個期望收益，n個方差，個方差， (n2-n)/2個協(xié)方差個協(xié)方差單因子模型：單因子模型：n個期望收益，個期望收益，n個個bi，n個殘個殘差差 ，一個因子，一個因子f方差方差 ，共，共3n1個估計值。個估計值。若若n50，前者為，前者為1325，后者為，后者為151。2ei2f單因子模型具有兩個重要的性質(zhì)單因子模型具有兩個重要的性質(zhì)風(fēng)險的分散化風(fēng)險的分散化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化分散化縮小非因子風(fēng)險分散化縮小非因子風(fēng)險21222limlim ()limnpiiiinnipfepnDw ab feb22211nnpiiepieiiibwb

16、w其中，假設(shè)殘差有界，即假設(shè)殘差有界，即22eis 且組合且組合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，則對于充分小，則對于資產(chǎn)資產(chǎn)i成立成立/iwn則有則有222222111nepissnn從而從而222222limlimppfeppfnnbb 單因素模型的簡化是有成本的，它僅僅將單因素模型的簡化是有成本的，它僅僅將資產(chǎn)的不確定性簡單地認為與僅僅與一個資產(chǎn)的不確定性簡單地認為與僅僅與一個因子相關(guān)，這些因子如利率變化，因子相關(guān)，這些因子如利率變化，GDP增增長率等。長率等。例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對GDP不敏感，后者對利率不敏感。不敏感，后者對利

17、率不敏感。 單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟因素的反應(yīng)。濟因素的反應(yīng)。4.2.2 多因子模型多因子模型兩因子模型兩因子模型 若只考慮一期的模型，則可以省略表示時若只考慮一期的模型，則可以省略表示時間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為1 122iiiiirab fb fe0, cov(,)0iijE eee其 中 ，12cov( ,)0,cov( ,)0iie fe f在兩因子模型下，對于證券在兩因子模型下，對于證券i ，其回報率的均值，其回報率的均值 1122iiiirab fb f其回報率的方差其回報率的方差122222221

18、212122cov(,)iififiieibbb bff對于證券對于證券i和和j，其協(xié)方差為，其協(xié)方差為1 1221 122cov( ,)cov(,)ijijiiiijjjjr rab fb feab fbfe22111222122112()cov( ,)ijfijfijijb bb bb bb bff證券證券i對因子對因子1的敏感度的敏感度 兩因子模型同樣具有單因子模型的重兩因子模型同樣具有單因子模型的重要優(yōu)點：要優(yōu)點：有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大大減少（但比單因子增加），若要計算均大減少（但比單因子增加），若要計算均方有效邊界，需要方有效邊界，需

19、要n個期望收益，個期望收益，n個個bi1， n個個bi2， n個殘差，個殘差，2個因子個因子f方差，方差，1個因子間的協(xié)方差，共個因子間的協(xié)方差，共4n3個估計值。個估計值。分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化。分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化。分散化縮小非因子風(fēng)險。分散化縮小非因子風(fēng)險。多因子模型多因子模型對于對于n種證券相關(guān)的種證券相關(guān)的m（mn)個因子，證券個因子，證券i的的收益可以表示為收益可以表示為1miijjijrab fe0, cov(,)0cov(,)0,iijikE eefeeik1,., ;1,.,in jm其中，4.3 套利定價理論（套利定價理論（APT） 定義：套利（定義：套利（Arb

20、itrage）是同時持有一種）是同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個高于無風(fēng)險利承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個高于無風(fēng)險利率的收益。率的收益。不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！ 兩種套利方法：兩種套利方法：當(dāng)前時刻凈支出為當(dāng)前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益，將來獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的當(dāng)前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。）。 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6個月即期年利率為個月即期年利率為1

21、0%（連續(xù)復(fù)（連續(xù)復(fù)利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6個月到個月到1年期的遠期利率定年期的遠期利率定為為11%，則有套利機會。，則有套利機會。 套利過程是：套利過程是：交易者按交易者按10%的利率借入一筆的利率借入一筆6個月資金（假個月資金（假設(shè)設(shè)1000萬元）萬元）1.簽訂一份協(xié)議（遠期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定簽訂一份協(xié)議（遠期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按該交易者可以按11%的價格的價格6個月后從市場借個月后從市場借入資金入資金1051萬元（等于萬元（等于1000e0.100.5）。）。按按12%的利率貸出一筆的利率貸出一

22、筆1年期的款項金年期的款項金額為額為1000萬元。萬元。1年后收回年后收回1年期貸款，得本息年期貸款，得本息1127萬元萬元（等于（等于1000e0.121），并用），并用1110萬元萬元（等于（等于1051e0.110.5）償還）償還1年期的債務(wù)年期的債務(wù)后，交易者凈賺后，交易者凈賺17萬元（萬元（1127萬元萬元-1110萬元）。萬元）。 套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些對于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些“相相似似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。 無套利原則（無套利原則（Non-arbi

23、trage principle)：根據(jù)價格同一率（根據(jù)價格同一率（the law of one price），），兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)（組合）不能以兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)（組合）不能以不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！ APT的基本原理：由無套利原則，的基本原理：由無套利原則，在因子在因子模型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組模型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）應(yīng)提供相同的期望收益率。合）應(yīng)提供相同的期望收益率。 APT與與C

24、APM的比較的比較 APT對資產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型，對資產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型，而是基于無套利原則和因子模型。而是基于無套利原則和因子模型。不要求不要求“同質(zhì)期望同質(zhì)期望”假設(shè)，假設(shè)，并不要求人人一致并不要求人人一致行動。行動。只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除套利機會。套利機會。不要求投資者是風(fēng)險規(guī)避的！不要求投資者是風(fēng)險規(guī)避的！4.3.1 APT的基本假設(shè)的基本假設(shè)市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）

25、；）；投資者是不知足的：只要有套利機會就投資者是不知足的：只要有套利機會就會不斷套利，直到無利可圖為止。會不斷套利，直到無利可圖為止。因此，不必對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)？因此，不必對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)？資產(chǎn)的回報可以用因子表示資產(chǎn)的回報可以用因子表示 APT假設(shè)證券回報可以用預(yù)期到的回報和假設(shè)證券回報可以用預(yù)期到的回報和未預(yù)期到的回報兩個部分來解釋，構(gòu)成了未預(yù)期到的回報兩個部分來解釋，構(gòu)成了一個特殊的因子模型一個特殊的因子模型iiiirrb fe1()0ttE f未預(yù)期到的變化未預(yù)期到的變化預(yù)期的回報預(yù)期的回報f是證券是證券i的某個因子的變化，的某個因子的變化，基于有效市場理基于有效市場理論論

26、，它是不可預(yù)測的。，它是不可預(yù)測的。要依靠要依靠“舊舊”的的f來獲利是不可能的！來獲利是不可能的！ 若市場有效，則若市場有效，則t-1時刻的信息集預(yù)測時刻的信息集預(yù)測t時刻時刻的價格無效，的價格無效，這等價于這等價于t-1時刻信息無法預(yù)時刻信息無法預(yù)測測t時刻的因子，即對于因子的變化沒有任時刻的因子，即對于因子的變化沒有任何傾向何傾向公平賭局（公平賭局（Fair game） 從有效市場的理論來看，價格（回報）的從有效市場的理論來看，價格（回報）的不可預(yù)測，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測，不可預(yù)測，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測，也也就是因子的變化不可預(yù)測，就是因子的變化不可預(yù)測，這些信息既有這些信息既有宏觀的

27、、也有微觀的。宏觀的、也有微觀的。1()0ttE f充分分散投資組合的套利定價充分分散投資組合的套利定價ix11niixniiiprxr1 iiiniieFrEx1 pppeFrE假定某證券組合假定某證券組合P由由n種證券構(gòu)成，各證券的組合種證券構(gòu)成，各證券的組合權(quán)數(shù)為權(quán)數(shù)為= niiipx1peniiiex1其中其中代表投資組合代表投資組合P對共同因子對共同因子F的敏感度；的敏感度；為為P的非系統(tǒng)收益率。的非系統(tǒng)收益率。類似于利用指數(shù)模型對證券風(fēng)險的討論，我們類似于利用指數(shù)模型對證券風(fēng)險的討論，我們可將證券及證券組合的風(fēng)險分成由共同因子引起可將證券及證券組合的風(fēng)險分成由共同因子引起=的系統(tǒng)風(fēng)

28、險與由特殊因素引起的非系統(tǒng)風(fēng)險兩的系統(tǒng)風(fēng)險與由特殊因素引起的非系統(tǒng)風(fēng)險兩部分。由（部分。由（4-2）式，有）式，有 iFiiiiieeFrEVarr2222由（由（4-3）式有）式有 pFpppppeeFrEVarr2222其中證券組合其中證券組合P的非系統(tǒng)風(fēng)險等于：的非系統(tǒng)風(fēng)險等于： pe2 niiiex122=n2ix當(dāng)證券組合包含的證券數(shù)越來越多當(dāng)證券組合包含的證券數(shù)越來越多且各證券權(quán)重的平方且各證券權(quán)重的平方越來越小時越來越小時,上式中的非上式中的非系統(tǒng)風(fēng)險將逐漸趨于零。系統(tǒng)風(fēng)險將逐漸趨于零。得到作為實際用途的充分分散證券組合的收益率得到作為實際用途的充分分散證券組合的收益率構(gòu)造：構(gòu)造

29、： FrErppp222FppFpp且且， 下面再看下圖，下面再看下圖， 收益率（%） P B 10 8oF我們要問充分分散組合我們要問充分分散組合P與充分分散組合與充分分散組合B能否能否同時并存？同時并存？ 答案不可能。因為無論共同因子處于答案不可能。因為無論共同因子處于何種水平，證券組合何種水平，證券組合P都優(yōu)于證券組合都優(yōu)于證券組合B，這就是，這就是產(chǎn)生了套利機會（無風(fēng)險）。產(chǎn)生了套利機會（無風(fēng)險）。例如例如,投資者可賣空價值一百萬元的投資者可賣空價值一百萬元的B,再買入價值再買入價值一百萬元的一百萬元的P,構(gòu)造出一個零投資組合構(gòu)造出一個零投資組合,其收益額為其收益額為: 0 . 108

30、. 00 . 110. 0FF1百萬=2萬元 注意注意,投資者沒有使用自己的任何本金投資者沒有使用自己的任何本金,就獲得了就獲得了2萬元的收益萬元的收益,并且由于實行等額賣空與買入并且由于實行等額賣空與買入,該零該零投資組合的投資組合的值就為零，因此系統(tǒng)風(fēng)險全部消除值就為零，因此系統(tǒng)風(fēng)險全部消除,同時同時,由于證券組合由于證券組合P與與B都是充分分散組合都是充分分散組合,非系統(tǒng)非系統(tǒng)風(fēng)險也全部消除風(fēng)險也全部消除,所以該零投資組合實際上沒有任何所以該零投資組合實際上沒有任何風(fēng)險風(fēng)險,如果真正存在這種套利機會如果真正存在這種套利機會,那么投資者要想獲那么投資者要想獲取多少收益就能得到多少取多少收益

31、就能得到多少,事實上事實上,這是不可能的這是不可能的,即即使這種機會出現(xiàn)使這種機會出現(xiàn),也不會保持長久也不會保持長久,正如前面分析的那正如前面分析的那樣樣,套利者的套利行為將引起市場上對套利者的套利行為將引起市場上對P與與B的供需的供需相同的期望收益率相同的期望收益率,否則無風(fēng)險套否則無風(fēng)險套量發(fā)生變化量發(fā)生變化,從而最終消除此二證券組合在價格從而最終消除此二證券組合在價格上的差異上的差異.換句話說換句話說,在市場均衡狀態(tài)下在市場均衡狀態(tài)下,相同的相同的證券組合必須有證券組合必須有利機會就將存在利機會就將存在.在市場均衡狀態(tài)下，具有同在市場均衡狀態(tài)下，具有同值的充分分散證券值的充分分散證券組合

32、應(yīng)具有相同的期望收益率組合應(yīng)具有相同的期望收益率那么對于不同那么對于不同值的充分分散證券組合，值的充分分散證券組合，它們的它們的期望收益率與其期望收益率與其值之間存在值之間存在 什么關(guān)系呢？什么關(guān)系呢？ fr期望收益率（%） 10 P 7 D 6 C 0.5 1 假設(shè)某充分分散證券組合假設(shè)某充分分散證券組合C的的系數(shù)為系數(shù)為0.5,期望收益期望收益=0.06,C位于由 CrE率為率為 04. 0ffrr與與P的連接線的連接線的下方的下方,如果以二分之一權(quán)重的如果以二分之一權(quán)重的 P及二分之一權(quán)重的及二分之一權(quán)重的 fr構(gòu)成一新的投資組合構(gòu)成一新的投資組合D, 那么那么D的的值為值為:5 . 0

33、1210212121PfDD的期望收益率等于的期望收益率等于: 07. 010. 02104. 0212121PfDrErrE這樣證券組合這樣證券組合D與與C有相同的有相同的值，但值，但D的期望收益的期望收益 率高于率高于C，由前面的分析知，由前面的分析知， 無風(fēng)險套利機會將存在。無風(fēng)險套利機會將存在。 因此，在市場處于均衡狀態(tài)不存在套利機會時，因此，在市場處于均衡狀態(tài)不存在套利機會時， 所有充分分散證券組合必所有充分分散證券組合必 位于始于位于始于fr的同一條的同一條直線上直線上, 這條直線的方程為：這條直線的方程為： 其中斜率代表了單位風(fēng)險的報酬，有時也稱它為其中斜率代表了單位風(fēng)險的報酬，

34、有時也稱它為 pfprrE （4-6）風(fēng)險因子的價格。風(fēng)險因子的價格。 上式就是關(guān)于充分分散上式就是關(guān)于充分分散證券組合證券組合的套利定的套利定 價模型價模型， 它描述了在市場均衡狀態(tài)下，它描述了在市場均衡狀態(tài)下， 任意充分分散證券組合收益率與風(fēng)險任意充分分散證券組合收益率與風(fēng)險 的關(guān)系。的關(guān)系。 4.3.2 構(gòu)建套利組合（構(gòu)建套利組合（Arbitrage portfolio）零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資（Self-financing）組合。）組合。無風(fēng)險：在因子

35、模型條件下，因子波動導(dǎo)致風(fēng)無風(fēng)險：在因子模型條件下，因子波動導(dǎo)致風(fēng)險，因此，無風(fēng)險就是套利組合對任何因子的險，因此，無風(fēng)險就是套利組合對任何因子的敏感度為敏感度為0。正收益：套利組合的正收益：套利組合的期望收益期望收益大于零。大于零。 用數(shù)學(xué)表示就是用數(shù)學(xué)表示就是111000niiniiini iiwbwwr11121()( = () = ( )()nni iiiiiiiniiiniiiDwrDw rb feDwb fD fwb11()0,0nni iiiiiDwrwb若要則要（4.1）（4.2）（4.3）4.3.3 套利定價模型套利定價模型 假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（假設(shè)投資者構(gòu)造這樣

36、的資產(chǎn)組合：（1）無風(fēng)）無風(fēng)險利率借入險利率借入1元錢；（元錢；（2） 1元錢投資在兩種資元錢投資在兩種資產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。00()(1)()1()()piijjijjijjrw rb fwrb fw rrrw bbbf 0ij設(shè)設(shè)無無風(fēng)風(fēng)險險利利率率為為 ，兩兩個個資資產(chǎn)產(chǎn)是是資資產(chǎn)產(chǎn) 和和資資產(chǎn)產(chǎn)，在，在因因子子模模型的假型的假定定下下，套，套利利組組合合的收的收益益為為（忽（忽略略殘差殘差）l若不存在套利機會，則該套利組合的收益為若不存在套利機會，則該套利組合的收益為0jpijbwrbb 時, 無風(fēng)險根據(jù)條件（根據(jù)條件（2），），()0ijjw bb

37、b當(dāng)，即0()0,jpijjijbrrrrbb =001jiijrrbb01iirb1miiijjjrrb f命題命題4.1 ：假設(shè)：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率種資產(chǎn)其收益率m個因子決定個因子決定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則，則01miijjjrb01,.,j 為常數(shù)嚴(yán)格證明嚴(yán)格證明 證明：假設(shè)在資產(chǎn)證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資上投資wi，構(gòu)造零投資，構(gòu)造零投資且無風(fēng)險的組合，即且無風(fēng)險的組合，即wi滿足下列條件滿足下列條件10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b零投資零投資無風(fēng)險無風(fēng)險（4.5）（4.

38、4）即，即，1、bj（j=1,2,m)線性無關(guān)。線性無關(guān)。如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只要（要（4.4）和（）和（4.5）成立，則）成立，則蘊含蘊含(followed),1,.,jjmw1,wbwr這等價于，這等價于，只要只要10ni iiwrTw r對于任意的對于任意的W，必然必然有有 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm張成的向量空間張成的向量空間Rm+1中，也中，也就是存在一組不全為零的數(shù)就

39、是存在一組不全為零的數(shù) 使得使得r01,.,m 01122,.,mmr1bbb證畢。證畢。理解：理解： 必須落在必須落在Rm+1空間中，才能必然成立空間中，才能必然成立 rwr1和和bj是該空間的一組基是該空間的一組基abCd在向量空間中，如果向量在向量空間中，如果向量a、b正交于正交于c，蘊蘊含著含著d正交與正交與c，則，則d必須落在由必須落在由a和和b張成的張成的二維空間上，二維空間上，d可以由可以由a、b線性表示！線性表示！0示意圖：向量空間示意圖：向量空間錯誤的證明錯誤的證明10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b10ni

40、 iiwrTw r01122,.,mmr1bbbAPT的意義的意義01miijjjrb若bij0，則上式退化為無風(fēng)險資產(chǎn)，則意味著01mfifijjjrrrb若bij0，則期望回報 隨著 的增加而增大，所以 是因子 的風(fēng)險價格。ijbirjif自變量自變量1,1,.,ifirrb in在單因子條件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1對于所有風(fēng)險資產(chǎn)則有由此可見，方程的斜率 實際上是因子1的風(fēng)險價格。結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，則證券之間不存在套利。則證券之間不存在套利。APT的意義的意義01iribhrlrhlhlb

41、b若給定等投資額的證券若給定等投資額的證券h多頭和證券多頭和證券l空頭，則形成套空頭，則形成套利組合。投資者為獲利必定盡可能地購入證券利組合。投資者為獲利必定盡可能地購入證券h，從從而使其價格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達而使其價格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達APT定定價線價線。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，只要證券偏離只要證券偏離APT定價線就會有套利機會。定價線就會有套利機會。APT定價線定價線4.3.4 APT的另一種表達的另一種表達11ppfbprr在單因子模型下，考慮一個使的（資產(chǎn)）組合 ，即，則有,()mifmfirrrrr b

42、特別地，當(dāng)即純因子組合為市場組合時有1pfrr101,()pfiiffirrrbrr b令即風(fēng)險價格,則則稱該組合則稱該組合p為為純因子組合純因子組合(類似于類似于CAPM的市場組合的市場組合)在兩因子模型下，我們有在兩因子模型下，我們有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在純因子組合 ，使得且其期望收益為 則11ifrr11fr即即2122220,1,iifpbbr同理，若存在純因子組合 ，使得其期望收益為 ，則=從而第第1因子的風(fēng)險價格因子的風(fēng)險價格第第2因子的風(fēng)險價格因子的風(fēng)險價格1122()iffifirrr br b(22fr這樣可將這樣可將APT的表達式可以改寫為

43、的表達式可以改寫為在多因子模型下在多因子模型下01122,.,iiimimrbbb證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上j個因個因素的風(fēng)險補償（風(fēng)險價格素的風(fēng)險補償（風(fēng)險價格風(fēng)險因子載荷）；風(fēng)險因子載荷）；資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏感度（因子載荷）越大，則其資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏感度（因子載荷）越大，則其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。1122(),., ()ffifimfimrr br br b（j1,.,j jm其中， 為因子 （）的純因子組合的期望收益111()(),APTCAPMififfiifimfmiirrbrrbrrrrrb顯然，若純因子組合

44、是市場組合即代表 ，則與一致。4.4 APT與與CAPM的比較的比較nAPT與與CAPM的一致性的一致性若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，則當(dāng)則當(dāng)APT與與CAPM均成立時有均成立時有所以說，從某種意義上講，所以說，從某種意義上講，CAPM是是APT的一個特例。的一個特例。進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，上述一致性并不是偶然的個別進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，上述一致性并不是偶然的個別現(xiàn)象，現(xiàn)象，即使對于比較復(fù)雜的收益率產(chǎn)生過程即使對于比較復(fù)雜的收益率產(chǎn)生過程,由此推導(dǎo)的由此推導(dǎo)的 APT模型所描述的資本市場均衡關(guān)系與模型所描述的資本市場均衡關(guān)系與CAPM所

45、描述的所描述的關(guān)系也是相通的。關(guān)系也是相通的。 命題命題4.2：若純因子組合不是市場組合，若純因子組合不是市場組合，APT與與CAPM可能不一致。可能不一致。 證明：只要證明存在一個反例證明：只要證明存在一個反例cov( ,)cov(,)cov(,)cov( ,)iiiiimiiimimiimrab fer rab fe rbf rbe r由單因子模型可得上式兩邊同除以上式兩邊同除以2m并且定義并且定義,2cov( ,)mf mmf r由于由于2cov( ,)imme r很小，不妨把它忽略，則有很小，不妨把它忽略，則有,2cov( ,)imif mimr rb如果如果APT 也成立，且滿足也成

46、立，且滿足CAPM，則，則,1()ifif mmfifirrbrrrrb1,()mff mrr得到得到若因素若因素f與市場組合正相關(guān)，那么與市場組合正相關(guān)，那么,2cov( ,)cov( ,)00mmf mmf rf r0,mfrr且由于從而1,()0mff mrr也就是，如果也就是，如果CAPM成立，則必然要求上述條件成立，則必然要求上述條件成立，它構(gòu)成了對成立，它構(gòu)成了對APT中中 的約束。的約束。1但是，如果但是，如果APT成立，不受成立，不受CAPM約束，即約束，即僅從僅從APT本身推斷，必有本身推斷，必有100fr或者只有當(dāng)只有當(dāng)mr才成立才成立10反之，如果反之，如果mr，則可能有

47、10fr則對于證券則對于證券i的定價就會出現(xiàn)不同的定價就會出現(xiàn)不同即如果純因子組合不是市場組合，即如果純因子組合不是市場組合，APT與與CAPM可能不一致?？赡懿灰恢隆?()()ifif mmfr CAPMrbrr()()ififr APTrbr,0,0,0,()0()0if mfif mmfifbrbrrbr若，若純因子組合不是市場組合，則若純因子組合不是市場組合，則APT與與CAPM不一定一致，不一定一致，CAPM僅僅是僅僅是APT的的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場組合時，特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場組合時，CAPM與與APT等價。等價。在在CAPM中，市場組合居于不可或缺的地中，市場組

48、合居于不可或缺的地位（若無此，則其理論瓦解），但位（若無此，則其理論瓦解），但APT即即使在沒有市場組合條件下仍成立。使在沒有市場組合條件下仍成立。APT模型可以得到與模型可以得到與CAPM類似的期望回報類似的期望回報-b b直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，可以是任何風(fēng)險分散良好的組合可以是任何風(fēng)險分散良好的組合CAPM與與APT的區(qū)別的區(qū)別1()()ifififimfrrbrrrrr注意二者并注意二者并不一致不一致由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，在實際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可在實際應(yīng)用中

49、，只要指數(shù)基金等組合，其即可滿足滿足APT。所以。所以APT的適用性更強！的適用性更強！CAPM屬于單一時期模型，但屬于單一時期模型，但APT并不受到單并不受到單一時期的限制。一時期的限制。模型的假定條件不同，模型的假定條件不同，APT的推導(dǎo)以無套利為的推導(dǎo)以無套利為核心，核心，CAPM則以均值方差模型為核心，隱則以均值方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險厭惡的假設(shè)，但含投資者風(fēng)險厭惡的假設(shè)，但APT無此假設(shè)。無此假設(shè)。在在CAPM中，證券的風(fēng)險只與市場組合的中，證券的風(fēng)險只與市場組合的相關(guān)，相關(guān)，它只給出了市場風(fēng)險大小，而沒有表明風(fēng)險來它只給出了市場風(fēng)險大小，而沒有表明風(fēng)險來自何處。自何處。APT

50、承認有多種因素影響證券價格，承認有多種因素影響證券價格，從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（CAPM認為認為資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風(fēng)險資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風(fēng)險的來源提供了分析工具。的來源提供了分析工具。6.建立模型的出發(fā)點不同建立模型的出發(fā)點不同. APT考察的是當(dāng)市場不存在無考察的是當(dāng)市場不存在無風(fēng)險套利而達到均衡時風(fēng)險套利而達到均衡時,資產(chǎn)如何均衡定價資產(chǎn)如何均衡定價,而而CAPM考察的是當(dāng)所有投資者都以相似的方法投資考察的是當(dāng)所有投資者都以相似的方法投資,市場最市場最終調(diào)節(jié)到均衡時終調(diào)節(jié)到均衡時,資產(chǎn)如何定價資產(chǎn)如何定價.7.描述形成

51、均衡狀態(tài)的機理不同描述形成均衡狀態(tài)的機理不同.當(dāng)市場面臨證券定價不當(dāng)市場面臨證券定價不 合理而產(chǎn)生價格壓力時合理而產(chǎn)生價格壓力時,按照按照APT的思想的思想,即使是少數(shù)幾個即使是少數(shù)幾個 投資者的套利行為也會使市場盡快地重新恢復(fù)均衡投資者的套利行為也會使市場盡快地重新恢復(fù)均衡; 而而按按CAPM的思想的思想,所有投資者都將改變其投資策略所有投資者都將改變其投資策略,調(diào)整調(diào)整 他們選擇的投資組合他們選擇的投資組合,他們共同行為的結(jié)果才促使市場重他們共同行為的結(jié)果才促使市場重 新新回到均衡回到均衡 狀態(tài)狀態(tài).8.定價范圍及精度不同定價范圍及精度不同CAPM是從它的假定條件經(jīng)邏輯推理得到的是從它的假

52、定條件經(jīng)邏輯推理得到的,它提供了它提供了 關(guān)于所有證券及證券組合的期望收益率關(guān)于所有證券及證券組合的期望收益率-風(fēng)險關(guān)系的風(fēng)險關(guān)系的明確描述明確描述,只要模型條件滿足只要模型條件滿足,以此確定的任何證券或證券以此確定的任何證券或證券組合的均衡價格都是準(zhǔn)確的組合的均衡價格都是準(zhǔn)確的;而而APT是從不存在無風(fēng)險套是從不存在無風(fēng)險套利的角度推出的利的角度推出的,由于市場中有可能存在少數(shù)證券定價由于市場中有可能存在少數(shù)證券定價 不合理而整個市場處于均衡之中不合理而整個市場處于均衡之中(證券數(shù)少到不足以產(chǎn)生證券數(shù)少到不足以產(chǎn)生無風(fēng)險套利無風(fēng)險套利),所以所以APT提供的均衡定價關(guān)系有可能對少數(shù)提供的均衡

53、定價關(guān)系有可能對少數(shù)證券證券不成立不成立.換言之換言之,在滿足在滿足APT的條件的情況下的條件的情況下,用用APT的的證券證券或證券組合確定均衡價格或證券組合確定均衡價格,對少數(shù)證券的定價可能對少數(shù)證券的定價可能出現(xiàn)偏差出現(xiàn)偏差.4.5 APT對資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義對資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義 APT對系統(tǒng)風(fēng)險進行了細分，使得投資者能對系統(tǒng)風(fēng)險進行了細分，使得投資者能夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如，而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如，基金可以選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。基金可以選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。 APT的局限的局限：決定資產(chǎn)的價格可能存在多種：決定資產(chǎn)的價格可能存在多種因素，模型本身不