計數(shù)原理綜合習(xí)題有答案

1、選修2-3第一章計數(shù)原理單元質(zhì)量檢測時間：120鐘總分：150分第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題（每小題5分，共60分）1.小王打算用70元購買面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡.若 他至少買一張，則不同的買法一共有（）A. 7種 B. 8種 C. 6種D. 9種2 .設(shè)某班有男生30人，女生24人，現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代 表班級參加比賽，則不同的選法種數(shù)是（）A. 360B. 480 C. 720 D. 2403 .設(shè) P=1 + 5（x+ 1）+10（x+ 1）2+10（x+1）3+5（x+1）4+（x+1）5,則 P 等于（）A. x5B. （x+2）5C. （x-1）5

2、D. （x+1）54 .一 2yf的展開式中x2y3的系數(shù)是（）A. -20 B. -5C. 5D. 205. 20個不同的小球平均分裝在10個格子中，現(xiàn)從中拿出5個球，要 求沒有兩個球取自同一個格子中，則不同的拿法一共有（）A. c50種B. C50種C. C：Oc2種D. C5025種6.在（1 x）n=a0+ a1x+a2x2 + anxn 中，若 2a2+Oi-5=0,則 n 的 值是（）A. 7 B. 8 C. 9D. 107 . 7人站成一排照相，甲站在正中間，乙、丙與甲相鄰且站在甲的兩 邊的排法共有（）A. 120種B. 240種C. 48 種D. 24 種8 .(42+3/3)

3、100的展開式中，無理項的個數(shù)是()A. 83B. 84 C. 85D. 869 .某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類 節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A. 72 B. 120 C. 144 D. 16810. 6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A. 144 B. 120 C. 72 D. 2411 .在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m, n),則f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3) = ()A. 45 B. 60 C. 120D. 21012 .設(shè)m為正整數(shù)，(x+

4、y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為 a, (x + y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為 b.若13a=7b,則m=()A. 5B. 6C. 7D. 8第n卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13 .某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從 中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有f中(用數(shù)字作答).14 .(五+a)6的展開式中含x2項的系數(shù)為60,則實數(shù)a =15 .在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將 這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有 f中(用 數(shù)字作答).16 .設(shè)a?0, n是大于1的自然數(shù)，

5、1+xn的展開式為a0+ a1x+ < aa2X2+ anxn.若點Ai(i,ai)(i = 0,1,2)的位置如圖所示,則a =4,*A23°,L"。! ji 40 12工三、解答題(寫出必要的計算步驟，只寫最后結(jié)果不得分，共 70分)17 . (10分)4位學(xué)生與2位教師坐在一起合影留念，根據(jù)下列條 件，求各有多少種不同的坐法：(1)教師必須坐在中間；(2)教師不能坐在兩端，但要坐在一起；(3)教師不能坐在兩端，且不能相鄰.18 . (12分)從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使 它的和大于100,則不同的取法有多少種？19 .(12 分)已知 %VX

6、i+J), i 是虛數(shù)單位，x>0, n6N+.x(1)如果展開式的倒數(shù)第三項的系數(shù)是180,求n的值；(2)對(1)中的n,求展開式中的系數(shù)為正實數(shù)的項.20 .(12分)若力一甘的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(1 3x)n= x. ,ao+ ax+ a2x2 + + anxn，求 a1 + a2+ + an 的值.21 .(12分)已知(a2+ 1)n的展開式中的各項系數(shù)之和等于 保x2+jx)5的展開式的常數(shù)項，而(a2+1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于 54,求 a的值.22.(12分)用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字:(1)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？(2)可組成多少個無

7、重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(3)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4 023大的數(shù)有多少?答案1. C 要完成“至少買一張IC電話卡”這件事，可分三類：第 一類是買1張IC卡;第二類是買2張IC卡;第三類是買3張IC卡.而 每一類都能獨立完成“至少買一張IC電話卡”這件事.買1張IC卡 有2種方法，買2張IC卡有3種方法，買3張IC卡有1種方法.不 同的買法共有2+3+1=6(種).2. C 由分步乘法計數(shù)原理，得 N=30X 24= 720(種).3. B P=1+(x+ 1)5= (x+2)5,故選 B.114. A 由已知，得 + 1 = C5擊Fr(_2y)r=C5115 r ( 2)rx5ryr(

8、0<r<5, r6Z),令 r = 3,得 T4=C5 2( 2)3x2y3 = - 20x2y3.故選A.5. D 分兩步：第一步先從10個格子中選中5個格子，有C50種 方法；第二步從每個格子中選一個球，不同的拿法有 2X2X2X2X2 =25(種).由分步乘法計數(shù)原理共有 C5025種不同的拿法.6. B Tr+1 = C；(1)rxr,則 a2=C2, an 5=(T)nm 5,因為 2a2 + an 5=0, a2>0,所以an 5=一所以2c2=C5且n為偶數(shù)，將各 選項代入驗證知n = 8,故選B.7. C由題意知，甲的位置確定，而乙、丙的位置有 2種排法， 再

9、排其他4人，有A4種不同的排法，故不同的排法總數(shù)為a4 2=48(種).8. B 先求展開式中的有理項.Tr i = cloo(/2)100 r(/3)r=Cioo 2 233, .要使展開式中的項為有理項，r必為6的倍數(shù).又 0<r< 100,且 r 6 N,.r的取值為0,6,12,，96,它構(gòu)成了以0為首項，6為公差， 96為末項的等差數(shù)列，設(shè)它有 n項，則96= 6(n-1). n=17. 展開式中共有101項，其中有17項是有理項， 無理項有84項.9. B解決該問題分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類 A3,然 后利用插空法將剩余3個節(jié)目排入左邊或右邊3個空，故不同排法有

10、 A3 2A3= 72.第二類也分兩步，先排歌舞類A3,然后將剩余3個節(jié)目放 入中間兩空排法有C2A2A2,故不同的排法有A3A2A2c2 = 48,故共有 120種不同排法，故選B.10. D 插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空當(dāng)中選出3個插入3人即可.故排法種數(shù)為 A3=24.故選D.11. C因為(1+x)6展開式的通項公式為Tr+1 = C6xr, (1 + y)4展開 式的通項公式為Th+1 = C4yh,所以(1 + x)6(1+y)4展開式的通項可以為 C6c4xryh.所以 f(m, n)=cmcn.所以 f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3)

11、= c3+ c2c1 + c6c2 + C4 = 20 +60+36+ 4=120.故選 C.12. B 由題意可知，a = Cmm, b = CSn+1,又因為13a=7"所以13居m!7-（2m+ 1 ；!,m! （m+ 1）!一 13 2m + 1即釬，.解得m=6.故選B.13. 30（1）A類選修課選1門，B類（2）A類選修課選2門，B類選解析：方法1：可分以下兩種情況: 選修課選2門,有C3c4種不同的選法； 修課選1門，有c3c4種不同的選法.所以不同的選法共有c1c2+c2c4= 18+ 12= 30（種）.方法 2： c7 c3 c3=30（種）.14. i2解析：

12、通項 T= C6（也）6 rar = arC6x3 2,. r令3 廠2,得r=2.故a2c6=60,解得a=氣.15. 60解析：不同的獲獎情況分為兩種，一是一人獲兩張獎券一人獲一 張獎券，共有C3A4 =36（種）；二是有三人各獲得一張獎券，共有 A3= 24（種）.因此不同的獲獎情況有36 + 24 = 60（種）.16.3解析：由題意得a1 = ：cn =，=3,所以n = 3a; a a1八2 n n12 c 2a?= 2Cn= g 2 =4,所以 n n = 8a . a 2a將 n = 3a 代入 n2 n = 8a2 得 9a2 3a= 8a2,即a2- 3a=0,解得a=3或

13、a= 0（舍去）.所以a=3.17 .解：（1）分步完成：教師先坐中間，有 A2種方法，學(xué)生再坐其 余位置，有a4種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的坐法共有 A2 A4 = 48（種）.（2）將 2名教師看作一個元素，問題變?yōu)?個元素排列的問題先將教師排好，有A3 A2種方法，再排學(xué)生，有A4種方法，故不 同的坐法共有A3A2A4= 144（種）.（3）插空法：先排學(xué)生，有 A4種方法，教師從4名學(xué)生之間的3 個空位選2個進(jìn)行排列，有A2種方法，故不同的坐法共有 A4 A2= 144（種 ）18 .解：若從 1,2,3,，97,98,99,100中取出 1,有 1 + 100>100,

14、有 1 種取法；若取出2，有2 100>100,2 99>100，有2種取法；取出3,有3種取法；若取出 50,有 50+ 51>100,50+ 52>100,，50+100>100,有 50 種取法；所以取出數(shù)字1至50,共有不同的取法N1 = 1+2+3+ - +50=1 275（種 ）若取出 51,有 51 + 52>100,51+53>100,，51 + 100>100,有 49 種取法；若取出52,則有48種取法；若取出99,只有1種取法.所以取出數(shù)字51至100（2中取過的不再取），有不同取法 沖=49 + 48+ 2+ 1 = 1

15、225（種）.故總的取法共有 N=N1+N2=2 500（種）.19 .解：（1）由已知，得 Cn 2（2i）2=- 180,即 4C2=180,化簡得 n2n 90=0,又 n6N+,解得 n= 10.i2dxi + )0展開式的通項為 xTr+1 = Cl0(26i)10 rx 2r = Cl0(2i)10 rx10 2 5r,;展開式中的系數(shù)為正實數(shù)，且r 6 0,1,2 ,，10,.r的取值為10,6,2,故所求的項為Tii = x 20, 丁7 = 3 360x 10, 丁3= 11 520.20.解：丁6=/儀2)"X=C5x2n 15,令 2n15=1,貝U n=8,令 x=1,貝U a0 +a1 + + an= (-2)8 = 256,令 x = 0,則 a0= 1,所以 aI + a2 + an=255.21.解： 俗2+t）的展開式的通項是令 20 5r=0,解得 r = 4,故常數(shù)項T5 = C4x£=16,又（a2+ 1）n的展開式的各項系數(shù)之和等于 2n,由題意得2n=16,解得n=4,由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，（a2+ 1）4的展開式中系數(shù)最大的項是中 間項，即第三項，由 C4a4=54,解得 a= &#