自然常數(shù)e的無理性與超越性_第1頁(yè)
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1、自然常數(shù)e的無理性與超越性自然常數(shù)用字母e來表示，記： ，e有如下兩個(gè)定義： ，e2.71828182. 一、證明e為無理數(shù)    首先有： 那么2<e<3，說明e不是一個(gè)整數(shù)。為了證明e是一個(gè)無理數(shù)，可用反證法，假設(shè)e是有理數(shù)，那么就令ep/q，其中p、q均為正整數(shù)。由于e不是整數(shù)，故q2。    于是有： 顯然等式左邊的e·q！為整數(shù)，而等式左邊的第一項(xiàng)也為整數(shù)，故等式右邊第二項(xiàng)也為整數(shù)從q2知q+13    因此 ，這與整數(shù)的性質(zhì)矛盾，故e為無理數(shù)。二、證明e為超越數(shù) 

2、;   如果一個(gè)數(shù)不是任何整系數(shù)方程的根，那么這個(gè)數(shù)就叫做超越數(shù)    我們還是用反證法來證明e是超越數(shù)    假設(shè)e不是超越數(shù)，那么e為某個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式的根     對(duì)于任意大于|a0|和n的素?cái)?shù)p，構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式： 那么它的次數(shù)為m(p-1)+np,而f(x)的m+1階導(dǎo)數(shù)為0，故令： 兩邊積分： 那么有： 由假設(shè)，e為方程的根： 從f(x)的構(gòu)造上知f(x)的p階及p階以上的導(dǎo)數(shù)均為整系數(shù)多項(xiàng)式且各項(xiàng)系數(shù)都能被p整除，而f(x)及其前p1階導(dǎo)數(shù)在x1，2，.，n處都等于0。所以F(1)、F(2)、.F(n)也都是p的整數(shù)倍。另外，在x0處f(x)的前p2階導(dǎo)數(shù)均為0，而 不被p整除（因?yàn)閚<p），但在x0處f(x)的p，(p+1)，(p+2)，.，m階導(dǎo)數(shù)均為p的倍數(shù)，故F(x)是一個(gè)不被p整除的整數(shù)。又因?yàn)閜不整除a0，所以 除第一項(xiàng)不被p整除外，其余各項(xiàng)均為p的倍數(shù)，而0被p整除，因而上述和式為不等于0的整數(shù)。    由于0in,當(dāng)x在區(qū)間0，n上取值時(shí)，顯然有： 從而有： 記： ，則：因?yàn)閜為固定的正整數(shù)，所以 故式右邊當(dāng)p時(shí)以0為極

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