圓錐曲線與方程知識點(diǎn)及題型全集

1、圓錐曲線與方程（理）知識點(diǎn)串講 一、橢圓 1橢圓的定義文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距數(shù)學(xué)語言：集合，其中，為常數(shù)，則集合表示以，為焦點(diǎn)的橢圓注意：（1）與圓的定義（平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡）類比可知：二者的定義方式一致都是通過對平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離滿足某些條件的動點(diǎn)的軌跡研究得出的（2）注意橢圓定義中的限制條件：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在（或不表示任何圖形）2兩種標(biāo)準(zhǔn)方程（1），焦點(diǎn)在軸上；（2），焦點(diǎn)在軸上注意：（1）參數(shù)關(guān)系：，中最大（2）判斷焦點(diǎn)位置的方法：橢圓的焦

2、點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大；橢圓的焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大3橢圓方程的一般形式，其焦點(diǎn)位置有如下規(guī)律：當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上注意：在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，有時(shí)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出的值即可如：求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4理解橢圓應(yīng)注意的幾點(diǎn) （1）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)總在它的長軸上（2）離心率的大小對橢圓形狀的影響： 當(dāng)趨近于1時(shí)，變小且越接近于，橢圓越扁平；當(dāng)趨近于時(shí)，變大且越接近于，橢圓越圓 二、雙曲線 1雙曲線的定義 文字?jǐn)⑹觯涸谄矫鎯?nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)

3、的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距 數(shù)學(xué)語言描述：集合，其中，為常數(shù)，則集合表示以，為焦點(diǎn)的雙曲線 注意：（1）定義中的限制條件 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以，為端點(diǎn)的兩條射線； 當(dāng)時(shí)，軌跡不存在（或不表示任何圖形）； 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線 （2）定義中的“絕對值”必不可少若有“絕對值”，點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的兩支；若去掉“絕對值”，點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一支 2兩種標(biāo)準(zhǔn)方程 （1），焦點(diǎn)在軸上；（2），焦點(diǎn)在軸上 注意：雙曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的不同： （1）“”、“”號不同：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中是“”號，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中是“”號； （2）的大小關(guān)系不同：橢圓標(biāo)準(zhǔn)

4、方程中，而雙曲線中大小不確定； （3）關(guān)系不同：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，而雙曲線中 3雙曲線方程的一般形式，其焦點(diǎn)位置有如下規(guī)律： 當(dāng)，時(shí)，焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)，時(shí)，焦點(diǎn)在軸上 注意：當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用此形式如：求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 4理解雙曲線應(yīng)注意的幾點(diǎn) （1）橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個(gè)重要數(shù)據(jù)同樣，雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)重要數(shù)據(jù)，由于，當(dāng)從接近1逐漸增大時(shí)，的值就從接近于逐漸增大，雙曲線的“張口”逐漸增大 （2）要掌握根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的求法 ， 把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”用“”替換即可得出漸近線方程 （3）已

5、知漸近線方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 漸近線方程為的雙曲線的方程為：（且為常數(shù)） 與雙曲線有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為（且為常數(shù)） 三、拋物線 1拋物線的定義 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（定長）叫做拋物線的焦參數(shù) 注意：（1）拋物線的定義還可敘述為“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比等于1的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線” （2）定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”一個(gè)動點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)（拋物線的焦點(diǎn)），一條定直線（拋物線的準(zhǔn)線），一個(gè)定值（點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比等于1） （3）定點(diǎn)，否則動點(diǎn)的軌跡不是拋

6、物線，而是過點(diǎn)垂直于直線的一條直線 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸與坐標(biāo)軸重合的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式： 分別為：（其中） 注意：（1）的幾何意義：焦參數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故恒為正數(shù) （2）焦點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的 （3）準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱 3標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 （1）在中，只含有一個(gè)參數(shù)，因此只要有一個(gè)獨(dú)立的條件就可以求出其參數(shù)（常用待定系數(shù)法） （2）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先要確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，這是解題的關(guān)鍵 4理解拋物線應(yīng)注意的幾點(diǎn) （1）拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線差別較大：拋物線的離心率等于，它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對稱軸，它不是中心對

7、稱圖形，因而沒有對稱中心 （2）拋物線的開口大?。河煞匠炭芍瑢τ谕粋€(gè)值，值越大也越大，不妨說拋物線開口越大，這樣可以較好地理解不同的值與其開口大小的關(guān)系 （3）拋物線定義的妙用：常利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化5.直線 l 經(jīng)過拋物線 y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A、B（1）若l 的傾斜角為 ，求證：|AB|= ； （2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，證明：； （3）設(shè)|AF|=m，|BF|=n，證明： ； （4）求證：A，O，B三點(diǎn)共線； （5）設(shè)準(zhǔn)線交x軸于K，求證：A

8、KF=BKF； （6）求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； （7）求證：AFB=90°四、直線與圓錐曲線的關(guān)系1、設(shè)直線l: 圓錐曲線:由(1)當(dāng) 時(shí)，若一次方程有解，則只有一解，即直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn).此時(shí)，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與漸近線平行; 若圓錐曲線為拋物線，則直線與對稱軸平行。(2)當(dāng) 時(shí)， 方程有兩不等 實(shí)根 相交(于兩點(diǎn)) 方程有兩相等實(shí)根 相切(于一點(diǎn)) 方程沒有實(shí)根 相離(無公共點(diǎn))五、圓錐曲線中的弦長問題六、有關(guān)弦中點(diǎn)的問題(和弦的中點(diǎn)軌跡方程)、求中點(diǎn)弦所在直線方程【例1】 已知橢圓 ,求以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦MN所在的直線方程.點(diǎn)評:本題屬于中點(diǎn)弦問題,一般采用韋達(dá)定理和點(diǎn)差法求解.對于橢圓 設(shè) 則 設(shè)橢圓的中心為O,MN的中點(diǎn)為P,則 即(3)可表示為：弦MN所在的直線方程：、弦的中點(diǎn)軌跡方程【例2】設(shè)拋物線 的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M， 過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)， 求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程. 解：設(shè)是AB的中點(diǎn) 則又因?yàn)閘過點(diǎn)M(-P,0)， 且變?yōu)椋?整理得線段AB中點(diǎn)的軌跡方程：又聯(lián)立方程: (-P,0) M解得：，見圖：中點(diǎn)Q應(yīng)在拋物線 內(nèi)整理得線段AB中點(diǎn)的軌跡方程： 直線與圓錐曲線位置問題的有關(guān)知識點(diǎn):知識點(diǎn)一: 直