導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用論文

1、導(dǎo)數(shù)思想在解析幾何的一個簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)隸屬于函數(shù)內(nèi)容，看似與解析幾何毫無關(guān)聯(lián)。但是導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線斜率，我們常用求導(dǎo)的方法求解函數(shù)的切線。而某些曲線方程本身是函數(shù)解析式或者曲線某一部分能夠?qū)懗珊瘮?shù)解析式，因此求曲線的切線問題也可以理解成求函數(shù)切線問題。下面通過幾道例題來說明導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用：例1、（07安徽）過點(diǎn)作拋物線的切線，求切線方程解：設(shè)切點(diǎn) 由，知拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為故所求切線方程為 即因?yàn)辄c(diǎn)在切線上 所以，所求切線方程為 ?！拘〗Y(jié)】本小題也可以用常規(guī)的方法，點(diǎn)斜式設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，利用求出斜率，寫出直線。（變式）在點(diǎn)處作拋物線的切線，求切線方程解：拋物線在第一象限的方

2、程為 由，知拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為故所求切線方程為 即【小結(jié)】本小題的出題目的是，只有將曲線方程變形為函數(shù)解析式后，才能用求導(dǎo)的方法求切線。例2、（07韶關(guān)調(diào)研）已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足、。當(dāng)在軸上移動時，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為。求的方程過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，分別過、作軌跡的切線、。當(dāng)時，求直線的方程。解：設(shè) 則 設(shè) 易知 顯然斜率存在，設(shè) ，與聯(lián)立得由得或 即例3、（08廣州調(diào)研）已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、。、分別是該拋物線在、兩點(diǎn)處的切線。、分別是、與直線的交點(diǎn)。求直線的斜率的取值范圍試比較與的大小，說明理由。解：得 由得或 切線 即令得 同理 又由知 即

3、又 例4、（07江蘇）過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線交于、兩點(diǎn)。一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點(diǎn)、。若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線解：設(shè)、，Q由 ，所以，切線方程為， 又 即 得,即Q，在過點(diǎn)的切線上即為此拋物線的切線。例5、（08山東）設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)。過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為、，求證：、三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。證明：設(shè)由得，則所以因此切線MA的方程為直線MB的方程為所以 由、得所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。例6、（06全國）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是直線上的兩動點(diǎn)，且過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。（I）證明為定值；（I

4、I）設(shè)的面積為S，寫出的表達(dá)式，并求S的最小值。解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)、，由，即得 即拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx ，所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是即解出兩條切線的交點(diǎn)M 所以·=0所以·為定值，其值為0 ()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3由2知S4，且當(dāng)1時，S取得最小值4?！究偨Y(jié)】求二次曲線切線問題的常規(guī)方法是點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用求出斜率，寫出直線方程。而通過上述例題可以看到，使用常規(guī)方法會非常麻煩。而采用求導(dǎo)的方法就簡捷很多。當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)在解析幾何中