《數(shù)學(xué)建?！吩O(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)任務(wù)書

1、數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)任務(wù)書實(shí)驗(yàn)：DVD在線租賃學(xué)時(shí)：4學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^求解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽05年B題，掌握綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件求解復(fù)雜問題的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：隨著信息時(shí)代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度，面向其會(huì)員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項(xiàng)服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達(dá)核心消費(fèi)群、強(qiáng)烈的互動(dòng)性、感官性強(qiáng)、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務(wù)?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會(huì)員，訂購DVD租賃服務(wù)。會(huì)員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，

2、網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會(huì)員看完3張DVD之后，只需要將DVDa放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：1） 網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個(gè)會(huì)員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會(huì)員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個(gè)會(huì)員，對表1中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備

3、多少張，才能保證希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD呢？2） 表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單（表2的數(shù)據(jù)格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從asp下載），如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會(huì)員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。（一次分配，每人三張，一共需要3000張，而現(xiàn)有數(shù)量一共有3007張，超出供應(yīng)）3） 繼續(xù)考慮表2，并假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以

4、及如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？（一次分配，DVD數(shù)量不夠，需要進(jìn)行二次分配）4） 如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求預(yù)測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。表1 對1000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會(huì)員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520會(huì)員在線訂單C00016000C00020000C00030

5、003C00040000注：D001D100表示100種DVD, C0001C1000表示1000個(gè)會(huì)員, 會(huì)員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示，數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中。（注：表2數(shù)據(jù)位于文件B2005Table2.xls中, 可從asp下載）提示：對于問題1，在確定情況下，可假設(shè)10萬人中有2萬人愿意觀看DVD1。設(shè)需要N張DVD1，則由，可以解出N=6250。在隨機(jī)情況下，DVD1的需求數(shù)量是一個(gè)隨機(jī)變量，滿足二項(xiàng)分布： 其中，n為網(wǎng)站會(huì)員總數(shù)10萬；p為每個(gè)會(huì)員想看DVD1的概率200/1000。在95%的置信水平上，假設(shè)至多有M個(gè)會(huì)員

6、想看DVD1：要求求解出M，并畫出如下圖形：圖1 DVD1準(zhǔn)備的數(shù)量與滿足題目條件的概率關(guān)系圖2 DVD1準(zhǔn)備的數(shù)量與在95%的概率意義上所能滿足題目條件的關(guān)系對于問題2，可建立如下0-1規(guī)劃模型：其中cij是偏愛指數(shù)，其中0改成-1，其他數(shù)字如果是c，則用11-c代替。求解以上模型，列出前30個(gè)會(huì)員具體的分配方案，并畫出如下圖形：圖3 問題2分配方案中會(huì)員的相對滿意度對于問題3：網(wǎng)站購買的DVD越多（網(wǎng)站的滿意度越?。?，會(huì)員的滿意度也就越大 。對于每種DVD來說，越多人想看并且修正偏愛指數(shù)越高的DVD應(yīng)該準(zhǔn)備得越多。假設(shè)每種DVD需要購買的數(shù)量和該DVD的對應(yīng)的非負(fù)修正偏愛指數(shù)的總和成正比： 計(jì)算出具體比例并畫出如下圖形：圖4 各種DVD的購買比率于是，如果確定了DVD總數(shù)，我們便可以確定購買方案，并且可以用問題2中的0-1規(guī)劃模型進(jìn)行第一次分配。然而，由于我們并不能確切知道分配半個(gè)月內(nèi)哪些會(huì)員歸還了DVD，所以估算會(huì)員的滿意度有一定困難。我們在第一次分配之后，隨機(jī)產(chǎn)生60%的會(huì)員半個(gè)月內(nèi)歸還DVD，然后再次用0-1規(guī)劃模型進(jìn)行下一次分配，最終計(jì)算得出滿意度。由于所給數(shù)據(jù)的均勻性，對于半個(gè)月內(nèi)哪60%的會(huì)員歸還DVD進(jìn)行第二次分配對會(huì)員的滿意度的影響很小。要求按此思路計(jì)算出如下圖表：DVD總數(shù)60610001500200