均值不等式及其證明

1、1平均值不等式及其證明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多種方法，這里，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結(jié)論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競(jìng)賽的書籍中，都有專門的章節(jié)介紹和討論，如數(shù)學(xué)歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式 一般地，假設(shè)為n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為幾何平均值記為。算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系。，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。上述不等式稱為平均值不等式，或簡(jiǎn)稱為均值不等式。平均值不等式的表達(dá)形式

2、簡(jiǎn)單，容易記住，但它的證明和應(yīng)用非常靈活、廣泛，有多種不同的方法。為使大家理解和掌握，這里我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學(xué)習(xí)。1.2 平均值不等式的證明證法一（歸納法）（1） 當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。（2） 假設(shè)對(duì)（正整數(shù)）時(shí)命題成立，即對(duì) 有。那么，當(dāng)時(shí)，由于，關(guān)于是對(duì)稱的，任意對(duì)調(diào)與，和的值不改變，因此不妨設(shè)，顯然，以及可得 .所以 即 兩邊乘以，得。從而，有證法二（歸納法）（1） 當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。（2） 假設(shè)對(duì)（正整數(shù)）時(shí)命題成立，即對(duì) 有。那么，當(dāng)時(shí)，由于 從而，有證法三（歸納法）（1） 當(dāng)時(shí)，已知結(jié)論成立。（2） 假設(shè)對(duì)（正整數(shù)）時(shí)命題成立，即對(duì) 有。那么，當(dāng)時(shí)，由于證法四（歸納法和變換）證法五（利用排序不等式） 設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)組和滿足 ，則 （同序乘積之和） （亂序乘積之和） （反序乘積之和）其中是的一個(gè)排列，并且等號(hào)同時(shí)成立的充分必要條件是或成立。證明：切比雪夫不等式（利用排序不等式證明）楊森不等式（）設(shè)則對(duì)有 等號(hào)成立的充分必要條件是。琴生不等式（）設(shè)為上凸（或下凹）函數(shù)，則對(duì)任意，我們都有或其中 習(xí)題一1. 設(shè)。求證：對(duì)一切正整數(shù)，有2. 設(shè)求證：3. 設(shè)為正實(shí)數(shù)，證明： 4. 設(shè)，求證：5. 設(shè)，且，求證： 6. 設(shè)，滿足，求證： 7. 設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足