西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線性代數(shù)第3章矩陣的初等變換

1、矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算算, 它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶剿诮饩€性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔糜懼卸伎善鹬匾淖饔? 為引進(jìn)矩陣的初等變換為引進(jìn)矩陣的初等變換, 先來分析用消元法解線性方程組的例子先來分析用消元法解線性方程組的例子. 求解線性方程組求解線性方程組.xxxx,xxxx,xxxx,xxxx979634226442224321432143214321(1) 2(1).xxxx,xxxx,xxxx,xxxx9796323222424321432143214321(B1) - - - - 2 - -

2、 321 + 5 - - 3. 3433, 6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx(B2). 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx(B3).,x,xxx,xxxx00304244324321(B4) - -2- - - -. 00, 3, 3, 443231xxxxx(B5),x,xx,xx33443231令令 x3 = k (k 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)), 則方程組的解可記作則方程組的解可記作,kkkxxxxx3344321即即.kx30340111 三種變換三種變換定義方程組定義方程組 (1) 的的,bAB979634226441

3、21121112)( 把定義中的把定義中的“行行”換成換成“列列”,即得矩陣的即得矩陣的的定義的定義. 矩陣的初等行變換與初等列變換矩陣的初等行變換與初等列變換, 統(tǒng)統(tǒng)稱稱. rc A A; 若若 A B, 則則 B A; 若若 A B, B C, 則則 A C. 數(shù)學(xué)中把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等數(shù)學(xué)中把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等方程組等價方程組等價.價價, 例如兩個線性方程組同解例如兩個線性方程組同解, 就稱這兩個線性就稱這兩個線性用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B

4、 21rr 23 r331000620000111041211B 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 5 00000310003011040101B 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 對對應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；5 00000310003011040101B （2）、每個臺階）、每個臺階 只有一行，臺階數(shù)即是非零行只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)

5、，階梯線的豎線后面的第一個元素的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元為非零元，即非零行的第一個非零元4 00000310000111041211B 例如例如500031000121000000033000010420100131 . . 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 0000000100000100000143 cc 000006200001110412111B000003100030110401012B000000010000010000013B 練習(xí)：練習(xí)：把下列矩陣化為行最簡形矩陣和標(biāo)把下

6、列矩陣化為行最簡形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。準(zhǔn)形矩陣。 340313021201三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣. .等矩陣等矩陣, 記為記為 E( i , j ).1101111011)(i,jE第第 i 行行第第 j 行行把單位矩陣中第把單位矩陣中第 i , j 兩行對調(diào)兩行對調(diào) ( ri rj ), 得初得初 用用 m 階初等矩陣階初等矩陣 Em( i, j) 左乘矩陣左乘矩陣 A= (aij)m n ,mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAi,jE21212111211)(第第 i 行行第第 j 行行得得1111)(kkiE第第 i 行行得初等矩陣得

7、初等矩陣, 記為記為 E( i(k) ).以數(shù)以數(shù) k 0 乘單位矩陣乘單位矩陣 E 的第的第 i 行行 ( ri k ) ,1111)(kkijE第第 i 行行第第 j 行行初等矩陣初等矩陣, 記為記為 E( ij(k) ) .以以 k 乘乘 E 的第的第 j 行加到第行加到第 i 行上行上 ( ri + krj )或以或以 k 乘乘 E 的第的第 i 列加到第列加到第 j 列上列上 ( cj + kci ) , 得得1) 2); )1()(1kiEkiE 3) rc r上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容復(fù)習(xí). ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例 103620012520001321 1

8、00343010122001321EA122rr 133rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr .111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r 設(shè)設(shè) 264211112A的行最簡形矩陣為的行最簡形矩陣為 F,求求 F，并求一個可逆矩陣，并求一個可逆矩陣 P，使，使 PA = F .解解: : 100264010211001112),(EA 102440021330010211 3810000123110133101 000110101F 3810123133P21

9、rr 232rr 122rr 32rr 21rr 234rr 故故為為A的行最簡形的行最簡形例例3.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可逆，則可逆，則若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 求解矩陣方程求解矩陣方程 AX = B， 其中

10、其中.520211,231221312 BA 設(shè)設(shè) ,032203120 A證明證明 A 可逆，并求可逆，并求 A- -1 .把方程把方程 033,023,032,022431432143214321xxxxxxxxxxxxxxx化為階梯形方程化為階梯形方程. 033,023,032,022431432143214321xxxxxxxxxxxxxxx .00,01915,0109,032434324321xxxxxxxxx初等變換初等變換 033,023,032,022431432143214321xxxxxxxxxxxxxxx .0001915,096,023434324321，xxxxxx

11、xxx初等變換初等變換knkmCCm n 矩陣矩陣 A 的的 k 階子式共有階子式共有 個個 式的最高階數(shù)式的最高階數(shù) 由行列式的性質(zhì)可知，在由行列式的性質(zhì)可知，在 A 中當(dāng)所有中當(dāng)所有 r + 1 階階子式全等于子式全等于 時，所有高于時，所有高于 r + 1 階的子式也全等階的子式也全等于于 ，因此，因此 的秩的秩 R(A) 就是就是 A 中不等于中不等于 的子的子由矩陣秩的定義可得：由矩陣秩的定義可得：若矩陣若矩陣 A 中有一個中有一個 s 階子式不為階子式不為 0，則，則R(A) s；若若 A 中所有中所有 t 階子式全為階子式全為 0，則，則R(A) t.若若 A 為為 m n 矩陣

12、，則矩陣，則0 R(A) min m , n .R(AT) = R(A) .設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，則當(dāng)階方陣，則當(dāng) | A | 0 時時 R(A) =n , 當(dāng)當(dāng) | A | = 0 時時 R(A) n . 可見，可逆矩陣的秩等于可見，可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù). 因此因此此可逆矩陣又稱此可逆矩陣又稱，不可逆矩陣，不可逆矩陣 (奇異矩陣奇異矩陣)又稱又稱.例例1.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個階子式只有一個的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2.

13、00000340005213023012的秩的秩求矩陣求矩陣 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一個行階梯形矩陣，是一個行階梯形矩陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR例例3 3，求該矩陣的秩，求該矩陣的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解計算計算A的的3階子式，階子式，510312223 512310221 , 0 . 2 AR, 0 , 0 , 0 做初等變換，做初等變換，對矩陣對矩陣 510231202231A另解另解,00003120223151023120223

14、1 顯然，非零行的行數(shù)為顯然，非零行的行數(shù)為2， . 2 AR此方法簡單！此方法簡單！ 例例4的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式秩，并求秩，并求的的求矩陣求矩陣設(shè)設(shè)AAA,41461351021632305023 階梯形矩陣：階梯形矩陣：作初等行變換，變成行作初等行變換，變成行對對A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241

15、rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個非零行可知由階梯形矩陣有三個非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 階梯形矩陣為階梯形矩陣為的行的行則矩陣則矩陣記記),(),(42154321aaaBaaaaaA 000400140161, 3)( BR的前三行構(gòu)成的子式的前三行構(gòu)成的子式計算計算B623502523 1106502523 116522 . 016 則這個子式便是則這個子式便是 的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式.A 設(shè)設(shè),baA3651231121已知已知 R(A)

16、 = 2，求，求 a 與與 b 的值的值.解：解：A123rr 135rr 584043401121ba23rr 150043401121baa2)( AR 0105ba 15ba因因故故即即練習(xí)練習(xí)的一個最高階非零子式秩，并求的求矩陣設(shè)AAA,443112112013 上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)練習(xí)練習(xí) 4321,6063324208421221bA設(shè)設(shè) .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣bABA 解解),( bABB 的行階梯形矩陣為的行階梯形矩陣為設(shè)設(shè)分析：分析：的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，就是就是則則AA).()(),(BRARbAB及及中可同時看出中可同時看出故從故從 46

17、063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR（1） （2）（3） （4） 矩陣的秩有以下性質(zhì)：矩陣的秩有以下性質(zhì)：（6） （5） 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，證明階方陣，證明R(A + E) + R(A E) n .證明：若證明：若 Am n Bn l = C，且，且 R(A) = n , 則則 R(B) = R(C) . 設(shè)設(shè)A為列滿秩矩陣，為列滿秩矩陣， AB= C

18、，證明線，證明線 性方程性方程Bx=0與與Cx=0同解。同解。設(shè)有設(shè)有 n 個未知數(shù)個未知數(shù) m 個方程的線性方程組個方程的線性方程組) 1 (,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1) 式可以寫成以向量式可以寫成以向量 x 為未知元的向量方程為未知元的向量方程Ax = b , (2)線性方程組線性方程組 (1) 如果有解，就稱它是如果有解，就稱它是，如果無解，就稱它如果無解，就稱它. 利用系數(shù)矩陣?yán)孟禂?shù)矩陣 A 和增和增廣矩陣廣矩陣 B = (A , b) 的秩，可方便地討論線性方程的秩，可方便地討論線性方程是否有解是否有

19、解 (即是否相容即是否相容) 以及有解時解是否唯一等以及有解時解是否唯一等問題問題.例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221二、線性方程組的解法二、線性方程組的解法施行初等行變換：施行初等行變換：對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx,342,352241321221

20、1cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它寫成通常的參數(shù)，把它寫成通常的參數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例2 2 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對增廣矩陣對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，進(jìn)行初等變換， 322122351311321B13122rrrr 23rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR顯然，顯然，故方程組無解故方程組無解例例3 求解非

21、齊次方程組的通解求解非齊次方程組的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 對增廣矩陣對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換進(jìn)行初等變換 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 , 2 BRAR由于由于故方程組有解，且有故方程組有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程組的通解為所以方程組的通解為 設(shè)設(shè) R(A) = r .為敘述方便，無妨設(shè)為敘述方便，

22、無妨設(shè) B = (A , b)的行最簡形為的行最簡形為.000000000000000001000100011,12, 2211, 111rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB(i) 若若 R(A) R(B)，則，則B中的中的 dr+1 = 1，即，即B于是于是.000000000000100000100010001,12, 2211, 111rrnrrrnrndbbdbbdbbB的第的第 r + 1 行對應(yīng)矛盾方程行對應(yīng)矛盾方程 0 = 1，故方程組，故方程組Ax = b 無解無解.(ii) 若若 R(A) = R(B) = r = n，則，則B中的中的 dr+1 = 0(或或 dr+1

23、 不出現(xiàn)不出現(xiàn))，且，且 bij 都不出現(xiàn)，即都不出現(xiàn)，即,10001000121rdddB,0000000010001000121rdddB于是于是B對應(yīng)方程組對應(yīng)方程組,2211nndxdxdx故方程組故方程組 Ax = b 有唯一解有唯一解.或或(iii) 若若 R(A) = R(B) = r n，則，則B中的中的 dr+1 = 0(或或 dr+1 不出現(xiàn)不出現(xiàn))，即，即.000000000000000000100010001,12, 2211, 111rrnrrrnrndbbdbbdbbB于是于是B對應(yīng)方程組對應(yīng)方程組)3(,112, 212121, 11111rnrnrrrrnrnr

24、nrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx令自由未知量令自由未知量 xr +1 = c1 , , xn = cn - - r , 即得方程組即得方程組Ax = b 的含的含 n r 個參數(shù)的解個參數(shù)的解,1,111, 111111rnrrnrnrrrnrnnrrccdcbcbdcbcbxxxx即即)4(.0010011, 1111111rrnrrnrnrnrrddbbcbbcxxxx由于參數(shù)由于參數(shù) c1 , , cn r 可任意取值，故方程組可任意取值，故方程組 Ax = b 有無限多個解有無限多個解. 練習(xí)：練習(xí)：求非齊次線性方程組的通解求非齊次線性方程組的通解 554931232362

25、32335432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.10520510151057000130054053321 kkkX例例4 4 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情況況下下，是是有有解解的的充充要要條條件件證證明明方方程程組組. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解證解證對增廣矩陣對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，進(jìn)行初等變換， 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR.

26、 051 iia是是方方程程組組有有解解的的充充要要條條件件由于原方程組等價于方程組由于原方程組等價于方程組 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)x上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)（1） （2）（3） （4） （6） （5） 設(shè)有線性方程組設(shè)有線性方程組,)1 (,3)1 (,0)1 (321321321kxkxxxxkxxxxk問問 k 取何值時，此方程組取何值時，此方程組 (1) 有唯一解；有唯一解；(2) 無解無解;(3) 有窮多個解？并在有無窮多解時求其通

27、解有窮多個解？并在有無窮多解時求其通解.對增廣矩陣對增廣矩陣 B = (A , b) 作初等行變換把它變?yōu)樽鞒醯刃凶儞Q把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有行階梯形矩陣，有kkkkB11131110111.)3)(1 ()3(0030111kkkkkkkkk.)3)(1 ()3(0030111kkkkkkkkk由此可得：由此可得： 當(dāng)當(dāng) k 0 且且 k - -3 時，時， R(A) = R(B) = 3，方，方程組有唯一解；程組有唯一解； 當(dāng)當(dāng) k = 0 時，時， R(A) = 1，R(B) = 2，方程組，方程組無無解；解； 當(dāng)當(dāng) k = - -3 時，時， R(A) = R(B) = 2，方程組有，

28、方程組有無窮多個解無窮多個解. 這時這時Br)3)(1 ()3(0030111kkkkkkkkkr000063303211r,000021101101由此可求得通解為由此可求得通解為.R)( ,021111321ccxxx因?yàn)橄禂?shù)矩陣因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A 為方陣，故方程組有唯一解為方陣，故方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)行列式的充要條件是系數(shù)行列式 | A | 0 .kkkA111111111|(3 + k)k2 ,由此可得：由此可得： 當(dāng)當(dāng) k 0 且且 k - -3 時，時， | A | 0，方，方程組有程組有唯一解；唯一解； 當(dāng)當(dāng) k = 0 時，時， | A | = 0 ，方程組的增廣矩陣，方程組的增廣矩陣011131110111Br,000010000111由此可知，由此可知， R(A) = 1，R(B) = 2，故方程組無解，故方程組無解; 當(dāng)當(dāng) k = - -3 時，時， | A | = 0，方程組的增廣矩陣，方程組的增廣矩陣321131210112Br,000021101101由此可知，由此可知， R(A) = R(B) = 2，故方程組有無窮