線性代數(shù)n維向量

1、第三章第三章 n維向量維向量第一節(jié) n維向量及其運算三維空間中任意一個向量可以用一個三元數(shù)組表示：三維空間中任意一個向量可以用一個三元數(shù)組表示：123=(,)a a a12121 ,. nnina aaa aannniai定義4.個數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為維向量，這個數(shù)稱為該向量的 個分量，第 個數(shù) 稱為第 個分量分量全為復數(shù)的向量稱為分量全為復數(shù)的向量稱為復向量復向量. .分量全為實數(shù)的向量稱為分量全為實數(shù)的向量稱為實向量實向量， 一、 n維向量的定義例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n維實向量維實向量n維復向量維復向量第第1個分量個分量第第n個分量個分量第

2、第2個分量個分量),(21nTaaaa naaaa21 維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行向量行向量，也就是行，也就是行矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： TTTTba,n 維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列向量列向量，也就是列，也就是列矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,ban例如例如維列向量維列向量個個有有矩陣矩陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111 n j 2 . , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組A1 2 n 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）在若干個

3、同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）在一起稱為一起稱為向量組向量組維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個維數(shù)相同的向量所組成的向反之，由有限個維數(shù)相同的向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣量組可以構(gòu)成一個矩陣.矩陣矩陣構(gòu)成一個構(gòu)成一個組組維列向量所組成的向量維列向量所組成的向量個個mnnmm , 21 矩陣矩陣構(gòu)成一個構(gòu)成一個的向量組的向量組維行向量所組成維行向量所組成個

4、個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 定義定義相等向量相等向量1212(,) ,( ,),12TTnniia aab bbab in， ， ,定義定義負向量負向量12(,)naaa 定義定義零向量零向量分量全為零的向量稱為分量全為零的向量稱為零向量零向量.記作記作0(0,0,0)T二、 向量的線性運算設(shè)兩個設(shè)兩個 ，維向量TnTnbbbaaan),(),(2121 (1) 加法（和向量）加法（和向量）1122(,)Tnnab abab(2) 數(shù)乘數(shù)乘12(,)Tnkka kakak， 為實數(shù)減法減法1122(,)Tnnab ababn維向量的線性運算滿足下面的八條運

5、算規(guī)律：維向量的線性運算滿足下面的八條運算規(guī)律：(1)()()(2)00(3)()0 (4)1;00; 00k(5)( )(), ，是實數(shù)(6)() (8)() (7)說明說明.,VRV 則則若若2 維向量的集合是一個向量空間維向量的集合是一個向量空間,記作記作 0也是一個向量空間也是一個向量空間.nnR;,VVV 則則若若三、 向量空間定義定義4 設(shè)設(shè)V為為n維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空，非空，且集合且集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合集合V為為( (實實) )向量空間向量空間1集合集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指對于加

6、法及乘數(shù)兩種運算封閉指V例例2 2 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空間是向量空間1的任意兩個元素的任意兩個元素因為對于因為對于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 例例3 3 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 則則.V 不是向量空間不是向量空間2 , 122VaaTn 因為若因為若 設(shè)有向量空間設(shè)有向量空間 及及 ，若向量空間，若向量空間，就說就說 是是

7、 的子空間的子空間21VV 1V2V1V2V例子例子RVn 顯然顯然.的子空間的子空間總是總是所以所以RVn設(shè)設(shè) 是由是由 維向量所組成的向量空間，維向量所組成的向量空間，Vn定義定義4.161122mmkkk1212,nmmRk kk 設(shè)如果給定一組實數(shù)，稱定義定義 12,mk kk這里 , ，稱為組合系數(shù).一、線性組合的概念一、線性組合的概念則稱向量則稱向量是向量組是向量組 的一個的一個線性組合線性組合，這時稱向量這時稱向量能由向量組能由向量組 線性表示線性表示. .12,m 12,m 為向量組為向量組 的的線性組合線性組合. .12,m 1122mmkkk12,mk kk如果存在一組實數(shù)

8、 , ，使得第二節(jié)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性注：注：3. n維向量維向量121,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1TTTn，稱為稱為n維單位坐標向量組維單位坐標向量組。證明：。證明：Rn中任一向量都可由單中任一向量都可由單位坐標向量組線性表示，且表示方法唯一位坐標向量組線性表示，且表示方法唯一.證證 設(shè)設(shè)12,Tnnaa aaR，于是1 122+nnaaa如果另有如果另有1 122+nnakkk則則1212,.TTnnak kka aa例例 1 證明向量證明向量能由向量組能由向量組線性表示，其中線性表示，其中TTTT123= 1,2,3,2,3,1,3,1,2,= 0,4 2

9、.,解：解： 能由向量組能由向量組線性表示線性表示123112233,k kkkkk存在一組數(shù)使得 1231231232302+3+4.322kkkkkkkkk有解123231 = 180.312由于=解得解得. 1線性方程組線性方程組 的的向量表示向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 2 n x1 xn x2線性方程組可以寫成線性方程組可以寫成向量方程向量方程形式。形式。112111maaa122222maaa12nnnmnaaa12mbbb由定義可見，由定義可見， 能否由能否由 線性表示，線性表示，實際上是討論

10、向量方程實際上是討論向量方程m ,21 是否有解是否有解. .注：注：1122mmxxx()(1) (1) 方程組方程組有有唯一解唯一解 唯一唯一線性表示線性表示. .(2) (2) 方程組方程組有有無窮解無窮解 無窮種無窮種線性表示線性表示. .(3) (3) 方程組方程組無解無解 線性表示線性表示. .1212 :,:,. stABBAABBA 設(shè)有兩個向量組和若 組中的每個向量都能由向量組 線性表示，則稱若向量組 與向量組 能相互線性表示，向量組 能由向量組 線性表則稱這兩個向示量組等價定義定義 12121122 :, 0nmmmmARk kkkkk 給定向量組如果不全為零的數(shù)使存在則稱

11、向量組A是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)線性無關(guān)定義定義4.9.0 ,0, 1.2211121成成立立才才有有時時則則只只有有當當線線性性無無關(guān)關(guān)若若 nnnn 注意注意., 2.線線性性相相關(guān)關(guān)性性無無關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對對于于任任一一向向量量組組二、線性相關(guān)二、線性相關(guān)., 0, 0, 3. 線線性性無無關(guān)關(guān)則則說說若若線線性性相相關(guān)關(guān)則則說說若若時時向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量121,0,0,0,1,0,0,0,1TTTn，例例2 證明證明n維向量組維向量組線性無關(guān)線性無關(guān).1 1220

12、nnkkk12,nk kk解解 若存在一組數(shù)若存在一組數(shù) 使得使得又又T1 12212,nnnkkkk kk0120,0,0.nkkk即即所以所以 線性無關(guān)線性無關(guān).12,n 123410321214.11032317 ，例例3 3 討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性 解解 考慮齊次方程組考慮齊次方程組即即112233440 xxxx121234340 xxxx 系數(shù)矩陣，記為系數(shù)矩陣，記為A1234(,)1032121411032317A 10321214011032317A齊次方程組齊次方程組Ax=0有非零解，即有非零解，即112233440 xxxx有非零解，有非零解，

13、123112223331,=+,=+=+ 例4 設(shè)向量組,線性無關(guān)，則, 線性無關(guān).123112233,+=0k k kkkk 設(shè)存在一組數(shù)使得證明,112223331()+()+()=0kkk即 ,131122233()+()+()=0kkkkkk即 ,123, 由向量組,線性無關(guān)得131223=0=0=0kkkkkk10111020011系數(shù)行列式123=0kkk123, 所以 線性無關(guān).定理定理1 1 向量組向量組( (當當m2時時) )線性相關(guān)線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是中至少有一個向量可中至少有一個向量可由其余由其余m-1個向量線性表示個向量線性表示證明證明充分性充分性

14、設(shè)設(shè)中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.即有即有112211mmm 三、線性相關(guān)的有關(guān)理論三、線性相關(guān)的有關(guān)理論故故 01112211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設(shè)不妨設(shè) 則有則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.1 證畢證畢.12

15、1 :,:,.2 , mmABA 設(shè)向量組線性無關(guān) 而向量組線性相關(guān) 則向量必能由向量組線性表示 且表示法是定唯一的理證明證明由 線性相關(guān)，12,m 則有不全為0的數(shù)使 12,mk kkl11220.mmkkkl下證 l0.11220.mmkkk與 線性無關(guān)矛盾. 12,m 如果 l=0，則 不全為零且12,mk kk下證表示法唯一.反證法. 如果1122mmttt1122mmsss兩式相減得1112220mmmtststs，由于 線性無關(guān)，所以12,m 1122=0=00mmtststs， ，所以表示法是唯一的.推論推論 1 1 n個個n維向量維向量 1, 2 , n，A=( 1, 2 ,

16、n) 則它們線性相關(guān)（則它們線性相關(guān)（線性無關(guān)線性無關(guān)）的充要條件是）的充要條件是 |A|=0 (|A|0).推論推論 2 2 m個個n維向量維向量 1, 2 , m，mn，即向量組，即向量組 所含向量的個數(shù)大于向量組的維數(shù)，則它們所含向量的個數(shù)大于向量組的維數(shù)，則它們 一定線性相關(guān)一定線性相關(guān).注：注：例如例如任意四個三維向量一定線性相關(guān)。任意四個三維向量一定線性相關(guān)。一般地一般地, 在在 Rn 中中任意任意 n+1 個向量都是線性相關(guān)的；因此個向量都是線性相關(guān)的；因此, 任意任意線性線性無關(guān)的無關(guān)的n維向量組最多含有維向量組最多含有 個向量個向量因為因為 由由 線性表示，則線性表示，則12

17、,r 12,s 11111221221122221122.ssssrrrrssaaaaaaaaa定理定理 3 如果線性無關(guān)的向量組如果線性無關(guān)的向量組 可以可以由向量組由向量組 線性表示，則線性表示，則12:,rA 12:,sB .rs證證12,1,2, .iiiisaaair令反證法反證法 假設(shè)假設(shè)rs, ,12,r 則則 線性相關(guān)線性相關(guān)即證存在一組不全為零的數(shù)即證存在一組不全為零的數(shù) ，12,.,rk kk1 122.0rrkkk 滿足滿足則則 線性相關(guān)線性相關(guān)12,r 11 1212112 12222112200.0rrrrssrsra ka ka ka ka ka ka ka ka

18、k1122.rrkkk 11111221221122221122.ssssrrrrssaaaaaaaaa1111122122112222112211 12121112 1222221122.0ssssrrrrssrrrrssrsrskaaakaaakaaaa ka ka ka ka ka ka ka ka k矛盾，所以矛盾，所以rs.由推論由推論1 的結(jié)果可直接可得的結(jié)果可直接可得.證證 和和 等價，則等價，則 . . rs12:,rA 推論推論4.4 設(shè)兩個線性無關(guān)的向量組設(shè)兩個線性無關(guān)的向量組12:,sB 第三節(jié) 向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩一、向量組的最大無關(guān)組一、向量組的最大無關(guān)組設(shè)

19、有向量組設(shè)有向量組 A ，如果，如果 在在 A 中能選出中能選出 r 個向量個向量 a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 向量組向量組 A 中任意中任意 r + 1個向量（如果個向量（如果 A 中有中有r + 1個向量的話）個向量的話）都線性相關(guān)；都線性相關(guān)； 那么稱向量組那么稱向量組 A0 ：a1, a2, , ar 是向量組是向量組 A 的一個的一個 最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組，簡稱，簡稱最大無關(guān)組最大無關(guān)組例例 1 已知已知1231102 ,2,4 .404 123,. 求的一個最大線性無關(guān)組12312,=+ 線性無關(guān)，而解，12, 所以是一個最大線性無關(guān)組.2313

20、, 同理：和也是最大線性無關(guān)組.由定義，可推知以下由定義，可推知以下結(jié)論結(jié)論：(3) (3) 向量組向量組A中的任何一個向量可以用它的最大線性無關(guān)中的任何一個向量可以用它的最大線性無關(guān)組組A0表示；表示；(5) (5) 向量組的最大線性無關(guān)組可能不是唯一的向量組的最大線性無關(guān)組可能不是唯一的. .向量組向量組A的任何兩個最大線性無關(guān)組等價，所以向量組的最大線性的任何兩個最大線性無關(guān)組等價，所以向量組的最大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一的。無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一的。(2) (2) 一個向量組只要含有非零向量，就一定存在最大線性一個向量組只要含有非零向量，就一定存在最大線性無關(guān)組無關(guān)組. .(

21、4) (4) 向量組向量組A與它的最大線性無關(guān)組與它的最大線性無關(guān)組A0等價；等價；(1) (1) 單個零向量構(gòu)成的向量組沒有最大無關(guān)組；單個零向量構(gòu)成的向量組沒有最大無關(guān)組；向量組向量組A的最大無關(guān)組所含的向量個數(shù)的最大無關(guān)組所含的向量個數(shù) r 稱為稱為向量向量 組組 A 的秩的秩，記作，記作R(A) = r 注：注：(1) 規(guī)定只含有零向量的向量組的秩為零規(guī)定只含有零向量的向量組的秩為零 .(3) 兩個等價向量組的秩相等兩個等價向量組的秩相等 .定理：定理：設(shè)有向量組 A ：a1, a2, am，由秩的概念知： R(a1, a2, am) m, 故：向量組 A ：a1, a2, am 線性

22、無關(guān) R(A) = m向量組 A ：a1, a2, am 線性相關(guān) R(A) 0回顧：線段的長度2212| , OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，則，則222123| , OPxxxx x若令若令 x = (x1, x2, x3)T，則，則x, x = x12 + x22 + + xn2 0 2, , , kkkkk kk 定義：記 稱 | | 為 n 維向量 =x1 , x2 , , xnT的長度長度(范數(shù)范數(shù)) 當 | | = 1時，稱 為單位向量單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)：非負性：當 = 0（零向量） 時， | | = 0

23、； 當 0（零向量） 時， | | 0齊次性： | k | = | k | | | 22212| , 0nxxx 2|, , | , |kkkkkk 向量的長度向量的長度向量的長度向量的長度定義：記 稱 | | 為 n 維向量 的長度（或范數(shù)） 當 | | = 1時，稱 為單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)：非負性：當 = 0（零向量） 時， | | = 0； 當 0（零向量） 時， | | 0齊次性： | k | = | k | | |三角不等式： | + | | | + | |22212|,|nxxx + 定義：定義：當當 , = 0，稱向量，稱向量 和和 正交正交 兩兩正交的兩兩正交的非零非

24、零向量組稱為向量組稱為正交向量組正交向量組 如果如果正交向量組正交向量組中每個向量都是單位向量，中每個向量都是單位向量， 則則稱該稱該正交向量組正交向量組為為標準正交向量組標準正交向量組.向量的正交性向量的正交性例：例：已知已知3 維向量空間維向量空間R3中兩個向量中兩個向量 正交，試求一個非零向量正交，試求一個非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交分析：分析：顯然顯然a1 , a2 =0,解：解：設(shè)設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1 , a3=0 ， a2 , a3=0 ，則，則x1 + x2 + x3 = 0 x12x2 + x3 = 012111

25、, 211aa 得得 取解取解 ，即為所求，即為所求.1320 xxx 3101a 定理：定理：若若 n 維向量維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量，是一組兩兩正交的非零向量，則則 a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)證明：證明：設(shè)設(shè) k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2從而從而 k1 = 0同理可證，同理可

26、證，k2 = k3 = = kr =0綜上所述，綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化過程）正交化過程設(shè)設(shè) a1, a2, , ar 線性無關(guān)，那么令線性無關(guān)，那么令于是向量組于是向量組 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與向量組兩兩正交，并且與向量組 a1, a2, , ar 等價等價121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba b ababb b1222111,第二步：單位化第二步：單位化設(shè)設(shè) b1, b2, , br 是正交向量組，那么令是正交向量

27、組，那么令從而從而 e1, e2, , er 是一個是一個標準正交向量組標準正交向量組112212111, , |rrrebebebbbb例：例：設(shè)設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：設(shè)設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：解：第二步單位

28、化，令第二步單位化，令1231142, 3, 1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，試求非零向量，試求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交. .解：解：若若a1 , a2=0 ， a1 , a3=0，則，則 a2, a3 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 取解取解 正交化得正交化得1111a 12100, 111231110, 2211aa 定義：定義： n 維向量維向量e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 中的向量，滿足中的向量，滿足 e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個基（最大無關(guān)組）；中的一個基（最大無關(guān)組）； e1, e2, , er 兩兩正交；兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量，都是單位向量，則稱則稱 e1, e2, , er 是是V 的一個的一個規(guī)范正交基規(guī)范正交基(標準正交基標準正交基) 例：例：是是 R4 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基1234001212001212,121200