定積分的求法與應(yīng)用52880

1、目錄第1章引言1第2章定積分的求法12.1 定積分概念12.2 定積分的求法22.2.1 運(yùn)用定義求定積分22.2.2 運(yùn)用幾何意義求定積分22.2.3 運(yùn)用牛頓萊布尼茨公式求定積分32.2.4 運(yùn)用換元積分法求定積分32.2.5 運(yùn)用分部積分法求定積分42.2.6 運(yùn)用湊微分法求定積分52.2.7 運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Mathematic求定積分6第3章定積分的應(yīng)用63.1 定積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用63.1.1 求平面圖形的面積63.1.2 由平面截面面積求體積83.1.3 求平面弧長(zhǎng)93.1.4 在數(shù)學(xué)建模中的簡(jiǎn)單應(yīng)用103.1.5 在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用103.2 定積分的物理應(yīng)用113.2.1 變力作功1

2、1液體靜壓力123.3 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用13第4章結(jié)論14第5章參考文獻(xiàn)15第6章致謝16定積分的求法與應(yīng)用作者：雷蕾 指導(dǎo)老師：王勇第1章 引言目前，對(duì)于定積分的求法和應(yīng)用的研究是比較全面和完善的。但是，對(duì)于定積分的求法與應(yīng)用的研究沒有停止，了解了定積分的基本概念后，我們要學(xué)會(huì)總結(jié)歸納定積分的一般性求法以及具有特殊特征的函數(shù)的求法。同時(shí)，將定積分應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的求解中以及物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)際問題中是非常必要的。理論聯(lián)系實(shí)際，對(duì)于生活中出現(xiàn)的現(xiàn)象，學(xué)會(huì)用定積分求解也是一種非常重要的工具。第2章定積分的求法2.1 定積分概念定義1：設(shè)閉區(qū)間,上有個(gè)點(diǎn)，依次為=<<<<&l

3、t;=,它們把,分成個(gè)小區(qū)間=, =1,2,.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì),的一個(gè)分割，記為,或,。（詳見13）定義2：設(shè)是定義在,上的一個(gè)函數(shù)。對(duì)于,的一個(gè)分割,，任取點(diǎn), =1,2,，并作和式，稱此和式函數(shù)在,上的一個(gè)積分和。（詳見13）定義3：設(shè)是定義在,上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì),的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要<,就有，則稱函數(shù)在區(qū)間,上可積；數(shù)在,上的定積分，記作.其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，,稱為積分區(qū)間，、分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限。（詳見13）2.2 定積分的求法2.2.1運(yùn)用定義求定積分首先，我們考慮用定

4、積分的定義來求解。根據(jù)定義，分三步求解：將,分成個(gè)小區(qū)間，求得分割；近似求和；取極限.例1 用定義計(jì)算.解 （1）分割 把等分，=， （2）近似求和 取=，=（3）取極限= 說明：這種利用定義，“三步走”的方法，求出積分和的極限來計(jì)算定積分一般而言是比較困難的。下面會(huì)介紹幾種簡(jiǎn)便的方法。2.2.2 運(yùn)用幾何意義求定積分定積分的幾何意義：連續(xù)曲線在,上形成的曲邊梯形面積為；對(duì)于,上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，定積分的幾何意義就是該曲邊梯形的面積；當(dāng)，時(shí)，這時(shí)是位于軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)，稱為“負(fù)面積”。（詳見1）例2 利用定積分的幾何意義，證明.解 令，顯然， 則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓

5、位于軸上方的半圓.如圖1所示.因?yàn)?單位圓的面積，所以 半圓的面積為.由定積分的幾何意義知： .說明：對(duì)于一般圖形的表達(dá)式，能夠清楚地畫出在坐標(biāo)軸中的圖像。然后求出在上下限所規(guī)定的范圍內(nèi)，圖像表示的面積，就可得出定積分的結(jié)果。推廣：對(duì)于本題中將上下限改為，則半圓的面積為，即定積分的值。這種方法是十分直接簡(jiǎn)單的。2.2.3 運(yùn)用牛頓萊布尼茨公式求定積分定理1 若函數(shù)在,上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在,上可積，且.這稱為牛頓萊布尼茨公式，也常寫成.（詳見1） （1）例3 利用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算.解 由公式（1） 說明：題中函數(shù)的原函數(shù)為，. 牛頓萊布尼茨公式解題法，首先要求用不定積分求出函數(shù)的原

6、函數(shù)，然后利用公式即可算出。這種方法不僅為定積分計(jì)算提供了一個(gè)有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。2.2.4 運(yùn)用換元積分法求定積分定理2 若函數(shù)在,上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定積分換元公式：.（詳見12） (2)例4 計(jì)算.解 令，當(dāng)從變成時(shí)，從增到。于是由公式（2）及得到+- 對(duì)最末的第二個(gè)定積分作變換，有=， 它與上面的第三個(gè)定積分相消，故得=. 說明：事實(shí)上，例4中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但是難以用初等函數(shù)來表示，因此無法直接使用牛頓萊布尼茨公式?？墒峭ㄟ^用定積分的性質(zhì)和公式（2），消去了其中無法求出原函數(shù)的部分，最終得出這個(gè)定積分的值。2.2.5 運(yùn)用分

7、部積分法求定積分定理3 若為,上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分布積分公式：.（詳見1） （3）例5 計(jì)算.解 由公式（3）=說明：本例題5中，令=，代入公式即可立刻算出結(jié)果。若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以對(duì)數(shù)函數(shù)，一般情況考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為。（詳見4）例6 計(jì)算.解 令=，代入公式（3）得，=例7計(jì)算解 令，代入公式（3）得，=說明：由例題6和例題7可看出，若被積函數(shù)是冪函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)乘以正（余弦函數(shù)，設(shè)冪函數(shù)為，使得其降冪一次。（詳見4）2.2.6 運(yùn)用湊微分法求定積分定理4 設(shè)函數(shù)在上有定義，在上可導(dǎo)，則函數(shù)。若在上存在原函數(shù)，則在上也有原函數(shù)，即（詳見2） (4)例8計(jì)算解

8、 = =說明：本例題中湊微分，利用，然后通過換元令就可以得到最簡(jiǎn)單的積分公式，結(jié)果也就出來了。（詳見4）例9 計(jì)算解 = = = =說明：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分。（詳見4） 運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Mathematic求定積分基本原理：（1）使用矩陣法求定積分，即定義的三步求解：將,分成個(gè)小區(qū)間，求得分割；近似求和；取極限 （2）用牛頓萊布尼茨公式。上面已經(jīng)詳細(xì)敘述原理內(nèi)容。定積分的應(yīng)用中需要使用的Matheatic語句：Sum(總和)，NSum(總和的近似值)，Integratef,x,a,b（求定積分），NIntegratef,x,a,b（求定積分的近似值），N(表達(dá)式的近似值

9、)例10用數(shù)學(xué)軟件求定積分.解 定義函數(shù)和式，計(jì)算和式的數(shù)值，輸入以下語句： tn:=NSumExpi/n/n,i,1,n求出t100 t500 t1000 t5000 t10000 t50000 t100000 t500000就可以確定定積分的近似值了。 再輸入以下語句得到結(jié)果，NIntegrateExpx,x,0,1與上面的數(shù)值加以比較。 用牛頓萊布尼茨輸入以下語句： bx:=IntegrateExpx,x Nb1-b0加以驗(yàn)證。第3章 定積分的應(yīng)用3.1 定積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用3.1.1求平面圖形的面積（1）直角坐標(biāo)系下面積的計(jì)算由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積.求由兩條曲線，及直線所圍成平面

10、的面積（如圖2所示）.下面用微元法求面積.取為積分變量，.在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素. 寫出積分表達(dá)式，即.（詳見7）（5）例11求曲線與所圍圖形的面積.解 畫出所圍的圖形（如圖3所示）。由方程組得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為 .說明：對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)的平面圖形面積，一般先接觸交點(diǎn)坐標(biāo)，確定定積分的上下限。其次，用公式（5）代入，可以算出面積了。（2）極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算設(shè)曲邊扇形由極坐標(biāo)方程與射線所圍成（如圖4所示）.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是

11、，相應(yīng)的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為 .（詳見7）（6） 例12計(jì)算心形線所圍圖形的面積（如圖5）.解 此圖形對(duì)稱于極軸，因此所求圖形的面積是極軸上方部分圖形面積的兩倍.對(duì)于極軸上方部分圖形，取為積分變量， ，由對(duì)稱性及公式（6）得：.說明：對(duì)于一般的幾何圖形，知道其極坐標(biāo)方程的表示方法。然后，根據(jù)題目確定極角的范圍，再由公式（6）代入，解定積分就可以得出結(jié)果。3.1.2 由平面截面面積求體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似于以

12、為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉(zhuǎn)體體積為.（詳見7）（7）例13求由橢圓繞軸及軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解 (1)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體如圖6所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.取為積分變量,由公式所求橢球體的體積為.(2)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成（如圖7所示）,取為積分變量, ,由公式所求橢球體體積為.當(dāng)時(shí),上述結(jié)果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.3.1.3 求平面弧長(zhǎng)（1）直角坐標(biāo)系下弧長(zhǎng)的計(jì)算定理5 設(shè)平面曲線由參數(shù)方程給出。若為一條光滑曲線，則是可求長(zhǎng)的，且弧長(zhǎng)為.（詳見1）(8)例14 線一

13、拱的弧長(zhǎng)。解 ，由公式（8）得（2）極坐標(biāo)系下弧長(zhǎng)的計(jì)算定理6 若平面曲線由極坐標(biāo)方程，當(dāng)在上連續(xù)，且與不同時(shí)為零時(shí)，此極坐標(biāo)曲線為一光滑曲線。這時(shí)弧長(zhǎng)公式為.（詳見1）（9）例15 心形線的周長(zhǎng)。解 由公式（9）得說明：根據(jù)已知函數(shù)的表達(dá)式，如果可以用極坐標(biāo)表示，選擇公式（9）;若不能簡(jiǎn)便的極坐標(biāo)表示出來，用直角坐標(biāo)系下的公式，選擇（8）。3.1.4 在數(shù)學(xué)建模中的簡(jiǎn)單應(yīng)用定積分在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用是比較廣泛的，主要是動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型和概率模型等。下面主要介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的短程線問題，了解動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題。短程線問題：給定任意曲面上的兩個(gè)點(diǎn)，如圖8，求連接它們的長(zhǎng)度最短的光滑曲線。地球近似于

14、一個(gè)橢圓體，由甲地飛往乙地的最短航線是橢球表面上連接甲乙兩地的最短程線。由于北極上空對(duì)民航的開放，從北京飛往北美的航線比原來需要飛越太平洋時(shí)縮短了很多，就是因?yàn)榭梢圆捎媒咏诙坛叹€的航線。這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上可以表述如下：給定曲面方程，已知曲面上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在曲面上求兩點(diǎn)的曲線，使得該曲線的長(zhǎng)度最短。 因?yàn)榍€的弧長(zhǎng)為，所以曲線的長(zhǎng)度是。短程線問題歸結(jié)為在曲面上求曲線，即滿足的條件下，使得達(dá)到最小。（詳見8）3.1.5在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（1）證明不等式 用積分證明不等式，一般利用積分如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積，且，則。特別地，當(dāng)時(shí)，有。（詳見8）例16 證明：貝努利不等式，已知且，且時(shí)，求證 解

15、 若或且時(shí)， 因此 即 若或且時(shí)， 因此 即綜上可得：當(dāng)且，且時(shí)，有說明：利用定積分的性質(zhì)，能夠容易的得出貝努利不等式。由上面證明推廣，去掉時(shí)，結(jié)論仍然成立。所以，我們得到一般性結(jié)論：設(shè)，則若時(shí)，有；若或時(shí)，有；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩邊等式成立。（2）求和根據(jù)微分與積分互逆運(yùn)算的關(guān)系，先對(duì)和式積分，利用已知的數(shù)列求和，得到積分和，再求導(dǎo)即可。（詳見8）例17 求和， 解 設(shè)， 對(duì)和式積分，對(duì)和式求導(dǎo)，（3）因式分解 化簡(jiǎn)代數(shù)式，把原式中某字母看成自變量，其余字母看作常量。令原式為，先對(duì)其求導(dǎo)，再積分，確定積分常數(shù)，可以達(dá)到分解因式的目的。（詳見8）例 18 化簡(jiǎn)解設(shè)原式為=，把看作變量，、看作常量；對(duì)

16、求導(dǎo)，得對(duì)積分，得 確定常數(shù) 于是有，3.2 定積分的物理應(yīng)用3.2.1 變力作功由物理學(xué)知道,物體在常力的作用下,沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體發(fā)生了位移時(shí),力對(duì)物體所作的功是.但在實(shí)際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力作功的問題.由于所求的功是一個(gè)整體量,且對(duì)于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個(gè)量.設(shè)物體在變力的作用下,沿軸由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),如圖9所示,且變力方向與軸方向一致.取為積分變量,a x x+dx b xF(x)圖9.在區(qū)間上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上各點(diǎn)處的力可以用點(diǎn)處的力近似代替.因此功的微元為，因此,從到這一段位移上變力所作的功為.（詳見6）

17、（10）例19 彈簧在拉伸過程中,所需要的力與彈簧的伸長(zhǎng)量成正比,即(為比例系數(shù)).已知彈簧拉長(zhǎng)時(shí),需力,要使彈簧伸長(zhǎng),計(jì)算外力所做的功.解 由題設(shè),時(shí),.代入,得.從而變力為,由上述公式（10）所求的功為.3.2.2液體靜壓力由物理學(xué)知道,在液面下深度為處的壓強(qiáng)為,其中是液體的密度,是重力加速度.如果有一面積為的薄板水平地置于深度為處,那么薄板一側(cè)所受的液體壓力.設(shè)薄板形狀是曲邊梯形,為了計(jì)算方便,建立如圖10所示的坐標(biāo)系,曲邊方程為.取液體深度為積分變量,在上取一小區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長(zhǎng)為,寬為的小矩形水平地放在距液體表面深度為的位置上時(shí),一側(cè)所受的壓力.因此所求

18、的壓力微元為:.于是，整個(gè)平板一側(cè)所受壓力為.（詳見6） （ 11）例20修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)6m和4m，高為6m,較長(zhǎng)的底邊與水面平齊，要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力.解 根據(jù)題設(shè)條件.建立如圖11所示的坐標(biāo)系，的方程為.取為積分變量,在上任一小區(qū)間的壓力微元為，從而所求的壓力為.說明：定積分在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，不僅了解上面介紹的這兩種，此外還要在其他方面也會(huì)靈活應(yīng)用。比如引力、平均功率等方面。（詳見7）3.3 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用定理7 已知邊際成本，求總成本.有，其中是固定成本，一般不為零.定理8已知邊際收益，求總成本.有.其中被稱為自然條件，意指當(dāng)銷售量為0時(shí)，自然收益為0.例21已知某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)且固定成本為1000元，求總成本函數(shù)C(Q).解.說明：定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的