回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、高二數(shù)學(xué) 選修2-31.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)1. 畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖2. 了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3. 求回歸直線方程求回歸直線方程ybxa4. 用回歸直線方程用回歸直線方程解決應(yīng)用問題解決應(yīng)用問題選修2-3統(tǒng)計(jì)案例5. 引入線性回歸模型引入線性回歸模型ybxae6. 了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)產(chǎn)生的原因生的原因7. 了解相關(guān)指數(shù)了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬和模型擬合的效果之間的關(guān)系合的效果之間的關(guān)系8. 了解殘差圖的作用了解殘差圖的作用9. 利用線性回歸模型解決一類利用線性

2、回歸模型解決一類非線性回歸問題非線性回歸問題10.正確理解分析方法與結(jié)果正確理解分析方法與結(jié)果問題問題1 1：正方形的面積正方形的面積y y與正方形的邊長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)x x之間之間 的的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是是y = xy = x2 2確定性關(guān)系確定性關(guān)系問題問題2 2：某水田水稻產(chǎn)量某水田水稻產(chǎn)量y y與施肥量與施肥量x x之間是否之間是否 -有一個(gè)確定性的關(guān)系？有一個(gè)確定性的關(guān)系？例如：例如：在在 7 7 塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上上 進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：如下所示的一組數(shù)據(jù)：施施化肥量化肥

3、量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455復(fù)習(xí)、變量之間的兩種關(guān)系復(fù)習(xí)、變量之間的兩種關(guān)系自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系。1 1、定義：、定義： 1 1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注注對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫統(tǒng)

4、計(jì)分析的方法叫回歸分析回歸分析。2 2）：）：2 2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系?；貧w分析的內(nèi)容與步驟：回歸分析的內(nèi)容與步驟：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測(cè)因變量預(yù)測(cè)因變量。 回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。另一變量的變化。 其主要內(nèi)容和步驟是：其主要內(nèi)容和步驟是：首先根據(jù)理論和對(duì)問題的分析判斷，首先根據(jù)理論和對(duì)問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變將變量分為自變量和因變量量；其次，設(shè)法其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程

5、式（即回歸模型）找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間描述變量間的關(guān)系；的關(guān)系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對(duì)回歸模型進(jìn)行對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；最小二乘法：最小二乘法： y = bx+a(x,y)(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心稱為樣本點(diǎn)的中心。n n( (x x- - x x) )( (y y- - y y) )i ii ii i= =1 1b b = =n n2 2( (x x- - x x) )i ii i= =1 1a a = = y y - - b bx x. .n nn n1 11 1其其 中中 x x = =x x , ,

6、y y = =y y . .i ii in nn ni i= =1 1i i= =1 1n niiiii=1i=1n n2 22 2i ii=1i=1x y -nxyx y -nxy=,=,x-nxx-nx回歸直線過樣本點(diǎn)的中心回歸直線過樣本點(diǎn)的中心3 3、對(duì)、對(duì)兩個(gè)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做變量進(jìn)行的線性分析叫做線性線性回歸分析回歸分析。2 2、回歸直線方程：、回歸直線方程：n nn ni ii ii ii ii i= =1 1i i= =1 1n nn n2 22 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - -x x) )( (y y - -y y) )x x

7、- -n nx xy yb b = = =, ,( (x x - -x x) )x x - -n nx xa a = = y y- -b bx xy y2.2.相應(yīng)的直線叫做相應(yīng)的直線叫做回歸直線回歸直線。1 1、所求直線方程、所求直線方程 叫做叫做回歸直回歸直 -線方程線方程；其中；其中 y = bx+ay = bx+a相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 1.1.計(jì)算公式計(jì)算公式 2 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)|r|1(1)|r|1 (2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相關(guān)程度越大；，相關(guān)程度越大；|r|r|越接越接近于近于0 0，相關(guān)程度越小，相關(guān)程度越小 問題：達(dá)到怎樣程度，問題：

8、達(dá)到怎樣程度，x x、y y線性相關(guān)呢？它線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？們的相關(guān)程度怎樣呢？n ni ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)正相關(guān)n n(x -x)(y -y)(x -x)(y -y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x -x) (y -y)(x -x) (y -y)iiiii=1i=1i=1i=1相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常，正相

9、關(guān)；負(fù)相關(guān)通常， r r-1,-0.75-0.75-負(fù)相關(guān)很強(qiáng)負(fù)相關(guān)很強(qiáng); ; r0.75,1正相關(guān)很強(qiáng)正相關(guān)很強(qiáng); r-0.75,-0.3-負(fù)相關(guān)一般負(fù)相關(guān)一般; ; r0.3, 0.75正相關(guān)一般正相關(guān)一般; r r-0.25, 0.25-0.25-相關(guān)性較弱相關(guān)性較弱; ; 相關(guān)關(guān)系的測(cè)度相關(guān)關(guān)系的測(cè)度（相關(guān)系數(shù)取值及其意義）例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號(hào)12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg4857505464614359求根

10、據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重為因變量，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。172.85849. 0 xy分析：由于問題中分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)要求根據(jù)身高預(yù)

11、報(bào)體重，因此選取身體重，因此選取身高為自變量，體重高為自變量，體重為因變量為因變量學(xué)學(xué)身身高高172cm女172cm女大大生生體體重重y = 0.849y = 0.849172-85.712 = 60.316(kg)172-85.712 = 60.316(kg)2.2.回歸方程：回歸方程：1. 散點(diǎn)圖；散點(diǎn)圖；例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號(hào)12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)

12、報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重為因變量，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系?；貧w方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條某一條直線的附近，而不

13、是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。描述它們關(guān)系。探究：探究：身高為身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？我們可以用下面的我們可以用下面的線性回歸模型線性回歸模型來表示：來表示：y=bx+a+e，其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨稱為隨機(jī)誤差。機(jī)誤差。思考思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？的原因是什么？隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差e e的來源的來源( (可以推廣到一般）：可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影

14、響：影響身高、忽略了其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只的因素不只是體重是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；長(zhǎng)環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高、身高 y 的觀測(cè)誤差。的觀測(cè)誤差。 以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。效果越好。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：abxy回歸模型：eabxy可以提供選擇模型的準(zhǔn)則函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：

15、abxy回歸模型：eabxy 線性回歸模型線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量，因變量y的值由自變量的值由自變量x和和隨機(jī)誤差項(xiàng)隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即共同確定，即自變量自變量x只能解釋部分只能解釋部分y的變化的變化。 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解釋變量，因變量稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量。稱為預(yù)報(bào)變量。所以，對(duì)于身高為所以，對(duì)于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 0.849 7285.71260.316()ykg思考：思考：如何刻畫預(yù)報(bào)變量（體重）的變化？這個(gè)變化在多

16、大程度上如何刻畫預(yù)報(bào)變量（體重）的變化？這個(gè)變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)？與解釋變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)？ 假設(shè)身高和隨機(jī)誤差的不同不會(huì)對(duì)體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相假設(shè)身高和隨機(jī)誤差的不同不會(huì)對(duì)體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相同。同。在體重不受任何變量影響的假設(shè)下，設(shè)在體重不受任何變量影響的假設(shè)下，設(shè)8名女大學(xué)生的體重都是她們的平均值，名女大學(xué)生的體重都是她們的平均值，即即8個(gè)人的體重都為個(gè)人的體重都為54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170

17、157165165身高/cm87654321編號(hào)54.5kg在散點(diǎn)圖中，所有的點(diǎn)應(yīng)該落在同一條在散點(diǎn)圖中，所有的點(diǎn)應(yīng)該落在同一條水平直線上，但是觀測(cè)到的數(shù)據(jù)并非如水平直線上，但是觀測(cè)到的數(shù)據(jù)并非如此。此。這就意味著這就意味著預(yù)報(bào)變量（體重）的值預(yù)報(bào)變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響受解釋變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響。對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào) 例如，編號(hào)為例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為的女大學(xué)生的體重并沒有落在

18、水平直線上，她的體重為61kg。解釋。解釋變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從54.5kg“推推”到了到了61kg，相差，相差6.5kg，所以所以6.5kg是解析變量和隨機(jī)誤差的是解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)組合效應(yīng)。 編號(hào)為編號(hào)為3的女大學(xué)生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為的女大學(xué)生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析。解析變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從50kg“推推”到了到了54.5kg，相差，相差-4.5kg，這時(shí)解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)為這時(shí)解析變

19、量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)為-4.5kg。用這種方法可以對(duì)所有預(yù)報(bào)變量計(jì)算組合效應(yīng)。用這種方法可以對(duì)所有預(yù)報(bào)變量計(jì)算組合效應(yīng)。數(shù)學(xué)上，把每個(gè)效應(yīng)（觀測(cè)值減去總的平均值）的平方加起來，即用數(shù)學(xué)上，把每個(gè)效應(yīng)（觀測(cè)值減去總的平均值）的平方加起來，即用21()niiyy表示總的效應(yīng)，稱為表示總的效應(yīng)，稱為總偏差平方和總偏差平方和。在例在例1中，總偏差平方和為中，總偏差平方和為354。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào) 那么，在這個(gè)總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自于解釋變量（身高）？那么，在這個(gè)總的效應(yīng)（總偏差平方

20、和）中，有多少來自于解釋變量（身高）？有多少來自于隨機(jī)誤差？有多少來自于隨機(jī)誤差？ 假設(shè)隨機(jī)誤差對(duì)體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖假設(shè)隨機(jī)誤差對(duì)體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒有完全落在回歸中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒有完全落在回歸直線上。直線上。這些點(diǎn)散布在回歸直線附近，所以一定是隨機(jī)誤差把這些點(diǎn)從回歸直線上這些點(diǎn)散布在回歸直線附近，所以一定是隨機(jī)誤差把這些點(diǎn)從回歸直線上“推推”開了開了。在例在例1中，殘差平方和約為中，殘差平方和約為128.361。 因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)和

21、它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱稱 為為殘差殘差。)iiyy(iiieyy=例如，編號(hào)為例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為：的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為：61 (0.849 16585.712)6.627對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號(hào)21()niiiyy稱為稱為殘差平方和殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。表示為：表示為：即，即，( , )Q a b 由

22、于解釋變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為由于解釋變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機(jī)誤差的效應(yīng)為，而隨機(jī)誤差的效應(yīng)為128.361，所以解析變量的效應(yīng)為，所以解析變量的效應(yīng)為解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和） =解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差平方和）隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差平方和）354-128.361=225.639 這個(gè)值稱為這個(gè)值稱為回歸平方和。回歸平方和。我們可以用我們可以用相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是22121()1

23、1()niiiniiyyRyy殘差平方和。總偏差平方和2221121()()()nniiiiiniiyyyyRyy總偏差平方和殘差平方和回歸平方和總偏差平方和總偏差平方和樣本決定系數(shù)樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) ）1.回歸平方和占總偏差平方和的比例回歸平方和占總偏差平方和的比例顯然，顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。 R2越接近越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)?，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近越接

24、近1，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）線性相關(guān)性越強(qiáng)）。 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值的值來做出選擇，即選取來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：總的來說：相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用我們可以用相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是來刻畫回

25、歸的效果，其計(jì)算公式是22121()11()niiiniiyyRyy殘差平方和。總偏差平方和1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機(jī)誤差比例平方和來源表表1-3 從表從表3-1中可以看出，解釋變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了中可以看出，解釋變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即，即R2 0.64，可以敘述為，可以敘述為“身高解析了身高解析了64%的體重變化的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用我們可以用相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是來

26、刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是22121()11()niiiniiyyRyy殘差平方和。總偏差平方和表表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，數(shù)

27、據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析這方面的分析工作稱為殘差分析。12,ne ee 編號(hào)編號(hào)12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖殘差圖。2022-3-3

28、殘差圖的制作及作用。殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域橫軸為心的帶形區(qū)域；對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集

29、有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。例例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量元和需求量Y件之間件之間的一組數(shù)據(jù)為：的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效

30、果的好壞。對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格價(jià)格x1416182022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回歸直線方程為：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 練習(xí)、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格練習(xí)、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量元和需求量Y件之件之間的一組數(shù)據(jù)為：間的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格價(jià)格x

31、1416182022需求量需求量Y1210753列出殘差表為列出殘差表為521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，擬合效果較好。因而，擬合效果較好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度與溫度x有關(guān)有關(guān),現(xiàn)收集現(xiàn)收集了了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 解解:1):1)作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖; ;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性

32、回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中用線性回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。解解: : 令令 則則z=z=bx+a,(abx+a,(a=lnc=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出出x x與與z z 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 z =lnyz =lnyx x和和z z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121232325252727292932323535z z1

33、.9461.946 2.3982.398 3.0453.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.7842) 2) 用用 y=cy=c3 3x x2 2+c+c4 4 模型模型, ,令令 , ,則則y=cy=c3 3t+ct+c4 4 , ,列出列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t t與與y y 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 2 2t t = = x x散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184

34、110241024 12251225y y7 71111212124246666115115325325( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3( (2 2) )2 2y y= = e e, ,y y= = 0 0. .3 36 67 7x x - -2 20 02 2. .5 54 4( (1 1) )( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3i ii ii i( (2 2) )( (2 2) )2 2i ii ii ie e= = y y - -y y= = y y - -e e, , ( (

35、i i= =1 1, ,2 2. . . .7 7) )e e= = y y - -y y= = y y - -0 0. .3 36 67 7x x + +2 20 02 2. .5 54 4, ,殘殘差差表表編號(hào)編號(hào)1 12 23 34 45 56 67 7x x2121232325252727292932323535y y7 71111212124246666115115325325e(1)e(1) 0.520.52 -0.167-0.1671.761.76-9.149-9.1498.8898.889-14.153-14.15332.92832.928e(2)e(2) 47.747.7 19.39719.397-5.835-5.835-41.003-