信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)B卷答案

1、貴州大學(xué)2007-2008學(xué)年第二學(xué)期考試試卷（標(biāo)準(zhǔn)答案） B信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 注意事項(xiàng)：1. 請(qǐng)考生按要求在試卷裝訂線內(nèi)填寫姓名、學(xué)號(hào)和年級(jí)專業(yè)。2. 請(qǐng)仔細(xì)閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫答案。3. 不要在試卷上亂寫亂畫，不要在裝訂線內(nèi)填寫無(wú)關(guān)的內(nèi)容。4. 滿分100分，考試時(shí)間為120分鐘。題 號(hào)一二三四五六七八總 分統(tǒng)分人得 分得 分評(píng)分人一、 設(shè)a,b是任意兩個(gè)不全為零的整數(shù)，證明：若m是任一正整數(shù)，則（am,bm）=（a,b）m.(共10分) 解：設(shè) d=(a,b),d=(am,bm),由定理5，存在整數(shù)s,t使得 Sa+tb=d 兩端同時(shí)乘m,得到s(am)+t(bm)=

2、dm因此d|dm.(5分) 又顯然有dm|am,dm|bm,所以dm|d.故 d=(am,dm)（5分） 得 分評(píng)分人二、設(shè)p是素?cái)?shù).證明：如果則 或（共10分）證明：因?yàn)?，所以p|(a -b )( a + b ), 如果P不整除（a+b),因?yàn)镻為素?cái)?shù)，所以(P,a+b)=1,有定理可知 (5分）； 同理，如果P不整除（a-b),因?yàn)镻為素?cái)?shù)，所以(P,a-b)=1,有定理可知(5 分）得 分評(píng)分人三、求出下列一次同余數(shù)的所有解.(共10分)解：(1)求同余式的解，運(yùn)用廣義歐幾里得除法得：x5( mod 3)（5分）（2）求同余式的一個(gè)特解：x5( mod 3)（4分）（3）寫出同余式的全部

3、解：X5 + 3t( mod 9)(t=0,1,2)（1分）得 分評(píng)分人四、求解同余式組：(共15分)解：原同余式等價(jià)同余式組直接驗(yàn)算，的解為的解為由中國(guó)剩余定理，可求得同余式組的解為，故原同余式的解為，共6個(gè)。得 分評(píng)分人五、求滿足方程的所有點(diǎn). (共10分)解:對(duì)x=0,1,2,3,4,5,6,分別求出y.得 分評(píng)分人六、判斷同余式是否有解.（共15分） 解:不用考慮563是否是素?cái)?shù)，直接計(jì)算雅可比符號(hào)，因?yàn)樗栽嗍綗o(wú)解得 分評(píng)分人七、求所有素?cái)?shù)p使得5為模p二次剩余。（共10分）解:即求所有素?cái)?shù)P,st ()=1,易知，P是大于5的素?cái)?shù)，根據(jù)二次互反律（）= （-1）（）=（）（1分

4、）（）=（）=1 p=1 (mod 5) (2分) ()= 1 p=2 (mod 5) （2分） ()= -1 p=3 (mod 5) （2分） ()=1 p= -1(mod 5) （2分）所以P1 (mod 5)or P-1 (mod 5) (1分）.得 分評(píng)分人8、 設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，并且也是一個(gè)奇素?cái)?shù)，設(shè)a是與p互素的正整數(shù)，如果，則a是模p的原根。（共10分）證明：即證a的指數(shù)等于p-1,也就是滿足a1 (mod p)的p-1是最小的。（2分） 假設(shè)存在整數(shù)X < p-1,st a1 (mod p) (2分）因?yàn)闉槠嫠財(cái)?shù)，p-1=*2(該分解是唯一的）（3分）因?yàn)閍1,(mod p) 所以x不存在，即p-1為最小。（3分）得 分評(píng)分人九、設(shè)是素?cái)?shù)，則是整