基于Matlab的曲線擬合

1、基于Matlab的曲線擬合摘要：科學(xué)研究中經(jīng)常要對(duì)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)研究物理量之間的函數(shù)關(guān)系，探索事物之間的聯(lián)系、規(guī)律，或做出相應(yīng)的預(yù)測(cè)。這些分析都離不開(kāi)擬合，擬合的方法有很多種，最常用的曲線擬合方法是最小二乘法。Matlab是一個(gè)很強(qiáng)大的數(shù)值分析軟件，能幫助我們快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行曲線擬合，并能直觀的顯示出結(jié)果。本文除了介紹最小二乘法的原理之外，還通過(guò)一個(gè)實(shí)例，表述了如何用Matlab自帶函數(shù)lsqcurvefit()及工具箱cftool進(jìn)行曲線擬合，并分別給出了相關(guān)的結(jié)果圖。關(guān)鍵字：曲線擬合，最小二乘法，Matlab，lsqcurvefit，cftool(Curve Fitting

2、Tool)前言在科學(xué)研究實(shí)驗(yàn)與工程計(jì)算中，經(jīng)常要從一組實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集(x，y)(i=0,1,2,n)出發(fā)，去尋找變量x與y的函數(shù)關(guān)系式，即y = f(x)。絕大多數(shù)情況下，函數(shù)關(guān)系特別復(fù)雜，通過(guò)離散的觀測(cè)點(diǎn)很難通過(guò)理論計(jì)算推斷出自變量與對(duì)應(yīng)因變量的函數(shù)表達(dá)式，不利于進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析。這時(shí)候就要采用曲線擬合的方法，來(lái)近似求解變量間的最佳函數(shù)關(guān)系，目的是找到一條光滑曲線，使它在某種準(zhǔn)則下最佳的擬合數(shù)據(jù)并最大程度地接近實(shí)際理論曲線。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，曲線擬合在數(shù)據(jù)分析及尋找事物規(guī)律、預(yù)測(cè)等應(yīng)用中具有越來(lái)越重要的作用。曲線擬合的方法有很多，大致可以分為插值法和逼近法。考慮到一些實(shí)驗(yàn)儀器的精度要求與

3、計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)運(yùn)算、存儲(chǔ)能力或其他條件限制，可采用插值法增加數(shù)據(jù)。插值法可采用拉格朗日插值、牛頓插值、樣條插值等，逼近法有最小二乘法、切比雪夫法等。在科學(xué)研究中，最常用的曲線擬合方法是最小二乘法。MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，具有很強(qiáng)大的圖形處理能力及計(jì)算處理能力、編譯語(yǔ)言簡(jiǎn)單易用、模塊集合工具箱應(yīng)用廣泛、可開(kāi)發(fā)用戶界面等優(yōu)點(diǎn),已成為我們對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究分析的首選工具。對(duì)于數(shù)據(jù)的曲線擬合問(wèn)題，Matlab為用戶提供了多種線性與非線性擬合方法，包括擬合函數(shù)與工具箱，用戶還能根據(jù)自己的需要進(jìn)

4、行編程。利用Matlab能快速、準(zhǔn)確地得到曲線擬合結(jié)果。最小二乘法在許多科學(xué)研究實(shí)驗(yàn)中，往往要根據(jù)一組得到的確定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x，y)(i=0,1,2,m)，求自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = S(x；a,a, a,a)(n<m),這時(shí)a為待定參數(shù)，由于觀測(cè)數(shù)據(jù)存在誤差，且待定參數(shù)a的數(shù)量比給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量少(即n<m)，這類問(wèn)題不要求y =S(x)= S(x；a,a, a,a)通過(guò)點(diǎn)(x，y)(i=0,1,2,m)，只要求在給定點(diǎn)x上的誤差=f(x)- y的平方和最小。設(shè)(x), (x),(x)是區(qū)間Ca,b上線性無(wú)關(guān)函數(shù)族，在=span(x), (x),(x)中找到一函數(shù)S(x

5、),使誤差平方和|= = =其中s(x)= a(x) + a(x) + + a(x) (n<m)。這就是最一般的小二乘逼近，得到的擬合曲線為s(x)，用幾何語(yǔ)言說(shuō)，就稱為曲線擬合的最小二乘法。曲線擬合的Matlab實(shí)現(xiàn)例：已知數(shù)據(jù)如下表1表1 待擬合數(shù)據(jù)x0.10.40.50.70.80.9y0.610.920.991.521.472.03試確定擬合函數(shù)的系數(shù)，并畫(huà)出擬合曲線。用Matlab求解曲線擬合問(wèn)題的方法有很多種，可以直接調(diào)用Matlab函數(shù)，也可以按照算法進(jìn)行編程，最簡(jiǎn)單的方法便是使用Matlab為用戶提供的工具箱。下面只介紹用Matlab函數(shù)與工具箱求解上例。方法一：用lsq

6、curvefit函數(shù)實(shí)現(xiàn)曲線擬合Matlab為用戶提供了lsqcurvefit函數(shù)實(shí)現(xiàn)最小二乘擬合，調(diào)用格式如下：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)；fun為擬合函數(shù)，(xdata,ydata)為一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，滿足ydata = fun(xdata,x),以x0為初始點(diǎn)求解改數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題。新建m文件，將待擬合函數(shù)寫(xiě)入，保存為cf.m：function f=cf(x,xdate)n=length(xdate);for i=1:n f(i)=x(1)+x(2)*xdate(i)+x(3)*sin(xdate(i)+x(4)*exp(xdate(i);end運(yùn)行以

7、下程序:clear all;xdata=0.1 0.4 0.5 0.7 0.8 0.9;ydata=0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03;x0=1 1 1 1'%初始點(diǎn)選為全1向量x=lsqcurvefit('qx',x0,xdata,ydata)plot(xdata,ydata,'ro');xi=0:0.01:1;y=cf(x,xi);grid on;hold on;plot(xi,y)xlabel('x')ylabel('y')title('lsqcurvefit函數(shù)曲線擬合')l

8、egend('原始數(shù)據(jù)點(diǎn)','擬合曲線')輸出結(jié)果：x = 7.0008 38.4868 -30.0778 -6.5485圖1為仿真結(jié)果圖，Matlab直觀的給出了擬合結(jié)果。即求得的擬合函數(shù)為f(x)= 。圖1使用lsqcurvefit函數(shù)擬合結(jié)果方法二：使用工具箱cftoolMatlab自帶很多功能強(qiáng)大的工具箱，直接使用就能方便高效得到結(jié)果。本例中我們可以調(diào)用曲線擬合工具箱cftool(Curve Fitting Tool)。圖2Curve Fitting Tool界面將原始數(shù)據(jù)輸入：xdata=0.1 0.4 0.5 0.7 0.8 0.9;ydata=0.

9、61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03;調(diào)用cftool，只要在命令窗口直接輸入cftool并回車即可：彈出工具箱界面如上圖2所示。在左上角的X data與Y data分別選定原始數(shù)據(jù)xdata與ydata，在右邊的下拉菜單中選擇Custom Equation，即用戶自定義，輸入a+b*x+c*sin(x)+d*exp(x)，點(diǎn)擊Fit按鈕開(kāi)始擬合，得到如下圖3結(jié)果：圖3cftool 擬合結(jié)果由圖3可明顯看出用曲線擬合工具箱得到的結(jié)果與方法一編程實(shí)現(xiàn)的結(jié)果一致。參考文獻(xiàn)1 呂喜明，李明遠(yuǎn).最小二乘曲線擬合的Matlab實(shí)現(xiàn)J.內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24（2）:125-127.2 John H.Mathews,Kurtis