屆4月蘇北四市數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考

1、07 93 3 5 6 712 4 5 3 30 14 71 1 29.點(diǎn)A(0,2),拋物線y22022屆蘇北四市高三數(shù)學(xué)試題試卷一、填空題：本大題共 14小題，每題5分，共70分.1.假設(shè)( i是虛數(shù)單位)是是實(shí)數(shù)，那么實(shí)數(shù) a的值是 .1 i2. 集合 A xx 1 ,B xx2 2x 0,那么 A B3. 為了解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況，從該校200名授課教師中隨機(jī)抽取 20名教師，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示如下：據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在15,30內(nèi)的人數(shù)為4. 在如下圖的流程圖中，輸出的結(jié)果是.5. 假設(shè)以連

2、續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)m, n分別為點(diǎn) P的橫、縱坐標(biāo)，那么點(diǎn) P在圓2 2x y 16內(nèi)的概率為0 x 16. 在約束條件 0 y 2下，那么.(X 1)2 y2的最小值為.2y x 17. 一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每 12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，最低點(diǎn)距地面 2米，最高點(diǎn)距地面 18米，P是摩天輪輪周上的一個(gè)定點(diǎn)， 從P在摩天輪最低點(diǎn)好似開始計(jì)時(shí)， 那么16分鐘后 P點(diǎn)距地面的高度為.8. 集合 A (x,y)|x y 1 , B (x, y) x2 y2r2r 0,假設(shè)點(diǎn)(x,y) A 是 點(diǎn)(x, y) B的必要條件，那么r的最大值是2px(p 0)的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為I，線段FA交拋物線與點(diǎn)B,過

3、B作I的垂線,垂足為M ,假設(shè)AM MF ,那么p10.假設(shè)函數(shù)f (x)x2 ,x 0x2 ,x,那么函數(shù)y0f (f (x)的值域是11.如下圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC BC,AC 4,BC CC12,假設(shè)用平行于三棱柱 ABCA, B1C1的某一側(cè)面的平面去截此三棱柱，使得到的兩個(gè)幾何體能夠拼接成長(zhǎng)方體，那么長(zhǎng)方體外表積的最小值為.12.橢圓2才1,A,B是其左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MBAB ,連接AM交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn) 代B的定點(diǎn)Q,以MP為直徑的圓經(jīng)過直線 BP, MQ的交點(diǎn)，那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 .那么4x y的最小值是14.如圖是一個(gè)數(shù)表，第1行依次寫著從

4、小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無限項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)表中的第13行第10個(gè)數(shù)為 .1234567357911158 12162024 20 23 36 釗486480 -、解答題：本大題共 6小題,共90分,解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，直線AB的3傾斜角為，OB 2設(shè) AOB4).(1)用表示OA;求OA OB的最小值.16.如圖，四面ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn)，BD/平面 EFGH ,且 EF F

5、G .(1) 求證：HG/平面ABC;(2) 請(qǐng)?jiān)诿鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E作一條線段垂直于 AC,并給出證明.ABC17.如圖，位于 y軸左側(cè)的圓C與y軸相切與點(diǎn)(0,1)，且被x軸分成的兩段弧之長(zhǎng)比為2:1，過點(diǎn)H (0,t)的直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程；當(dāng)t 1時(shí)，求出直線I的方程；求直線OM的斜率k的取值范圍D18. 心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：假設(shè)這位學(xué)生剛學(xué)完的知識(shí)存留量4記為1，那么X天后的存留量y!；假設(shè)在t(t 4)天時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，x 4那么此時(shí)知識(shí)存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍(復(fù)習(xí)時(shí)間忽略不計(jì))，其后存儲(chǔ)a量y2

6、隨時(shí)間變化的曲線恰為直線的一局部，其斜率為2 (a 0),存留(t 4)2量隨時(shí)間變化的曲線如下圖當(dāng)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量相差最大時(shí)，那么稱此時(shí)此刻為“二次復(fù)習(xí)最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)(1) 假設(shè)a1, t 5，求“二次最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)；(2) 假設(shè)出現(xiàn)了“二次復(fù)習(xí)最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)，求a的取值范圍.19. 各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列an的公差d不等于0，設(shè)aa3,ak是公比q的等比數(shù)列 bn的前三項(xiàng).(1)假設(shè) k 7, a1 2.(1) 求數(shù)列 anbn的前n項(xiàng)和Tn ；(ii)將數(shù)列 an中與bn相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列cn ，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，求S2nn1 22n 1 3 2n

7、 1(n 2,n N)的值；(2) 假設(shè)存在m k,m N使得a1, a3,ak ,am成等比數(shù)列，求證：k為奇數(shù)-x2 2ax, a2R.14520.波函數(shù) f(x) ax2 ln x, f1(x) x2 x ln x, f2(x)639(1)求證：函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e, f (e)處的切線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo); 假設(shè)f(x)f2(x)在區(qū)間(1,)上恒成立，求a的取值范圍;2當(dāng)a 時(shí)，求證：在區(qū)間(1,321、B.選修4 2:矩陣與變換矩陣M= 12的一個(gè)特征值為2 x3,求其另一個(gè)特征值。)上，滿足fi(x) g(x) f2(x)恒成立的函數(shù)g(x)有無窮多個(gè).C.選修4 4:坐標(biāo)系

8、與參數(shù)方程 極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的2x(2)P為橢圓C :16數(shù)列 an中，對(duì)于任意n3N ,an 4an 3a.(1)求證：假設(shè)ani)am1,那么1 ;(ii) a1an 11 ; (2)假設(shè)存在正整數(shù) m，使得am 1，求證:2k3cosp (其中 k Z)(參考公式：cos3 4cos33m 13cos ).原點(diǎn)重合，極軸與x軸的 正半軸重合假設(shè)直線I的極坐標(biāo)方程為sin(-) 3、2.(1)把直線I的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程;21上一點(diǎn)，求P到直線I的距離的最大值922. (本小題總分值10 分)如圖，三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)面與底面垂直，AA AB AC 1,AB

9、 ACM,N,P分別是CC1, BC,A1B1的中點(diǎn)(1)求證：PN AM ；假設(shè)直線MB與平面PMN所成的角為 ，求sin的值23. (本小題總分值10分)2(1) 求證：OM OP OA ;(2) N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線過B點(diǎn)的切線交直線 ON于K ,求證：ON，且交圓OKM 90M蘇北四市(連云港、徐州、淮安、宿遷)2022屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題試卷 n21.【選做題】在下面 A,B,C,D四個(gè)小題中只能選做兩題，每題 10分，共20分. A.選修4 1:幾何證明選講OM 于 P .如圖，過圓O外一點(diǎn)M作圓的切線，切點(diǎn)為 A,過A作APD.選修4 5:不等式選講設(shè)

10、 x, y,z為正數(shù)，求證：2(x3 y3 z3) x2(y z) y2(x z) z2(x y).蘇北四市(連云港、徐州、淮安、宿遷)2022屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、填空題:1. 1 ；2.XX 03. 100;4.60 ;25.-97. 14;8.9.、2 ;10.11. 24;12. (0,0)；913.-4二、解答題14. 216 (或者65536).15. (1)在厶ABC中，因?yàn)镺B 2 ,BAOABOOA)也得4由正弦定理，得_=-.p sin DABO sin4一OA，所以 OA= 2,2sin(坐-q). /3p 、4sin( - q)4注：僅寫出正弦

11、定理，得 3分.假設(shè)用直線AB方程求得OA= 2(sinq + cosq)或OA 22sin(uir urnuirum3P由(1)得 OA?OB |0A|鬃OB| cosq=4、2sin( - q)?cosq , 8分42(sin2cos2 ) 2 2.2 sin(2) 2, 10 分42 4444p3P5Puir urn所以當(dāng)2q+ p=上，即q二上時(shí)，OA QB的最小值為22 2 14分42816.(1)因?yàn)?BD/平面 EFGH ,平面 BDC I 平面 EFGH FG，所以 BD/FG .同理BD/EH，又因?yàn)镋H FG ,所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以HG /EF，又HG 平面

12、ABC ,所以HG P平面ABC . 6分(2)在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)E作EP AC，且交 AC于P點(diǎn)，在平面ACD內(nèi)過點(diǎn)P作PQ AC，且交AD于Q點(diǎn)，10分連結(jié)EQ，那么EQ即為所求線段.證明如下:EP ACPQ ACEPI PQ PAC 平面EPQEQ 平面EPQEQ AC14分17解：(1)因?yàn)槲挥趛軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)(0,1)，所以圓心C在直線y 1上,設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為 A、B ,由圓C被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為 2:1，得2ACB3所以CA CB 2，圓心C的坐標(biāo)為(2,1),所以圓C的方程為：(x 2)2(y 1)2 4 (2)當(dāng)t 1時(shí)，由題意知直線lmx2)2(y

13、1)2的斜率存在，設(shè)直線42_-m 1m2 4ml方程為y mx 1,m21不妨令4mm2 1因?yàn)橐評(píng)uuu 所以O(shè)M解得m4m21MN為直徑的圓恰好經(jīng)過 O(0,0),uuLr4 m2ON (廠，一2m2 1m2 12.3，所以所求直線I方程為yb N(0,1),4m 1) (0,1)m2 4m 1 小m 2 0，m 1(2 . 3)x 1 或 y (2. 3)x 1 .10分(3)設(shè)直線MO的方程為y kx,由題意知,2k 1 2，解之得 k 0 .由2知，k =0也滿足題意. k 4314分所以k的取值范圍是,-U0,-.3 418.設(shè)第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量之差為由題意知，

14、y2a8(x t) C (t 4)所以yy2 y1(t(t4)(1)當(dāng) a1,t5時(shí),1y2 (x 5)(5 4)(x 4)81當(dāng)且僅當(dāng) x 14時(shí)取等號(hào), 所以“二次復(fù)習(xí)最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)為第14 天.10分a(x 4)(t 4)28 a(t 4)t 4 (t 4)214分當(dāng)且僅當(dāng)a(x(t2由題意 2 (tv a4)4)222 (t 4)4時(shí)取等號(hào),a4)t，所以16分19 .因?yàn)閗 7 ,注：使用求導(dǎo)方法可以得到相應(yīng)得分 所以a1,a3,a7成等比數(shù)列，又 是公差d 0的等差數(shù)列,2所以a 2d6d，整理得312d ,又a12，所以bia1a3a1a 2da所以a1,bn2n ,用錯(cuò)位相減法或

15、其它方法可求得an bnn 1的前n項(xiàng)和為Tn n 2；所以S2n(2n 1)(22n)2(2n 11) (2n 1)(2m 1)2 1n 12所以Sn 12 2n 13 2門 11 .10分由(a12d)2a1 (a1(k21)d，整理得 4da1d(k5),因?yàn)閐0,所以da,k5)asa1 2d，所以qk 34a1a12所以am3aqai12分又在正項(xiàng)等差數(shù)列an中,ama1(m 1)d a1ai(m 1)(k5)13分所以a1a1(m1)(k 5)4a133，又因?yàn)閍1所以有 2 4 (m 1)(k 5)(k3)3，14分因?yàn)榇嬖趍k,m N*使得印忌松成等比數(shù)列,因?yàn)? 4 (m 1

16、)(k5)是偶數(shù)，所以(k 3)3也是偶數(shù),即k 3為偶數(shù)，所以k為奇數(shù).16分1120. (1)因?yàn)閒 (x) 2ax ，所以f(x)在點(diǎn)(e, f(e)處的切線的斜率為 k 2ae -,xe1 2所以f (x)在點(diǎn)(e,f(e)處的切線方程為y (2 ae -)(x e) ae2 1 ,2分 e整理得y - (2ae 1)(x -)，所以切線恒過定點(diǎn)(-,1) 4分2e 22 21 2(2)令 p(x) f (x) f2(x) (a )x 2ax In x0,對(duì) x (1,)恒成立，21因?yàn)?p (x)(2a 1)x 2a x2(*)(2a 1)x 2ax 1 (x 1)(2a 1)x 1

17、xx6分令 p(x)10 ,得極值點(diǎn)x11 , x22a 11當(dāng)丄21a 1 時(shí)，有 X2 X11，即a 1 時(shí)，在(x , +s)上有 p (x)0 ,此時(shí)p(x)在區(qū)間(X2,)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p(x) (p(X2),)，不合題意;當(dāng)a 1時(shí)，有X2 x,1，同理可知，p(x)在區(qū)間(1,)上，有p(x) (p(1),)，也不合題意； 8分1當(dāng)a 時(shí)，有2a 10,此時(shí)在區(qū)間1,上恒有px 0,2從而px在區(qū)間1,上是減函數(shù)；11要使px 0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足p1 a10 a-,22所以綜上可知a的范圍是12分當(dāng)f/x)因?yàn)樗詅2Xh(x)1x61 2X34x35.5

18、In x, f2(x)9In x, x9(1,2x y T59x6x259x所以f2Xf1X在1,上為增函數(shù),f2X f,Xf2(1)f1(1)14分設(shè) R(x)f1(x) 13,(01),那么 f1(x)R(x)f2 (x),所以在區(qū)間1,上，滿足 f1(x) g(x)f 2(x)恒成立的函數(shù)gx有無窮多個(gè).16分?jǐn)?shù)學(xué)附加題答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21 . A選修4-I :幾何證明選講證明：1因?yàn)镸A是圓O的切線，所以O(shè)A AM ,又因?yàn)锳P OM 在RtAOAM中，由射影定理知，OA2 OM gOP .2因?yàn)锽K是圓O的切線，BN OK ,同1,有OB2 ONgOK ,又OB OA，所以O(shè)PQMON

19、QK，即 OOMOK，又 / NOP所以 ONP OMK，故/ OKM Z OPN 90.10分B .選修4 2矩陣與變換解：1由$，即 2 3b8,2 c 612 , b 2,c 3 ,所以M/(2)設(shè)曲線上任一點(diǎn) P(x,y), P在M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)p/(x/, y/)，貝V X/yx/3x/2y/，代入5x28xy 4y21 得 x2 y 22 ,即曲線5x2 8xy 4y2 1在M的作用下的新曲線的方程是x2 y2 2 .10分C .選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：(1)直線l的極坐標(biāo)方程sin 732，那么-2sincos 3 . 2 ,即 sincos(2) P為橢圓2xC:166 ,2 y9所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x那么P到直線l的距離d1 上一點(diǎn)，設(shè) P(4cos , 3sin )，其中|4cos 3sin 6| 15cos(所以當(dāng)cos( )1時(shí)，d2的最大值為2D.選修4 5:不等式選講因?yàn)閤22xy 0 ,所以xy yxy同理yz y zzx z0,2 ),2)6|, 其中 cos 510分三式相加即可得2 x3z3xy xyzz zx z又因?yàn)閤y x y yz y zzx所以 2 x3y3 z3x2 y10分22.解：(1)建立如下圖直角坐標(biāo)系,那么 A(0,0,0) , B(1,0,0) ,