線面積分20080427

1、考研真題分析（線、面積分）1、(1989)設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分。解的參數(shù)方程為，故，因此。注本題若注意到在上變化時(shí)滿足，則立即可得結(jié)果：。2、(1993)設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則等于。A、B、C、D、解本題的關(guān)鍵在于由條件“曲線積分與路徑無(wú)關(guān)”導(dǎo)出所滿足的微分方程, 由此求出求的表達(dá)式。設(shè)，。由于，在全平面上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，因此即滿足方程由初始條件，得上面方程的特解為。3、(1996)計(jì)算曲面積分，其中是有向曲面，其法向量與軸正向的夾角為銳角。解法1由于被積函數(shù)在空間任意光滑封閉曲面所圍區(qū)域上滿足高斯公式條件，故采用添加有向曲面，利用

2、高斯公式計(jì)算。這里應(yīng)注意在高斯公式中，曲面積分是沿著封閉曲面外側(cè)進(jìn)行的，因此本題沿著封閉曲面內(nèi)側(cè)的積分應(yīng)加負(fù)號(hào)。記為法向量指向軸的負(fù)向的有向平面，為在平面上的投影區(qū)域，則設(shè)為所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式知因此原式解法2對(duì)此第二類曲面積分，可用“一投、二代、三投影”步驟求解。應(yīng)注意按照投影法確定符號(hào)。設(shè)為在平面上的投影區(qū)域，則其中令，則上式又所以。4、(1999)設(shè)為橢球面的上半部分，點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切平面，為點(diǎn)到平面的距離，求。解本題為綜合題。應(yīng)首先求出切平面方程再求相應(yīng)的第一類曲面積分，這一點(diǎn)由題意不難看出。選擇簡(jiǎn)便的方法求出切平面方程和曲面積分是應(yīng)引起充分注意的。以下采用公式法，直接求出切

3、平面方程，根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特性，利用極坐標(biāo)教簡(jiǎn)捷地求得了結(jié)果。先寫出切平面方程，設(shè)為上任意一點(diǎn)，則平面的方程為再由點(diǎn)到平面的距離公式，得由 有，于是積分區(qū)域是在平面的投影用極坐標(biāo)得5、(2000)設(shè)，為在第一卦限中的部分，則有。A、 B、C、 D、解本題可通過(guò)計(jì)算進(jìn)行選擇，但這樣比較煩瑣。也可采用排除法判別。由于(A), (B)兩個(gè)式子在形式上只是將換成了，由和的表達(dá)式知，的地位完全相當(dāng)，因此(A), (B)兩式或全對(duì)或全錯(cuò)，由于這里只有一個(gè)對(duì)的答案，故(A), (B) 全錯(cuò)。又(D)式左端的被積函數(shù)在區(qū)域上的符號(hào)不同，因此積分值應(yīng)有所抵消，而右端的被積函數(shù)在上非負(fù)，故(D)式左端的值

4、不可能是在第一象限上積分的四倍，即(D)不可能成立。由此只能選擇(C)。6、(2003)已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證（1）.（2）證法1等式的兩邊均為第二類曲線積分，可分別對(duì)兩邊直接積分，比較積分值，得結(jié)果。本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；(2)的證明應(yīng)注意用(1)的結(jié)果。左邊右邊于是證法2對(duì)于第二類曲線積分，?？紤]用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分求解，由于被積函數(shù)在全平面上都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，故可利用格林公式進(jìn)行求證。由格林公式，有由于關(guān)于對(duì)稱，故于是.(2) 由于，故由（1）得= （利用輪換對(duì)稱性）=7、(2003)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有

5、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，記（1）證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；（2）當(dāng)時(shí)，求的值。解由題設(shè)，第一問(wèn)可利用平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件給予證明。在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)求原函數(shù)，并求原函數(shù)的改變量，求得的值。（1）記，則，于是滿足：在時(shí)，且，所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。（2）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，故存在原函數(shù)使得，且：由于連續(xù)，所以存在，使得，于是所以原函數(shù)為取，得。于是注在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，第二問(wèn)的值，可通過(guò)如下取積分路徑為折線路徑，分段化為定積分求得。由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取為從到的折線段，于是8、（2004）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為。

6、解利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分。正向圓周在第一象限中的部分，可表示為，于是圖105注本題也可添加折線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計(jì)算，而在添加的線段上的積分容易計(jì)算：如圖105所示：而；故。9、(2004)計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè)。解對(duì)于第二類曲面積分，利用構(gòu)造封閉曲面，再應(yīng)用高斯公式將原式轉(zhuǎn)化為三重積分進(jìn)行計(jì)算是常用的方法，但選擇怎樣的封閉曲面以及在怎樣的坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分都是需要根據(jù)題意做選擇的。本題利用添加平面上的一個(gè)圓形區(qū)域構(gòu)造封閉曲面，并在柱面坐標(biāo)系下，較簡(jiǎn)捷地得到了所求的值。設(shè)為平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由和圍成的空間閉區(qū)域，則原式由高

7、斯公式知而因此，原式=。注本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），另外在上直接投影積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負(fù)號(hào))。10、(2005)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為常數(shù)。（I）對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；（II）求函數(shù)的表達(dá)式。圖104解本題是一道綜合題。從已知條件和問(wèn)題（I），易考慮使用格林公式求解。在本題的證明和求解過(guò)程中，從不同的思維角度切入，多次應(yīng)用了格林公式。格林公式在應(yīng)用上的靈活性，是值得關(guān)注的。證明（I）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積

8、分的可加性將進(jìn)行分解討論；而（II）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無(wú)關(guān)即可.yMROPNCQx圖106（I）如圖10-6，設(shè)是半平面內(nèi)的任一分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，在上任取兩點(diǎn)，作圍繞原點(diǎn)的閉曲線，同時(shí)得到另一個(gè)圍繞原點(diǎn)的閉曲線。根據(jù)題設(shè)可知根據(jù)第二類曲線積分的性質(zhì)，利用上式可得（II）設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有。比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而。11、(2005) 設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，的整個(gè)邊界的外側(cè)，則。解對(duì)第二類曲面積分，用高斯公式求解往往較為簡(jiǎn)捷，由于易知本題的積分區(qū)域以及被積函數(shù)滿足用高斯公式求解

9、的條件，于是首先考慮采用高斯公式求解。因?yàn)槭堑恼麄€(gè)邊界的外側(cè)，根據(jù)高斯公式可得：即空間區(qū)域體積的三倍。令，可得交線在平面上的投影區(qū)域（如圖104所示）為：。用柱坐標(biāo)求積分，得。注計(jì)算第二類曲面積分，在直角坐標(biāo)下采用投影法化為二重積分進(jìn)行計(jì)算是常用的基本方法，本題也可用此法計(jì)算，但計(jì)算量比較大，這里略去。12、（2006）設(shè)是錐面的下側(cè)，則。解本題不是封閉曲面，首先加上一曲面構(gòu)成封閉曲面，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.設(shè)：，取上側(cè)，則而，所以。13、（2006）設(shè)在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的都有.證明：對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有

10、.解由，兩邊對(duì)求導(dǎo)得令 ，則.設(shè)，則.則由可得.故由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理可知，對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有.14、（20070104）設(shè)曲線具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)和第四象限內(nèi)的點(diǎn)，為上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，則下列積分小于零的是：A、 B、 C、 D、解：令，由題設(shè)知，;故選B15、（20070104）設(shè)曲面，則解：由于積分曲面關(guān)于面對(duì)稱,對(duì)為奇函數(shù),所以,又由變量的輪換對(duì)稱性知,故,其中為曲面的面積.記第一卦限的面積為,則,所以故16、（20070110）計(jì)算曲面積分其中為曲面上側(cè)。解：利用高斯公式化為三重積分以及輔助面上的曲面積分。做輔助面，法向量朝下，與構(gòu)成閉曲面，

11、設(shè)其圍成的空間區(qū)域?yàn)椋⊥夥ㄏ蛄?。因?yàn)?，故，又在面上投影區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，故，所以17、（20080104）設(shè)曲面為的上側(cè)，則解：作輔助面法向量朝下，且由圍成的空間區(qū)域?yàn)?，則又，故，所以又關(guān)于面對(duì)稱，為的奇函數(shù)，故，由在面投影域?yàn)椋?，由輪換對(duì)稱性知，其中為在第一象限部分。因此18、（20080104）計(jì)算曲線積分其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。解：法一、法二：取為軸上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，是由圍成的平面區(qū)域。作業(yè)：1（1987）設(shè)為取正向的圓周，則曲線積分答案：2（1987）設(shè)是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與軸正向的夾角恒大于，求。答案：3（1988）設(shè)為曲面的外側(cè)，求曲面積分。答案：4（1

12、988）設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為，（，為兩質(zhì)點(diǎn)之距）質(zhì)點(diǎn)沿曲線，自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)，求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力所做的功。答案：5（1989）設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中連續(xù)可導(dǎo)且，求。答案：6（1989）向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度。答案：27（1990）設(shè)是球面的外側(cè)且，求。答案： 8（1990）設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿以為直徑的半圓周，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，受變力的作用，而的大小等于點(diǎn)與原點(diǎn)之距，其方向垂直于線段且與軸的正向夾角小于，求：變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功。答案：9（1991）在過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的曲線族，中，求一條曲線，使沿該曲線從原點(diǎn)到點(diǎn)的積分的值最小。答案：，10（1992）設(shè)為上半球面的上側(cè)，求曲面積分。

13、答案：11（1992）質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下，由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面上第一卦限中的點(diǎn)。問(wèn)：取何值，力所作的功最大？最大值是多少？答案：，最大值為12（1993）設(shè)是由面與圍成立體的表面外側(cè)，求：。答案：13（1994）設(shè)是由曲面與兩平面，（）圍成立體表面的外側(cè)，求。答案：14（1995）設(shè)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，對(duì)任意，恒有，求。答案：15（1995）設(shè)為錐面在柱體內(nèi)的部分，求曲面積分。答案：16（1996年）已知為某函數(shù)的全微分，則等于 （ ） （A） （B） 0 （C） 1 （D） 2 17（1997）從軸正向往軸負(fù)向看，曲線：的方向是順時(shí)針的。求曲線積分。答案：18（1998）設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)為，則。答