非線性方程求根

1、第7章 非線性方程求根本章主要內(nèi)容：1.區(qū)間二分法.2切線法.3.弦位法.4.一般迭代法.重點(diǎn)、難點(diǎn) 一、區(qū)間二分法 區(qū)間二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根區(qū)間的判別方法確定方程根的區(qū)間a,b ,將有根區(qū)間平分為二；再利用有根區(qū)間的判別方法判斷那一個(gè)區(qū)間是有根區(qū)間；重復(fù)上述步驟，直到小區(qū)間端點(diǎn)差的絕對(duì)值小于等于精度要求的數(shù)值，則用將上一區(qū)間的分半值作為方程的根的近似值。區(qū)間二分法的計(jì)算步驟如下：1. 計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a) , f(b)（不妨設(shè)f(a)0,f(b)0）； 確定初始有根區(qū)間a,b. 2.二分有根區(qū)間a,b，并計(jì)算 取 3.判斷： 若，則方程

2、的根為； 若 ，則有根區(qū)間為 ；令若 ，則有根區(qū)間為；令 4. 如果b-a<（為誤差限），則方程的根為；否則轉(zhuǎn)向步驟2，繼續(xù)二分有根區(qū)間a1,b1，并計(jì)算中點(diǎn)值，繼續(xù)有根區(qū)間的判斷，直到滿足精度要求為止，即bn-an< 二分次數(shù)的確定：如果給定誤差限，則需要二分的次數(shù)可由公式 確定應(yīng)二分的次數(shù)。例1 用區(qū)間二分法求方程在某區(qū)間內(nèi)實(shí)根的近似值（精確到0.001） 【思路】參見(jiàn)上述區(qū)間二分法的計(jì)算步驟 解 f(1.8)=-0.1680, f(1.9)=0.3590 f(x)在區(qū)間1.8 ，1.9內(nèi)有一個(gè)根。由公式 取n=6， 計(jì)算結(jié)果列表如下：nanbnxnf(xn)11.81.91.

3、85+21.81.851.825-31.8251.851.8375+41.8251.83751.83125-51.831251.83751.834375+61.831251.8343751.8328125則方程在區(qū)間1.8，1.9內(nèi)所求近似值為x* x = 1.8328125 區(qū)間二分法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算程序簡(jiǎn)單，只要f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，區(qū)間二分法就可使用，但區(qū)間二分法不能用來(lái)求偶次重根，由于區(qū)間二分法收斂比較慢，在實(shí)際計(jì)算中，區(qū)間二分法常用來(lái)求比較好的含根區(qū)間和初始近似值，以便進(jìn)一步使用收斂更快的迭代法求出更精確的近似值。迭代序列收斂階的概念設(shè)迭代序列收斂于，如果存在實(shí)數(shù)與正常數(shù)c，使得

4、，則稱序列是階收斂于。特別地，當(dāng)時(shí)，稱序列為線性（一次）收斂； 為線性收斂時(shí)，必須要求。當(dāng)時(shí)，稱序列為平方（二次）收斂；當(dāng)時(shí)，稱序列為超線性收斂； 收斂階越大，則序列與的誤差縮減越快，也就是序列收斂越快。 二、切線法(牛頓法) 1. 切線法的基本思想：假設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間a,b上有唯一根x*,過(guò)曲線y= f(x)上的一點(diǎn)（x0,f(x0)），作曲線的切線，用此切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1作為方程的根x*的新的近似值, 再過(guò)點(diǎn)（x1,f(x1)），作曲線的切線，則又得到新的近似值,按此方法進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿足精度要求為止。 切線法(牛頓法)的迭代公式為 2.切線法的收斂性 我們利用定理（

5、7.1）來(lái)判斷切線法的收斂性。定理（7.1）還給出了一個(gè)初始值x0的選擇方法，定理7.1. 設(shè)f(x)在a,b上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足條件 f(a)f(b)< 0； f /(x) 在a,b上不等于零 （3）f /(x) 在a,b上不變號(hào) 則對(duì)任意初值x0a,b ，只要滿足f(x0) f /(x)0. 則由切線法迭代公式得到的近似根序列平方收斂于方程f(x)=0在區(qū)間a,b的唯一根x*。2. 切線法的計(jì)算步驟：先判斷有根區(qū)間a,b，然后選擇初始值x0（一般地，若f/(x)>0，則選擇區(qū)間的右端點(diǎn)；若f/(x)< 0，則選擇區(qū)間的左端點(diǎn)），再建立迭代公式進(jìn)行計(jì)算（列表計(jì)算）。例

6、2 用切線法求例1中方程在1，2內(nèi)根的近似值，精確到0.000001 【思路】根據(jù)f(x0)f/(x)>0在有根區(qū)間上選擇初始值x0，代入迭代公式進(jìn)行計(jì)算 解 計(jì)算得n01234xn11.8571428571.834787351.8342435041.834243185 例3 證明 計(jì)算的切線法迭代公式為 （n=0,1,）解 因?yàn)橛?jì)算等同于求方程的根，將，代入切線法迭代公式得： 三 、弦位法 1. 弦位法的基本思想：假設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間a,b上有唯一根x*,在區(qū)間a,b內(nèi)的曲線y= f(x)上任取兩點(diǎn)作弦，用此弦與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)作為方程根的近似值。按此方法進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿足精

7、度要求為止。 弦位法分為單點(diǎn)弦法和雙點(diǎn)弦法。 2.單點(diǎn)弦法 建立弦的迭代公式時(shí)，固定其中一個(gè)點(diǎn)，而另一個(gè)點(diǎn)變動(dòng)的迭代求根方法。單點(diǎn)弦法的迭代公式 （1）單點(diǎn)弦法的收斂性 利用定理7.2判斷其收斂性。單點(diǎn)弦法收斂所滿足條件和切線法的收斂條件相同，不同的是單點(diǎn)弦法迭代公式所產(chǎn)生的序列是線性收斂于f(x)=0在區(qū)間a,b上有唯一根x* 。我們計(jì)算時(shí)應(yīng)注意，在選擇固定點(diǎn)c時(shí)，也要求滿足條件 。 （2）單點(diǎn)弦法的計(jì)算步驟同切線法類似。3雙點(diǎn)弦法 建立弦的迭代公式時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都變動(dòng)的迭代求根方法。雙點(diǎn)弦法的迭代公式為: （1）雙點(diǎn)弦法收斂性 利用定理（7.3）判斷。f(x)在a,b上滿足的條件為: f(a)

8、f(b)< 0; f/(x)0 KR1,其中K=M2/2m1, M2 = maxf/(x), m1 = minf/(x), R=maxx0-x*，x1-x*. 則以a,b為初始值， 由雙點(diǎn)弦法迭代公式得到的序列超線性收斂于方程f(x)=0在區(qū)間a,b的唯一根x*。 （2）雙點(diǎn)弦法的計(jì)算步驟同切線法類似。但在計(jì)算時(shí)應(yīng)注意收斂性的判斷和初始值的選 擇。 例4 試導(dǎo)出計(jì)算的單點(diǎn)弦法迭代公式，并用它計(jì)算，準(zhǔn)確到。解 因?yàn)橛?jì)算等同于求方程 的正根，令 ，代入單點(diǎn)弦法迭代公式，得： 例5 分別用單點(diǎn)弦法和雙點(diǎn)弦法求方程 在1，2內(nèi)根的近似值， 精確到10-3【思路】參見(jiàn)單點(diǎn)弦法和雙點(diǎn)弦法的計(jì)算步驟

9、解 方法一. 單點(diǎn)弦法方法二. 雙點(diǎn)弦法 四、 一般迭代法 一般迭代法的基本思想：若方程f(x)=0在區(qū)間a,b上有唯一根x*,將方程變形為同解方程x=（x），且（x）連續(xù)，則建立迭代公式xn+1=（xn）(n=0,1,)。 設(shè)x0是方程的一個(gè)近似根, 將它代入迭代公式進(jìn)行迭代，求出的一系列近似根，直到滿足精度要求為止。 1. 一般迭代法的迭代公式： 2.一般迭代法的收斂性 建立一般迭代法的迭代公式可以有許多方法，但是有些迭代公式產(chǎn)生的迭代序列不收斂，所以判斷迭代公式的收斂性就十分重要。我們利用定理（7.4）判斷一般迭代法的收斂性問(wèn)題。 3. 一般迭代法的計(jì)算步驟同切線法類似。計(jì)算時(shí)也應(yīng)注意收

10、斂性的判斷和初始值的選擇。例6 設(shè)證明 由 ，得到的序列收斂于 。證明 由 ，兩式相減，應(yīng)用中值定理得 由 得 。例7 用一般迭代法求方程在區(qū)間0，1內(nèi)的根，要求xn+1-xn10-4 【思路】 根據(jù)所給方程找一個(gè)能表示為x=（x）的同解方程,建立迭代式，并判斷方程近似根的斂性.選取初始近似根x0(一般選有根區(qū)間的端點(diǎn)值),然后逐次迭代, 直到滿足精度要求為止。 解第8章 常微分方程數(shù)值解法 本章主要內(nèi)容： 1歐拉法、改進(jìn)歐拉法. 2龍格-庫(kù)塔法。 3單步法的收斂性與穩(wěn)定性。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 一、微分方程的數(shù)值解法在工程技術(shù)或自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到的許多微分方程的問(wèn)題，而我們只能對(duì)其中具有較簡(jiǎn)單形

11、式的微分方程才能夠求出它們的精確解。對(duì)于大量的微分方程問(wèn)題我們需要考慮求它們的滿足一定精度要求的近似解的方法，稱為微分方程的數(shù)值解法。本章我們主要討論常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法。 數(shù)值解法的基本思想是：在常微分方程初值問(wèn)題解的存在區(qū)間a,b內(nèi)，取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0x1xN=b （其中差hn= xn xn-1稱為步長(zhǎng)，一般取h為常數(shù)，即等步長(zhǎng)），在這些節(jié)點(diǎn)上把常微分方程的初值問(wèn)題離散化為差分方程的相應(yīng)問(wèn)題，再求出這些點(diǎn)的上的差分方程值作為相應(yīng)的微分方程的近似值（滿足精度要求）。 二、歐拉法與改進(jìn)歐拉法 歐拉法與改進(jìn)歐拉法是用數(shù)值積分方法對(duì)微分方程進(jìn)行離散化的一種方法。 將常微分方程變?yōu)?1歐

12、拉法（歐拉折線法）歐拉法是求解常微分方程初值問(wèn)題的一種最簡(jiǎn)單的數(shù)值解法。歐拉法的基本思想：用左矩陣公式計(jì)算（）式右端積分，則得歐拉法的計(jì)算公式為：歐拉法局部截?cái)嗾`差或簡(jiǎn)記為O（h2）。我們?cè)谟?jì)算時(shí)應(yīng)注意歐拉法是一階方法，計(jì)算誤差較大。歐拉法的幾何意義：過(guò)點(diǎn)A0（x0，y0），A1（x1，y1），A n（x n，y n ），斜率分別為f（x0，y0），f（x1，y1），f（x n，y n）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為歐拉折線法。例1用歐拉法解初值問(wèn)題 在x0 (0.2) 1處的近似解。（計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)）。 【思路】 用歐拉法求解常微分方程的初值問(wèn)題時(shí)，首先熟練掌握歐拉公式的

13、一般形式， 根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長(zhǎng)進(jìn)行迭代求解。 解 f(x，y)2xy ，h0.2，歐拉公式為： 列表計(jì)算如下：nxnyny(xn)y(xn)-yn0011010.210.9608-0.039220.40.920.8521-0.067930.60.77280.6977-0.075140.80.58730.5273-0.06510.39940.3679-0.0315 2改進(jìn)歐拉法 改進(jìn)歐拉法比歐拉法的計(jì)算準(zhǔn)確，是對(duì)歐拉法的改進(jìn)。改進(jìn)歐拉法的基本思想：用梯形公式計(jì)算（）式右端積分，則得改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式為： 利用改進(jìn)歐拉法計(jì)算常微分方程初值問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)

14、注意此公式為隱式表達(dá)式，需要對(duì)它進(jìn)行迭代求解。計(jì)算時(shí)可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式和反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式。改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 反復(fù)迭代的改進(jìn)歐拉法預(yù)估-校正法公式： 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差或簡(jiǎn)記為O（h3）。從局部截?cái)嗾`差的形式看，改進(jìn)歐拉法是二階方法，因此，它比歐拉法更精確。例2用預(yù)估-校正法求初值問(wèn)題 在x=0（0.2）1的解?！舅悸贰空莆疹A(yù)估-校正法的計(jì)算公式，根據(jù)已知條件迭代求解。解 步長(zhǎng)h=0.2，將代入預(yù)估-校正公式，整理得列表計(jì)算如下：nx ny ny(x n)001110.20.807200.8046320.40.6

15、36900.6314530.60.490480.4891840.80.377800.37720510.291030.29100 例3用改進(jìn)歐拉法求解例1的初值問(wèn)題,要求。 【思路】掌握改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式，根據(jù)已知條件迭代求解，并檢驗(yàn)迭代解是否滿足精度要求，若滿足則確定此解為常微分方程在某點(diǎn)的近似解。 解 將代入改進(jìn)歐拉法的計(jì)算公式得： 列表計(jì)算如下：ny(xn)y(xn)-yn0011111010.210.960.96160.96150.9608-0.000720.40.88460.85230.85490.85490.8521-0.002830.60.71810.70030.70250.70

16、220.6977-0.004540.80.53370.53250.53270.53270.5273-0.0054510.36220.37500.37250.37300.3679-0.0051 三、龍格-庫(kù)塔法 1龍格-庫(kù)塔法龍格-庫(kù)塔法具有精度高、收斂、穩(wěn)定，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，是求解微分方程初值問(wèn)題的一組著名的顯示單步方法，廣泛應(yīng)用于求解常微分方程的初值問(wèn)題。本章我們介紹了二、三、四階龍格-庫(kù)塔法。龍格-庫(kù)塔法的基本思想： 在計(jì)算初值問(wèn)題的數(shù)值解時(shí)，考慮均差，則由微分中值定理可得， 由初值問(wèn)題可得公式為：上式中稱為區(qū)間上的平均斜率。如果給平均斜率一種計(jì)算方法，就可得到計(jì)算y（x n+1

17、）的近似值yn+1的公式。 如果僅取處的斜率值作為平均斜率的近似值，則得到的的公式為歐拉公式； 如果取處的斜率值，的平均值作為平均斜率的近似值，則得到的的公式改進(jìn)歐拉公式。 二階龍格-庫(kù)塔法的公式和局部截?cái)嗾`差：在上式中選擇不同的參數(shù)，會(huì)得到不同的二階龍格-庫(kù)塔法公式，所以二階龍格-庫(kù)塔法公式不唯一。二階龍格-庫(kù)塔法公式的局部截?cái)嗾`差為（h3）。常見(jiàn)的二階龍格-庫(kù)塔法公式有以下兩種改進(jìn)歐拉法迭代公式 三階龍格-庫(kù)塔法的公式和局部截?cái)嗾`差： 常見(jiàn)的三階龍格-庫(kù)塔法公式為 三階龍格-庫(kù)塔法公式的局部截?cái)嗾`差為（h4）。 四階龍格-庫(kù)塔法公式 通常所說(shuō)的龍格-庫(kù)塔法是指四階龍格-庫(kù)塔法，也稱為標(biāo)準(zhǔn)龍

18、格-庫(kù)塔法。由于它是一步法，（即已知，就可以求出，無(wú)需知道，的值）且它的計(jì)算精度高，所以應(yīng)用較多，但在計(jì)算時(shí)，因?yàn)槊恳徊蕉夹枰?jì)算四次f（x，y）的值，計(jì)算量較大，所以，一般用來(lái)計(jì)算前幾項(xiàng)的近似值，即“表頭”。四階龍格-庫(kù)塔法公式為的公式和局部截?cái)嗾`差： 四階龍格-庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差為（h5）。 四、單步法的收斂性和穩(wěn)定性 1收斂性 如果在無(wú)舍入誤差且步長(zhǎng)h充分小的情況下，求得的近似值足夠精確地逼近真解 ，即：當(dāng)時(shí)，一致地有 歐拉法整體截?cái)嗾`差：其中為真解，為在無(wú)舍入誤差情況下，從y0用歐拉法計(jì)算公式求得的近似解。 歐拉法的收斂條件：如果f(x,y)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，且局部截?cái)嗾`差Rn有界，即則歐拉法收斂。且歐拉法的整體截?cái)嗾`差估計(jì)式為： 其中L為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)，b-a為求解區(qū)間的長(zhǎng)度，。 3.穩(wěn)定性和絕對(duì)穩(wěn)定性 穩(wěn)定性：指初始（或某步）產(chǎn)生的誤差在后面的迭代計(jì)算中不會(huì)再擴(kuò)大。即存在常數(shù)C及h0,0hh0時(shí)，對(duì)任意兩個(gè)初始值滿足不等式 。 歐拉法穩(wěn)定性的條件：如果f(x,y)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，則歐拉法穩(wěn)