第十五章極值和條件極值(精)

1、第1頁共3頁第十五章極值和條件極值( 一 )教學目的：1 ）理解極值與條件極值的概念；2）掌握最小二乘法。(二 ) 教學重點：1）條件極值的必要條件；2）條件極值的求法.（三）教學難點1）最小二乘法；2）多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}。§15. 1 極值和最小二乘法一極值定義 1： 設 f x, y在 M 0 x0 , y0 的鄰域內(nèi)成立不等式fx, yf x0 , y0則稱函數(shù) f ( x, y) 在點 M0取到極大值， 點M 0x0 , y0稱為函數(shù)的極大點， 若在 M0x , y00的鄰域內(nèi)成立不等式fx, yf x0 , y0則稱函數(shù) f ( x, y) 在點 M 0取到極小值，

2、 點 M 0x0 , y0 稱為函數(shù)的極小點。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點和極小點統(tǒng)稱為極值點。定義 2： 設 D 是 R2 內(nèi)的一個區(qū)域，x0 , y0 是 D 的一個內(nèi)點，如果f x0 , y00，f x0 , y00，xy則稱x0 , y0 是 f 的一個駐點。根據(jù)費瑪定理，可知龍巖學院數(shù)計院第2頁共3頁定理 1：二元函數(shù)的極值點必為ff0 的點或至少有一個偏導數(shù)不存在的點。xy注：定理 1 的條件是必要條件，而不是充分條件。例 1： zxy 在0,0點。例 2： zx 在0,0點。怎樣進一步判斷是否有極值？定理 2： 設 f 在點 (x0 , y0 ) 的某個鄰域內(nèi)有各個二階連續(xù)偏

3、導數(shù)，并且點(x0 , y0 ) 是 f的一個駐點，2f ( x0 , y0 ) ， C2f2f ( x0 , y0 ) ， HABA( x0 , y0 ) ， BAC B2，x2y2x yBC則：（ 1）若（ 2）若（ 3）若H0, A0，則 f 在點 (x0 , y0 ) 有極小值；H0, A0，則 f 在點 (x0 , y0 ) 有極大值；H0 ，則 f在點 (x0 , y0 ) 沒有極值；（ 4）若 H0 ，則須進一步判斷。例 3：求 zxy(1xy ) (a 0, b 0) 的極值。ab例 4：求 z3axyx3y3 的極值。多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}設函數(shù)f ( x, y) 在某一

4、有界閉區(qū)域D 中連續(xù)且可導，必在D 上達到最大（?。┲?。若這樣的點 M 0 位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點顯然函數(shù)有極大（?。┲?。因此，在這種情形函數(shù)取到最大（?。┲档狞c必是極值點之一。然而函數(shù)f ( x, y) 的最大（?。┲底羁赡茉趨^(qū)域的邊界上達到。因此，為找出函數(shù)zf ( x, y) 在區(qū)域 D 上的最大（小）值，必須找出一切有極值的內(nèi)點， 算出這些點的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域D 上的最大（?。┲?。通?？筛鶕?jù)問題的實際意義來判斷。例 5：有一塊寬24cm 的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個梯形水槽，問x 和各自為何值時，水槽的流量是最大

5、？龍巖學院數(shù)計院第3頁共3頁例6 ： 試 在 x 軸 ，y 軸 與 直 線 xy2圍 成 的 三 角 形 區(qū) 域 上 求 函 數(shù)usin xsin ysin xy 的最大值。二最小二乘法例 7：已知 ( x1 ,T1) ， ( x2 ,T2 ) ， ( xn ,Tn ) 服從線性關系： y ax b問：如何根據(jù)這組數(shù)據(jù)來合理地確定系數(shù)a 和 b ？解： 總偏差為n2Tiaxib，i1確定系數(shù) a, b ，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令0a0b即可解得 a, b 。nn幾個疑問： 1）如果 n(xi2 )xi20 怎么辦？ 2）這樣求出的a、b 就是達到極i 1i 1小值的點？ 3）在選取 a、b 時，為什么不取各個偏差的代數(shù)和ni 作為總偏差？i 1例