西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù) 解析函數(shù) 初等函數(shù)

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）第二章 解 析 函 數(shù)3 3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)3 3 初等函數(shù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一一. . 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：0exp)1( zz)0exp,( xez事事實實上上xezzfxz exp)(,)2(時時為為實實數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng))0( y , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指

2、指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)對對定義定義.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在復(fù)平面上處處解析，在復(fù)平面上處處解析，復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)右右邊邊左左邊邊設(shè)設(shè)事事實實上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.expzez代替代替為了方便，我們用以后為了方便，我們用以后復(fù)變函

3、數(shù)復(fù)變函數(shù):)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( A 這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee zzzzeeee ii i 5）其其他他性性質(zhì)質(zhì)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)沒有冪的意義.沒有冪的意義.它的定義為它的定義為僅僅是個符號僅僅是個符號 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公式公式 就得就得時,時,的實部的實部特別當(dāng)特別當(dāng)?shù)降紸 )Im(zie求求例例1 ie 14

4、1求求例例21 ze解解方方程程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)二二. . 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，Lnzwzfwzzew 記記作作稱稱為為對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)把把滿滿足足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那那么么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 對數(shù)的定義對數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù).2,)0(的的一一個個整整數(shù)數(shù)倍倍相相差差其其任任

5、意意兩兩個個相相異異值值即即虛虛部部無無窮窮多多角角的的一一般般值值的的輻輻的的虛虛部部是是的的模模的的實實自自然然對對數(shù)數(shù)；它它實實部部是是它它的的的的對對數(shù)數(shù)仍仍為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)這這說說明明一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) zzzz 的的無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值稱稱為為的的一一單單值值函函數(shù)數(shù)為為時時當(dāng)當(dāng)記記作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 .(負(fù)數(shù)也有對數(shù)).(負(fù)數(shù)也有對數(shù)), ,LnzLnz1)1)復(fù)數(shù)都有意義復(fù)數(shù)都有意義對一切非零對

6、一切非零不僅對正數(shù)有意義不僅對正數(shù)有意義 wZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值當(dāng)當(dāng)例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值當(dāng)當(dāng)特別特別A 以及相應(yīng)的主值。以及相應(yīng)的主值。求求練習(xí)練習(xí))21(, 2),( iLnLniLn： 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).,這與實函數(shù)不同這與實函數(shù)不同多值性多值性了對數(shù)函數(shù)的了對數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致 2)2)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .:)2處處處處連連續(xù)續(xù)在在除除去去原原點點與與負(fù)負(fù)實實軸軸外外連連續(xù)續(xù)性性L

7、nz,arglnln:zizz 主主值值;ln續(xù)續(xù)除除原原點點外外在在其其它它點點均均連連其其中中z.arg 連連續(xù)續(xù)在在原原點點與與負(fù)負(fù)實實軸軸上上都都不不而而z.ln,在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)除除原原點點及及負(fù)負(fù)實實軸軸外外z復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點點及及負(fù)負(fù)實實軸軸外外是是解解z .ln:)3平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析在在除除去去原原點點與與負(fù)負(fù)實實軸軸的的解解析析性性zzLnzLnz1)( 且且負(fù)負(fù)實實軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個個分分支支除除了了原原點點和和.,2ziez求求設(shè)設(shè)

8、例例4, 1, 0222ln kikiz 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)三三. . 乘冪乘冪 與冪函數(shù)與冪函數(shù) babzq 乘冪乘冪ab, 0, aba且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪., 0,為實數(shù)為實數(shù)實變數(shù)情形實變數(shù)情形ba A kiaLna2ln 多值多值復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù).,它它是是單單值值函函數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)時時bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 為為整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) b)0,( qqpqpb且且為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng))2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea

9、)1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具有具有一般而論一般而論ba,.無無窮窮多多支支復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) (2)當(dāng)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù)正整數(shù))時時，乘冪乘冪ab與與a 的的 n次根意義一致。次根意義一致。A (1)當(dāng)當(dāng)b=n(正整數(shù)正整數(shù))時時，乘冪乘冪ab與與a 的的n次冪次冪 意義一致。意義一致。LnaLnaLnaeee LnaLnaLnanLnaneea 個個naaaa nkannnniaikaiaLnaeeeea 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkainkaan )12

10、 , 1 , 0( nkna 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k)22sin()22cos(kik)2,1,0( k解解.1322的的值值和和、求求iii例例5練習(xí)練習(xí). . 21i 求值：求值：復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)q 冪函數(shù)冪函數(shù)zb稱稱為為冪冪函函數(shù)數(shù)。得得為為復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)中中，取取在在乘乘冪冪,bbzwzaa定義定義當(dāng)當(dāng)b = n (正整數(shù)正整數(shù))1)(nnnzznzw

11、 1）單值函數(shù)3）導(dǎo)數(shù)公式：2）在復(fù)平面內(nèi)處處解析復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)為正整數(shù)）為正整數(shù)）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12 , 1 , 0( nknz 的的反反函函數(shù)數(shù)nwz 1）多值函數(shù)，有n個分支2）各分支在除去原點及負(fù)實軸外的復(fù)平面內(nèi)解析3）導(dǎo)數(shù)公式：11111)()()(nLnznnnznezz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1）多值函數(shù)（有無窮多分支）3）導(dǎo)數(shù)公式為1)(bbbzz2）各分支在除去原點及負(fù)實軸外的復(fù)平面內(nèi)解析bzw （b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)）（3）復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù))2(2c

12、os2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 從從而而得得到到時時當(dāng)當(dāng)由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的定定義義四四. . 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)將自變量推廣到復(fù)數(shù)情形得將自變量推廣到復(fù)數(shù)情形得的的正正弦弦與與余余弦弦函函數(shù)數(shù)稱稱為為 zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定義定義復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)周周期期函函數(shù)數(shù)是是及及 2cossin)1 Tzzzzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析q正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì).cos,sin)3是是偶偶函函數(shù)數(shù)

13、是是奇奇函函數(shù)數(shù)zz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzcoscos sinsin sin2cos cos2sin 1cos2sin21sincos2cos cossin22sin 1cossin sincoscossin)sin( sinsincoscos)cos( sinsin coscosz 2222222121212121214）其他性質(zhì)：）其他性質(zhì)：復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)由由正正弦弦和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)定定義義)4 1cossinsincoscossin)sin(sin

14、sincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù))1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定義定義稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù))4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函數(shù)的定義得由正弦和余弦函數(shù)的定義得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù).,數(shù)數(shù)一一定定是是多多值值函函數(shù)數(shù)周

15、周期期函函數(shù)數(shù)，故故它它的的反反函函且且是是函函數(shù)數(shù)定定義義的的雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)均均是是由由復(fù)復(fù)指指數(shù)數(shù)三三角角函函數(shù)數(shù)yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定義義析析在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3q雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函數(shù)數(shù)偶偶函函數(shù)數(shù) shzchz,)2yichxyshxiyxshsincos)( 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)xshyixchyiyxiyxiyxzsincos sinsincoscos)cos(cos yshxyshxyshxyxshyxchz22222222222cos cos11cos sincoscos！在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立故而1coszlimshyy！在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)也不成立同理，1sinz 0sin z求方程例復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)五五. . 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù))1(sin2ziziLnzArc)1(cos2zziLnzArci