線性代數(shù)的應(yīng)用案例

1、案例一已知不同商店三種水果的價(jià)格、不同人員需要水果的數(shù)量以及不同城鎮(zhèn)不同人員的數(shù)目的矩陣：第一個(gè)矩陣為A，第二個(gè)矩陣為B，而第三個(gè)矩陣為C。（1）求出一個(gè)矩陣，它能給出在每個(gè)商店每個(gè)人購買水果的費(fèi)用是多少？（2）求出一個(gè)矩陣，它能確定在每個(gè)城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？解：（1）設(shè)該矩陣為D，則D=BA，即：此結(jié)果說明，人員A在商店A購買水果的費(fèi)用為2.30，人員A在商店B購買水果的費(fèi)用為3.50，人員B在商店A購買水果的費(fèi)用為1.65，人員B在商店B購買水果的費(fèi)用為2.10。（2）設(shè)該矩陣為E，則E=CB，即：此結(jié)果說明，城鎮(zhèn)1蘋果的購買量為7000，城鎮(zhèn)1橘子的購買量為12500，城鎮(zhèn)1梨的

2、購買量為5500；城鎮(zhèn)2蘋果的購買量為14000，城鎮(zhèn)2橘子的購買量為25000，城鎮(zhèn)2梨的購買量為11000。題后說明：這是一個(gè)矩陣的具體應(yīng)用問題。其實(shí)很顯然在沒有矩陣的知識(shí)前，我們也可以解出這一簡(jiǎn)單的問題。此題的一般提法是：現(xiàn)有兩個(gè)城鎮(zhèn)（城鎮(zhèn)1和城鎮(zhèn)2）；城鎮(zhèn)1中有人員A（1000人）和人員B（500人），城鎮(zhèn)2中有人員A（2000人）和人員B（1000人）；人員A需蘋果、橘子和梨分別5、10和3，而人員B需蘋果、橘子和梨分別4、5和5；現(xiàn)不妨假設(shè)每個(gè)城鎮(zhèn)中都有兩個(gè)商店（商店A和商店B），每個(gè)商店內(nèi)的蘋果、橘子和梨的價(jià)格均不相同。商店A中蘋果、橘子和梨的價(jià)格分別為每斤0.10、0.15和0

3、.10，而商店B中蘋果、橘子和梨的價(jià)格分別為0.15、0.20、0.10?，F(xiàn)問: （1）每個(gè)商店每個(gè)人購買水果的費(fèi)用是多少？（2）每個(gè)城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？解：（1）商店A： 人員A購買水果的費(fèi)用為： 人員B購買水果的費(fèi)用為： 商店B: 人員A購買水果的費(fèi)用為： 人員B購買水果的費(fèi)用為：此時(shí)如果用矩陣表示的話，有：顯然答案與用矩陣算出來的是一致的；同理對(duì)于（2）也是一樣的。然而，不難看出利用矩陣求解此問題要簡(jiǎn)單明了的多。就此問題而言，數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單且較少，如果是更為復(fù)雜的問題，如：假設(shè)這里的城鎮(zhèn)有10個(gè)，商店有50個(gè)的話。顯然用一般解法是很繁瑣的，而用矩陣求解仍是只需要一個(gè)算式即可。案例二 某

4、文具商店在一周內(nèi)所售出的文具如下表，周末盤點(diǎn)結(jié)賬，計(jì)算該店每天的售貨收入及一周的售貨總賬.文具星期單價(jià)（元）一二三四五六橡皮(個(gè))1585112200.3直尺（把）152018168250.5膠水（瓶）2001215431解 由表中數(shù)據(jù)設(shè)矩陣，則售貨收入可由下法算出所以，每天的售貨收入加在一起可得一周的售貨總賬，即案例三 某工廠檢驗(yàn)室有甲乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料分別含鋅與鎂10%與20%，乙種原料分別含鋅與鎂10%與30%，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制AB兩種試劑，A試劑需含鋅鎂各2克，5克，B試劑需含鋅鎂各1克，2克.問配制AB兩種試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各多少克？解： 設(shè)配制A試劑

5、需甲乙兩種化學(xué)原料分別為x，y克；配制B試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為s，t克；根據(jù)題意，得如下矩陣方程 設(shè)， 則，下面用初等行變換求，即，所以即配制A試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各10克，配制B試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為10克，0克.案例四 一百貨商店出售四種型號(hào)的T衫：小號(hào)，中號(hào)，大號(hào)和加大號(hào).四種型號(hào)的T衫的售價(jià)分別為：22元，24元，26元，30元.若商店某周共售出了13件T衫，毛收入為320元.已知大號(hào)的銷售量為小號(hào)和加大號(hào)銷售量的總和，大號(hào)的銷售收入也為小號(hào)和加大號(hào)銷售收入的總和，問各種型號(hào)的T衫各售出多少件？解 設(shè)該T衫小號(hào)，中號(hào)，大號(hào)和加大號(hào)的銷售量分別為，由題意得下面用初等行

6、變換把化成行簡(jiǎn)化矩陣所以方程組解得因此T衫小號(hào)，中號(hào)，大號(hào)和加大號(hào)的銷售量分別為1件，9件，2件和1件.案例五一個(gè)牧場(chǎng)，12 頭牛4 周吃草10/3 格爾，21 頭牛9 周吃草10 格爾，問24格爾牧草，多少頭牛18 周吃完？(注:格爾牧場(chǎng)的面積單位)解 設(shè)每頭牛每周吃草量為，每格爾草地每周的生長(zhǎng)量(即草的生長(zhǎng)量)為，每格爾草地的原有草量為，另外設(shè)24格爾牧草，頭牛18 周吃完則根據(jù)題意得 其中是線性方程組的未知數(shù)化簡(jiǎn)得 根據(jù)題意知齊次線性方程組有非零解，故,即系數(shù)行列式，計(jì)算得. 所以24 格爾牧草36 頭牛18 周吃完案例六田忌和齊王賽馬雙方約定出上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽，比賽

7、共3場(chǎng)，勝者得一分，負(fù)者-1分。已知在同一等級(jí)的馬進(jìn)行賽跑，齊王可穩(wěn)操勝券，另外，齊王的中等馬對(duì)田忌的上等馬，或者齊王的下等馬對(duì)田忌的中等馬，則田忌贏。齊王和田忌在排列賽馬出場(chǎng)順序時(shí)各取下列6種策略之一：上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、中、上下、上、中若將這6種策略從1到6依次編號(hào)，則可寫出齊王的贏得矩陣案例七甲乙兩超市銷售三種奶粉的日銷售量見下表奶粉一奶粉二奶粉三甲超市5810乙超市735抽象為矩陣單價(jià)與利潤(rùn)見下表單價(jià)利潤(rùn)奶粉一151奶粉二121奶粉三202抽象為矩陣求甲乙兩超市銷售奶粉總收入與總利潤(rùn)收入利潤(rùn)甲乙由此得矩陣案例八-機(jī)床定模型興興機(jī)械廠生產(chǎn)甲乙丙三種規(guī)格機(jī)床，其價(jià)格

8、和成本見下表甲乙丙單價(jià)（萬元每臺(tái)）765成本（萬元每臺(tái)）64.54一月份，工廠收到北京上海和廣東三地的訂購數(shù)量如下表北京上海廣東甲機(jī)床（臺(tái)）457乙機(jī)床（臺(tái)）568丙機(jī)床（臺(tái)）349請(qǐng)計(jì)算各地訂購三種機(jī)床的總價(jià)值總成本和總利潤(rùn)各是多少。 案例九-軍事通訊中的加密與解密軍事中通訊中，需要將字符轉(zhuǎn)化成數(shù)字，所以這就需要將字符與數(shù)字一一對(duì)應(yīng)，如：a b c d . x y z 1 2 3 4 24 25 26如are對(duì)應(yīng)的矩陣B=（1 18 5），如果直接按這種方式傳輸，則很容易被敵人破譯而造成巨大的損失，這就需要加密，通常的做法是用一個(gè)約定的加密矩陣A乘以原信號(hào)矩陣B，傳輸信號(hào)時(shí)，不是傳輸?shù)木仃嘊

9、，而是傳輸?shù)霓D(zhuǎn)換后的矩陣C=A,收到信號(hào)時(shí)，再將信號(hào)還原。如果敵人不知道加密矩陣，則他就很難弄明白傳輸?shù)男盘?hào)的含義。設(shè)收到的信號(hào)為C=,并且已知加密矩陣是 A=,問原信號(hào)B是什么？解答：由加密原理知：所以先求逆矩陣：從而得到=所以 所以，信號(hào)為dby. 案例十-韓信點(diǎn)兵 有兵一隊(duì)，人數(shù)在500到1000人之內(nèi)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二問這隊(duì)士兵多少人？案例十一-商品市場(chǎng)占有率 有兩家公司R和S經(jīng)營(yíng)同類產(chǎn)品，他們相互競(jìng)爭(zhēng)，每年R公司保有四分之一的顧客，而四分之三轉(zhuǎn)移到S公司，每年S公司保有三分之二的顧客，三分之一轉(zhuǎn)移向R公司。當(dāng)產(chǎn)品開始制造時(shí)R公司占有五分之三的市場(chǎng)份額，而S公司

10、占有五分之二的市場(chǎng)份額，問兩年后，兩家公司占有的市場(chǎng)份額變化怎樣？五年后又怎樣？是否有一組初始市場(chǎng)份額分配數(shù)據(jù)使以后每年市場(chǎng)份額分配額定不變？解答：兩年后市場(chǎng)份額R和S公司分別為31%和69%，五年后市場(chǎng)份額R和S公司分別為31%和69%，R和S兩家公司市場(chǎng)穩(wěn)定的初始份額為十三分之四約為31%和十三分之九約為69%。案例十二-工人工資定價(jià)問題現(xiàn)有一個(gè)木工、一個(gè)電工、一個(gè)油漆工三人相互同意彼此裝修他們自己的房子，在裝修之前，他們約定：(1)沒人總共工作10天(包括給自己家干活在內(nèi))；(2)每人的日工資根據(jù)一般的市價(jià)在6080元之間；(3)每人的日工資數(shù)應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等，下面的表格是他們工作天數(shù)的分配方案，根據(jù)分配方案表，確定他們每人的日工資.天數(shù)工種木工電工油漆工在木工家的工作天數(shù)216在電工家的工作天數(shù)451在油漆工家的工作天數(shù)443解：設(shè)分別表示木工、電工、油漆工的日工資，根據(jù)總收入等于總支出，建立方程組 整理得齊次線性方程組 解出方程組的全部解為(其中為任意實(shí)數(shù)).由于日工資在6080元之間，故取,得日工資分別為. 案例十四一制造商生產(chǎn)三種不同的化學(xué)產(chǎn)品A、B、C，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過兩種機(jī)器M和N的制作。而生產(chǎn)每一噸不同的產(chǎn)品需要使用兩部機(jī)器不同的時(shí)間(見