華理高數(shù)全部復習資料之 數(shù)列與無窮級數(shù)

1、第8章 數(shù)列與無窮級數(shù)（一）    數(shù)列1  數(shù)列極限的定義若>0，正整數(shù)，使得當時成立<,則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為。否則稱數(shù)列發(fā)散。2  數(shù)列極限的運算法則若，c是常數(shù)，則； ； ； 。3              數(shù)列極限的性質(zhì)(1)若>0則，當時成立>0；，則。(2) 收斂數(shù)列是有界數(shù)列。4數(shù)列極限的存在性準則(1) 夾逼準則（夾逼定理）: （2）單調(diào)有界準則（數(shù)列的單

2、調(diào)有界收斂定理）: 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。5    數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系對于數(shù)列，若存在定義域包含的函數(shù)，使，且，且。6    數(shù)列與數(shù)列的關系（1）若，是的一個子數(shù)列，則。（2）若，則。（二）無窮級數(shù)的基本概念1級數(shù)斂散性的定義 稱為級數(shù)的前項部分和，而稱數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列。 若級數(shù)的部分和數(shù)列收斂，即，則稱級數(shù)收斂，稱s為該級數(shù)的和，記為，同時稱為級數(shù)的余和。 若級數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級數(shù)發(fā)散。2級數(shù)的基本性質(zhì)（）若，是常數(shù)，則。（2）若=s，則。（3）若收斂，則也收斂，其中任一正整數(shù)；反之亦成立。（4）收斂級數(shù)添加括

3、弧后仍收斂于原來的和。（5）級數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則。（三）數(shù)項級數(shù)1正項級數(shù)（1）正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界。（2）正項級數(shù)的比較判別法及其極限形式 設，（）若收斂，則收斂；（）若發(fā)散，則發(fā)散。 設與均是正項級數(shù)，若，則與具有相同的斂散性。（3）正項級數(shù)的積分判別法 對于正項級數(shù)，若存在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，使得，則級數(shù)與廣義積分具有相同的斂散性。（4）正項級數(shù)比值判別法的極限形式 設為正項級數(shù)，且, 則（a）<1時，級數(shù)收斂； （b）當>1（包含）時，級數(shù)收斂； （c）當時，本判別法失效。（5）正項級數(shù)根值判別法的極限形式 設為正項級數(shù)，且,則（a）當<

4、1時，級數(shù)收斂； (b) 當>1（包含）時，級數(shù)發(fā)散； ( c) 當時，本判別法失效。2交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法 若正數(shù)列單調(diào)減少，且, 則交錯級數(shù)（及）收斂，且余和。3.絕對收斂與條件收斂 若收斂，則稱絕對收斂； 若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂。 絕對收斂級數(shù)必收斂。 絕對收斂級數(shù)的任一更序級數(shù)仍絕對收斂于原級數(shù)的和。（四）冪級數(shù) 1冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）阿貝爾定理 若冪級數(shù)在某點(0)處收斂，則在區(qū)間（）內(nèi)的任一點處均絕對收斂；若冪級數(shù)在某點處發(fā)散，則在滿足的任一點處均發(fā)散。 （2）收斂半徑的定義 若冪級數(shù)不是僅在點x=0處收斂，也不是在（）內(nèi)的任一點處均收斂，則存

5、在正數(shù)r，使當時，收斂；而當時，發(fā)散，稱此正數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。當僅在點=0處收斂時，定義收斂半徑=0; 當在（）上都收斂時，定義收斂半徑=+。(3) 收斂半徑的計算設冪級數(shù)滿足,（這里的是某個正整數(shù)）,且，則（a）當L>0時，=; (b) 當L=0時，= +; (c) 當L= +時，=0。 （）收斂區(qū)間與收斂域當冪級數(shù)的收斂半徑r>0時，稱（）是它的收斂區(qū)間；當判定在=處的斂散性后，可確定其收斂域。2冪級數(shù)的運算（1）代數(shù)運算設，收斂域為，收斂半徑>，收斂域，收斂半徑>，則a) ，收斂域為；b) ，收斂半徑 （這里兩個冪級數(shù)的乘積是柯西乘積）。（2）、分析運算設，

6、收斂域，收斂半徑，則a) 和函數(shù)在上連續(xù)；b) 和函數(shù)在內(nèi)可導且可逐項求導： ；）和函數(shù)在內(nèi)可積，且可逐項積分：=，；3  冪級數(shù)的展開 （1）函數(shù)的泰勒級數(shù) 設函數(shù)f(x)在點x的某個鄰域內(nèi)有任意階導數(shù)，則稱冪級數(shù)=+為f(x)在點x的泰勒級數(shù)。而稱=+為f(x)的麥克勞林級數(shù)（=0時的泰勒級數(shù)）。（2）函數(shù)的冪級數(shù)展開（間接展開法）利用五個初等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的代數(shù)運算，分析運算， 變量代換等手段，求給定函數(shù)的冪級數(shù)展開式。 復習指導：第8章 數(shù)列與無窮級數(shù)（一）、數(shù)列計算數(shù)列的極限，通常可利用代數(shù)恒等變形、數(shù)列極限的運算法則和利用函數(shù)極限的方法。這

7、里必須注意的是：由于數(shù)列是定義域為離散點集的函數(shù)，故不能直接使用洛必達法則，如需使用此法則，必須先化成具有連續(xù)變量的函數(shù)，再利用函數(shù)極限計算數(shù)列極限。假定數(shù)列由遞推公式定義，則一般可考慮利用數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理。如果數(shù)列的通項是由n 個項的和構成，通?？煽紤]利用夾逼定理或定積分的定義，也可以考慮先將和求出來，再求極限。（二）、無窮級數(shù)的基本概念1、級數(shù)斂散性的定義每個級數(shù)涉及到兩個數(shù)列：一是由其項構成的數(shù)列u，二是由其部分和構成的數(shù)列s。級數(shù)的斂散性是用s的斂散性定義的。一般，即使級數(shù)收斂，要求其和也是很困難的。但只要級數(shù)收斂，我們就可以用部分和近似表示它的和，其誤差為。故我們首先

8、關心的是判斷級數(shù)的斂散性。、級數(shù)的基本性質(zhì)（）、在級數(shù)的每一項上同乘以一不為零的常數(shù)，級數(shù)的斂散性不變。（）、收斂級數(shù)可以逐項相加。而且，若收斂，發(fā)散，則必有發(fā)散。（）、在級數(shù)的前面添上或去掉有限項，不影響級數(shù)的斂散性。（）、收斂級數(shù)可以加括弧，即滿足加法的結(jié)合律。若加括弧后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散。（）、是級數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。因此由可推得級數(shù)發(fā)散。若需證明數(shù)列 收斂于零，也可考慮以下方法：證明級數(shù)收斂，再利用級數(shù)收斂的必要條件得 收斂于零。（三）、數(shù)項級數(shù)、正項級數(shù)（）、首先得注意多種正項級數(shù)判斂法使用的前提，就是必須是正項級數(shù)。（）、一般，對于通項含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指函

9、數(shù)等因式的正項級數(shù)，可優(yōu)先考慮利用比值判別法；對于通項含有指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式，但不含階乘因式的正項級數(shù)，可考慮利用根值判別法；以n的冪（整數(shù)冪或分數(shù)冪）有理式為通項的正項級數(shù)，因為n時，通項關于無窮小的階數(shù)易觀察而得，應優(yōu)先考慮與p級數(shù)比較，（利用比較判別法或其極限形式）。（）、比較判別法的比較對象，一般可取等比級數(shù)和p級數(shù)，故下列結(jié)論應牢記。等比級數(shù)當<1時，收斂于，當 1時發(fā)散。 P級數(shù)，當p>時收斂，當p時發(fā)散。、交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法這里需指出，與其他的判別法一樣，萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。對于萊布尼茲型級數(shù)，其“截斷誤差”有估計式、絕對收斂與條件收斂（

10、）、判斷變號級數(shù)的斂散性，是指判斷其絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。（）、若發(fā)散，且此結(jié)論是由正項級數(shù)的比值或根值判別法而得，則必有，因而立即可得 發(fā)散。（四）、冪級數(shù)1、冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域（1）、冪級數(shù)的條件收斂點必是其收斂域的端點。（2）、對于“缺項”的冪級數(shù)，不能直接利用公式求收斂半徑，我們可以將任意取定為一常數(shù)，再利用正項級數(shù)的比值或根值判別法來確定其收斂半徑。2、冪級數(shù)的運算利用冪級數(shù)逐項微分或逐項積分的運算，可能會改變其收斂區(qū)間端點上的斂散性。3冪級數(shù)的展開通常利用間接法展開。這里首先需要注意的是基點，如果是將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù)，是指將表達成 的形式。一般，對數(shù)函數(shù)可利用的麥克勞林級數(shù)，指數(shù)函數(shù)利用的麥克勞林級數(shù)等等，又，反三角函數(shù)或變限積分函數(shù)常常先求導再展開。若在展開過程中，利用了冪級數(shù)的乘法，逐項微分和逐項積分的運算，則收斂區(qū)間端點上的斂散性需重新判斷。求所得冪級數(shù)的收斂域是函數(shù)的冪級數(shù)展開的必要步驟之一，千萬不要遺漏。4求冪級數(shù)的和函數(shù)與收斂數(shù)項級數(shù)的和 若在冪級數(shù)的項中沒出現(xiàn)階乘記號，通常利用冪級數(shù)的運算，將其化為等比級數(shù)，利