西安交大西工大 考研備考期末復習工程數(shù)學復變函數(shù) 復數(shù)與復變函數(shù)概念

1、復變函數(shù)復變函數(shù)工程數(shù)學（二）工程數(shù)學（二）4 4 區(qū)區(qū) 域域5 5 復變函數(shù)復變函數(shù)第一章 復數(shù)與復變函數(shù)6 6 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性復變函數(shù)的極限和連續(xù)性復變函數(shù)復變函數(shù)課前復習課前復習1.復數(shù)的概念2.復數(shù)的代數(shù)運算3.復數(shù)的幾何表示4.復數(shù)的乘冪與方根復變函數(shù)復變函數(shù)引子引子 . ),( , R : ,R DxxfyDDfD 通常記為通常記為上的函數(shù)上的函數(shù)在在為定義為定義則稱映射則稱映射設數(shù)集設數(shù)集 . , , , fDDyx記作記作域域稱為定義稱為定義稱為因變量稱為因變量稱為自變量稱為自變量其中其中函數(shù)函數(shù)( (function)function)的定義的定義構(gòu)成函數(shù)的兩要素構(gòu)成

2、函數(shù)的兩要素: : . fDf和對應法則和對應法則定義域定義域復變函數(shù)復變函數(shù)4 4 區(qū)區(qū) 域域一一. .平面點集的幾個基本概念平面點集的幾個基本概念的鄰域的集合稱為內(nèi)部的點為半徑的圓為中心，平面上以000zzzz1.1.鄰域鄰域的去心鄰域確定的點集稱為由不等式000zzz2.2.內(nèi)點內(nèi)點的內(nèi)點。為，則稱有點都屬于一個鄰域，該鄰域內(nèi)所的中任意一點，若存在為為一平面點集，設GzGzGzG000為開集。點，則稱內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)若GG復變函數(shù)復變函數(shù)3.3.邊界點邊界點 設G為點集，z0為平面中的一點。若在點z0的任意一個鄰域內(nèi)，既有屬于G的點，也有不屬于G的點，則稱點z0為G的邊界點。全部邊界

3、點稱為G的邊界復變函數(shù)復變函數(shù)4.4.區(qū)域區(qū)域 若平面點集G滿足 G是開集； G是連通的； 則稱G為區(qū)域區(qū)域G加上它的邊界C稱為閉區(qū)域或閉域，記為G復變函數(shù)復變函數(shù)5.5.有界，無界有界，無界 如果區(qū)域G可以包含在一個以原點為中心的圓內(nèi)，則稱區(qū)域G是有界的，否則稱區(qū)域G是無界的。Grzzr的所有點構(gòu)成的區(qū)域滿足例201. 1 4arg031Im021Re01 . 2zzz例Mz復變函數(shù)復變函數(shù))( )()(ttiytxz令 設x(t)及y(t)是兩個在閉區(qū)間,上連續(xù)的實函數(shù)，則由方程組)( )()(ttyytxx所決定的點集C，稱為z平面上的一條連續(xù)曲線。二二. .單連通域與多連通域單連通域與

4、多連通域1.1.連續(xù)曲線連續(xù)曲線)(tzz 復數(shù)表達式復數(shù)表達式參數(shù)表達式參數(shù)表達式復變函數(shù)復變函數(shù)2.2.光滑曲線光滑曲線 設曲線C的參數(shù)方程為:又在t上，x(t)和y(t)連續(xù)且則C稱為光滑曲線。)( )()(ttiytxz0)()(22tytx 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線。復變函數(shù)復變函數(shù)3.3.簡單曲線簡單曲線 沒有重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線，或約當曲線。 對于曲線C:z=z(t) 其中t， z()，z()稱為曲線的起點、終點；復變函數(shù)復變函數(shù)說明：說明： 1.簡單曲線自身不會相交；2.簡單閉曲線把整個復平面唯一的分成 三個互不相交的點集的外部的內(nèi)部CCC復變

5、函數(shù)復變函數(shù)定義定義：設G為復平面上的區(qū)域，若在G內(nèi)的任意簡單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于G，則稱G為單連通區(qū)域；非單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域復變函數(shù)復變函數(shù)說明：說明： 1.簡單閉曲線內(nèi)部都是單連通域；2.單連通區(qū)域與復連通區(qū)域的本質(zhì)區(qū)別：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點；連續(xù)變形連續(xù)變形：變形時不能通過不屬于D的區(qū)域復變函數(shù)復變函數(shù)三三. .用復數(shù)表達式表示常見區(qū)域用復數(shù)表達式表示常見區(qū)域1.1.單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部1z2.2.圓環(huán)域圓環(huán)域的實數(shù)都是大于，其中021201rrrzzr3.3.帶狀區(qū)域帶狀區(qū)域 2121ImReyzyxzx4.4.角形域角形域21argz5.5.上半平面上半

6、平面 0Imz6.6.左半平面左半平面 0Rez復變函數(shù)復變函數(shù)5 5 復變函數(shù)復變函數(shù) 定義定義設在復平面上有點集設在復平面上有點集D。若對于。若對于D內(nèi)每一點內(nèi)每一點z，按照某一法則，有確定的復數(shù)按照某一法則，有確定的復數(shù)w與之對應，則稱這種對與之對應，則稱這種對應關系是應關系是z的的復變函數(shù)復變函數(shù)，記作，記作w=f (z)；稱；稱w是是z在函數(shù)在函數(shù)f 下的像。下的像。 若若z的一個值對應著的一個值對應著w的一個值，則稱的一個值，則稱f (z)為為單值單值函數(shù)函數(shù)；若；若z的一個值對應著的一個值對應著w的幾個或無窮多個值，的幾個或無窮多個值，則稱則稱f (z)為為多值函數(shù)多值函數(shù)。一一

7、.復變函數(shù)的定義復變函數(shù)的定義復變函數(shù)復變函數(shù) 用用z平面上的點表示自變量平面上的點表示自變量z的值；用的值；用w平面上的點平面上的點表示函數(shù)表示函數(shù)w的值。函數(shù)的值。函數(shù)w=f (z)在幾何上可以看在幾何上可以看w作把作把z平面上的點集平面上的點集G變到變到w平面上的一個點集平面上的一個點集G*的映射，的映射，簡稱為由函數(shù)簡稱為由函數(shù)w=f (z)所構(gòu)成的映射。所構(gòu)成的映射。二二. .映射映射【注】2.2.一個復變函數(shù)對應著兩個二元實變函數(shù)一個復變函數(shù)對應著兩個二元實變函數(shù)1.1.復數(shù)集與復數(shù)集之間的對應關系復數(shù)集與復數(shù)集之間的對應關系 ,uu x ywf zvv x y復變函數(shù)復變函數(shù)在幾

8、何上，在幾何上， w=f(z)可以看作可以看作：).() (*)(變變換換平平面面）的的映映射射平平面面wGwzGzzfw 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點點為為稱稱wzzw)(oxy(z)ouv(w)GG*w=f(z)zw=f(z)w復變函數(shù)復變函數(shù).所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例1關于實軸對稱的一個映射關于實軸對稱的一個映射oxy(z)uv(w)o設函數(shù) ; u=x , v=-yzxiy復變函數(shù)復變函數(shù).2所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射研究研究zw 例例2設函數(shù)設函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u

9、= x2y2, v = 2xyoxy(z)ouv(w) 2 2zw oxy(z)ouv(w)R=2R=43 422 yx2zw 2zw 2zw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv123121ziziz 1231341wwiw xyOuvOz1z2w2z3w3w1復變函數(shù)復變函數(shù) 函數(shù) w=z2 對應于兩個二元實變函數(shù): u=x2y2, v=2xy 把 z 平面上的兩族雙曲線 x2y2 = c1 , 2xy = c2 分別映 射成w平面上的兩族平行直線 u=c1 , v=c2 .10111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010復變函數(shù)復變

10、函數(shù))1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.例例 設設 z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw 定義定義 設設 w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個個一一個個則稱則稱z=(w)為為w=f(z)的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）.三三. .反函數(shù)反函數(shù)GzzfzGwwfw )()(* 當反函數(shù)單值時當反函數(shù)單值時顯然有顯然有)(zfz 一一般般復變函數(shù)復變函數(shù)是一一對應的。是一一對應的。與集合與集合是一一的。也稱集合是一一的。也稱集合映射映射都是單

11、值的，則稱函數(shù)都是單值的，則稱函數(shù)逆映射逆映射和其反函數(shù)和其反函數(shù)映射映射當函數(shù)當函數(shù) GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例4?1:,122平面上怎樣的曲線平面上怎樣的曲線映射成映射成被被平面上的曲線平面上的曲線判斷判斷已知映射已知映射wyxzzw ?8:122zwyxC11zxiywuiv2222,vuvyvuux81:22vu復變函數(shù)復變函數(shù)6 6 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性復變函數(shù)的極限和連續(xù)性引子引子1 1：一元實函數(shù)的極限：一元實函數(shù)的極限. ) ( )( )(lim , )( ,)( )( , 0 , , ) ( , . )( 00000 xxAxfAxfxxxfAAxf

12、xfxxxAxxfxx 當當或或記作記作的極限的極限當當數(shù)數(shù)就叫做函就叫做函那么常數(shù)那么常數(shù)滿足不等式滿足不等式都都對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值時時不等式不等式滿足滿足使得當使得當總存在正數(shù)總存在正數(shù)不論它多么小不論它多么小對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù)如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)定義定義的某一去心鄰域內(nèi)有的某一去心鄰域內(nèi)有在在設函數(shù)設函數(shù) 定義定義復變函數(shù)復變函數(shù)一一. .復變函數(shù)的極限復變函數(shù)的極限 定義定義設復變函數(shù)w=f (z)在z0的去心鄰域 內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)，相應地必有一正數(shù)() (0),使得當 時有 Azf)(00zz00zz 那么稱A為函數(shù)f (z)當

13、z趨于z0時的極限，記作 或記作當zz0時，f (z)AAzfzz)(lim0【注】 1）去心鄰域2）強調(diào)過程復變函數(shù)復變函數(shù)幾何意義幾何意義: : 0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時，均以A為極限。xyOz0zOuvAf(z)(zfw 若在的極限存在，則此極限唯一( )f z0z復變函數(shù)復變函數(shù)0 xx0),(lim ,),(lim0000vyxvuyxuyyyyxx定理一定理一 設w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0， z0=x0+iy0,則 的充要條件是Azfzz)(lim01.利用復數(shù)的

14、模的概念與實數(shù)建立聯(lián)系【注】：2.將求復變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元 實變函數(shù)的極限的問題。 復變函數(shù)復變函數(shù)定理二定理二如果那么,)(lim,)(lim00BzgAzfzzzz;)()(lim0BAzgzfzz (1);)()(lim0ABzgzfzz (2).0( )()(lim0BBAzgzfzz (3)復變函數(shù)復變函數(shù)例例1.)(22在平面上處處有極限在平面上處處有極限證明證明yxiyxw 在平面上處處有極限在平面上處處有極限22,yxyx 例例2.0)(時的極限時的極限在在求求 zzzzzzf.)0 , 0()(2)(2222處極限不存在處極限不存在在在yxyxzf 例例3.0R

15、e)(時的極限不存在時的極限不存在在在證明證明 zzzzf復變函數(shù)復變函數(shù)二二. .函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 定義定義若 ，則稱函數(shù)w=f(z)在點z0處是連續(xù)的；若w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的。)()(lim00zfzfzz 定理三定理三函數(shù)w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z0= x0+ iy0處連續(xù)的充要條件是：u(x,y)和v(x,y)都在點(x0, y0)處連續(xù)?！咀ⅰ浚哼B續(xù)與極限的區(qū)別復變函數(shù)復變函數(shù)定理四定理四1）在z0連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、商(分母在z0不為零)在z0仍連續(xù)； 處連續(xù)。在連續(xù)，那么復合函數(shù)在連續(xù)，函數(shù)在如果函數(shù) )2 0000zzgfzghhfzzgh【判別函數(shù)是否連續(xù)的方法】.0)()()()(10點外處處連續(xù)點外處處連續(xù)在復平面內(nèi)除分母為在復平面內(nèi)除分母為的；的；在整個復平面內(nèi)是連續(xù)在整個復平面內(nèi)是連續(xù)由以上討論由以上討論zQzPzRzazaa