西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)概念

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)（二）工程數(shù)學(xué)（二）4 4 區(qū)區(qū) 域域5 5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6 6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)1.復(fù)數(shù)的概念2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算3.復(fù)數(shù)的幾何表示4.復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)引子引子 . ),( , R : ,R DxxfyDDfD 通常記為通常記為上的函數(shù)上的函數(shù)在在為定義為定義則稱映射則稱映射設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集 . , , , fDDyx記作記作域域稱為定義稱為定義稱為因變量稱為因變量稱為自變量稱為自變量其中其中函數(shù)函數(shù)( (function)function)的定義的定義構(gòu)成函數(shù)的兩要素構(gòu)成

2、函數(shù)的兩要素: : . fDf和對(duì)應(yīng)法則和對(duì)應(yīng)法則定義域定義域復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)4 4 區(qū)區(qū) 域域一一. .平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念的鄰域的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)為半徑的圓為中心，平面上以000zzzz1.1.鄰域鄰域的去心鄰域確定的點(diǎn)集稱為由不等式000zzz2.2.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)。為，則稱有點(diǎn)都屬于一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)所的中任意一點(diǎn)，若存在為為一平面點(diǎn)集，設(shè)GzGzGzG000為開(kāi)集。點(diǎn)，則稱內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)若GG復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)3.3.邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 設(shè)G為點(diǎn)集，z0為平面中的一點(diǎn)。若在點(diǎn)z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于G的點(diǎn)，也有不屬于G的點(diǎn)，則稱點(diǎn)z0為G的邊界點(diǎn)。全部邊界

3、點(diǎn)稱為G的邊界復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)4.4.區(qū)域區(qū)域 若平面點(diǎn)集G滿足 G是開(kāi)集； G是連通的； 則稱G為區(qū)域區(qū)域G加上它的邊界C稱為閉區(qū)域或閉域，記為G復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)5.5.有界，無(wú)界有界，無(wú)界 如果區(qū)域G可以包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓內(nèi)，則稱區(qū)域G是有界的，否則稱區(qū)域G是無(wú)界的。Grzzr的所有點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域滿足例201. 1 4arg031Im021Re01 . 2zzz例Mz復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù))( )()(ttiytxz令 設(shè)x(t)及y(t)是兩個(gè)在閉區(qū)間,上連續(xù)的實(shí)函數(shù)，則由方程組)( )()(ttyytxx所決定的點(diǎn)集C，稱為z平面上的一條連續(xù)曲線。二二. .單連通域與多連通域單連通域與

4、多連通域1.1.連續(xù)曲線連續(xù)曲線)(tzz 復(fù)數(shù)表達(dá)式復(fù)數(shù)表達(dá)式參數(shù)表達(dá)式參數(shù)表達(dá)式復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2.2.光滑曲線光滑曲線 設(shè)曲線C的參數(shù)方程為:又在t上，x(t)和y(t)連續(xù)且則C稱為光滑曲線。)( )()(ttiytxz0)()(22tytx 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線。復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)3.3.簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線 沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡(jiǎn)單曲線，或約當(dāng)曲線。 對(duì)于曲線C:z=z(t) 其中t， z()，z()稱為曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)；復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)說(shuō)明：說(shuō)明： 1.簡(jiǎn)單曲線自身不會(huì)相交；2.簡(jiǎn)單閉曲線把整個(gè)復(fù)平面唯一的分成 三個(gè)互不相交的點(diǎn)集的外部的內(nèi)部CCC復(fù)變

5、函數(shù)復(fù)變函數(shù)定義定義：設(shè)G為復(fù)平面上的區(qū)域，若在G內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于G，則稱G為單連通區(qū)域；非單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)說(shuō)明：說(shuō)明： 1.簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部都是單連通域；2.單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域的本質(zhì)區(qū)別：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點(diǎn)；連續(xù)變形連續(xù)變形：變形時(shí)不能通過(guò)不屬于D的區(qū)域復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)三三. .用復(fù)數(shù)表達(dá)式表示常見(jiàn)區(qū)域用復(fù)數(shù)表達(dá)式表示常見(jiàn)區(qū)域1.1.單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部1z2.2.圓環(huán)域圓環(huán)域的實(shí)數(shù)都是大于，其中021201rrrzzr3.3.帶狀區(qū)域帶狀區(qū)域 2121ImReyzyxzx4.4.角形域角形域21argz5.5.上半平面上半

6、平面 0Imz6.6.左半平面左半平面 0Rez復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)5 5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 定義定義設(shè)在復(fù)平面上有點(diǎn)集設(shè)在復(fù)平面上有點(diǎn)集D。若對(duì)于。若對(duì)于D內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)z，按照某一法則，有確定的復(fù)數(shù)按照某一法則，有確定的復(fù)數(shù)w與之對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)與之對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是應(yīng)關(guān)系是z的的復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)，記作，記作w=f (z)；稱；稱w是是z在函數(shù)在函數(shù)f 下的像。下的像。 若若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值，則稱的一個(gè)值，則稱f (z)為為單值單值函數(shù)函數(shù)；若；若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)值，的幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)值，則稱則稱f (z)為為多值函數(shù)多值函數(shù)。一一

7、.復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 用用z平面上的點(diǎn)表示自變量平面上的點(diǎn)表示自變量z的值；用的值；用w平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)表示函數(shù)w的值。函數(shù)的值。函數(shù)w=f (z)在幾何上可以看在幾何上可以看w作把作把z平面上的點(diǎn)集平面上的點(diǎn)集G變到變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集G*的映射，的映射，簡(jiǎn)稱為由函數(shù)簡(jiǎn)稱為由函數(shù)w=f (z)所構(gòu)成的映射。所構(gòu)成的映射。二二. .映射映射【注】2.2.一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)1.1.復(fù)數(shù)集與復(fù)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)集與復(fù)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,uu x ywf zvv x y復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)在幾

8、何上，在幾何上， w=f(z)可以看作可以看作：).() (*)(變變換換平平面面）的的映映射射平平面面wGwzGzzfw 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱wzzw)(oxy(z)ouv(w)GG*w=f(z)zw=f(z)w復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù).所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例1關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射oxy(z)uv(w)o設(shè)函數(shù) ; u=x , v=-yzxiy復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù).2所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射研究研究zw 例例2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u

9、= x2y2, v = 2xyoxy(z)ouv(w) 2 2zw oxy(z)ouv(w)R=2R=43 422 yx2zw 2zw 2zw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv123121ziziz 1231341wwiw xyOuvOz1z2w2z3w3w1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 函數(shù) w=z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù): u=x2y2, v=2xy 把 z 平面上的兩族雙曲線 x2y2 = c1 , 2xy = c2 分別映 射成w平面上的兩族平行直線 u=c1 , v=c2 .10111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010復(fù)變函數(shù)復(fù)變

10、函數(shù))1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.例例 設(shè)設(shè) z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw 定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個(gè)個(gè)一一個(gè)個(gè)則稱則稱z=(w)為為w=f(z)的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）.三三. .反函數(shù)反函數(shù)GzzfzGwwfw )()(* 當(dāng)反函數(shù)單值時(shí)當(dāng)反函數(shù)單值時(shí)顯然有顯然有)(zfz 一一般般復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。是一一對(duì)應(yīng)的。與集合與集合是一一的。也稱集合是一一的。也稱集合映射映射都是單

11、值的，則稱函數(shù)都是單值的，則稱函數(shù)逆映射逆映射和其反函數(shù)和其反函數(shù)映射映射當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例4?1:,122平面上怎樣的曲線平面上怎樣的曲線映射成映射成被被平面上的曲線平面上的曲線判斷判斷已知映射已知映射wyxzzw ?8:122zwyxC11zxiywuiv2222,vuvyvuux81:22vu復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)6 6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性引子引子1 1：一元實(shí)函數(shù)的極限：一元實(shí)函數(shù)的極限. ) ( )( )(lim , )( ,)( )( , 0 , , ) ( , . )( 00000 xxAxfAxfxxxfAAxf

12、xfxxxAxxfxx 當(dāng)當(dāng)或或記作記作的極限的極限當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)就叫做函就叫做函那么常數(shù)那么常數(shù)滿足不等式滿足不等式都都對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值時(shí)時(shí)不等式不等式滿足滿足使得當(dāng)使得當(dāng)總存在正數(shù)總存在正數(shù)不論它多么小不論它多么小對(duì)于任意給定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù)如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)定義定義的某一去心鄰域內(nèi)有的某一去心鄰域內(nèi)有在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 定義定義復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一一. .復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限 定義定義設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f (z)在z0的去心鄰域 內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)，相應(yīng)地必有一正數(shù)() (0),使得當(dāng) 時(shí)有 Azf)(00zz00zz 那么稱A為函數(shù)f (z)當(dāng)

13、z趨于z0時(shí)的極限，記作 或記作當(dāng)zz0時(shí)，f (z)AAzfzz)(lim0【注】 1）去心鄰域2）強(qiáng)調(diào)過(guò)程復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)幾何意義幾何意義: : 0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當(dāng) 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時(shí)，均以A為極限。xyOz0zOuvAf(z)(zfw 若在的極限存在，則此極限唯一( )f z0z復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)0 xx0),(lim ,),(lim0000vyxvuyxuyyyyxx定理一定理一 設(shè)w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0， z0=x0+iy0,則 的充要條件是Azfzz)(lim01.利用復(fù)數(shù)的

14、模的概念與實(shí)數(shù)建立聯(lián)系【注】：2.將求復(fù)變函數(shù)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元 實(shí)變函數(shù)的極限的問(wèn)題。 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定理二定理二如果那么,)(lim,)(lim00BzgAzfzzzz;)()(lim0BAzgzfzz (1);)()(lim0ABzgzfzz (2).0( )()(lim0BBAzgzfzz (3)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)例例1.)(22在平面上處處有極限在平面上處處有極限證明證明yxiyxw 在平面上處處有極限在平面上處處有極限22,yxyx 例例2.0)(時(shí)的極限時(shí)的極限在在求求 zzzzzzf.)0 , 0()(2)(2222處極限不存在處極限不存在在在yxyxzf 例例3.0R

15、e)(時(shí)的極限不存在時(shí)的極限不存在在在證明證明 zzzzf復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)二二. .函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 定義定義若 ，則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0處是連續(xù)的；若w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的。)()(lim00zfzfzz 定理三定理三函數(shù)w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z0= x0+ iy0處連續(xù)的充要條件是：u(x,y)和v(x,y)都在點(diǎn)(x0, y0)處連續(xù)?！咀ⅰ浚哼B續(xù)與極限的區(qū)別復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定理四定理四1）在z0連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商(分母在z0不為零)在z0仍連續(xù)； 處連續(xù)。在連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在連續(xù)，函數(shù)在如果函數(shù) )2 0000zzgfzghhfzzgh【判別函數(shù)是否連續(xù)的方法】.0)()()()(10點(diǎn)外處處連續(xù)點(diǎn)外處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除分母為在復(fù)平面內(nèi)除分母為的；的；在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)是連續(xù)在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)是連續(xù)由以上討論由以上討論zQzPzRzazaa