高考數(shù)學(xué)：一輪復(fù)習(xí)配套講義：第11篇第2講古典概型

1、第2講古典概型最新考綱1 .理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2 .會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 .診斷基礎(chǔ)知識(shí)由淺入深夯基固本知識(shí)梳理1 .基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2 .古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型._ A包含的基本事件的個(gè)數(shù) P(A) =基本事件的總數(shù)辨析感悟1 .古典概型的意義(1) “在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，具基本事 件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(X)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面” “一正一反” “兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié) 果是

2、等可能事件.(X)(3)(教材習(xí)題改編)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每 位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為2,古典概型的計(jì)算 (4)在古典概型中，如果事件 A中基本事件構(gòu)成集合 A,所有的基本事件構(gòu)成集 合I,則事件a的概率為ca篇) (5)從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)、，一，. 2,- L間的距離為-y的概率是0.2.(X )(6)(2013新課標(biāo)全國(guó)II卷改編)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為 5 的概率是0.2.(，)感悟提升1 . 一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)

3、是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn) 有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定義.2 .從集合的角度去看待概率，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè) 集合I,基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含 m個(gè)元素的子集，故PdcardA?= m,如(4); 根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算，如 card I n(5)、(6).突破高頻考點(diǎn)覬例求法舉一反w考點(diǎn)一簡(jiǎn)單古典概型的概率【例1】 現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解 答.試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率.解 從6道題中

4、任取2道有n = c6=15(種)取法.(1)記”所取的2道題都是甲類題”為事件 A,則A發(fā)生共有m=c4=6種結(jié)果.所求事件概率P(A) = m=3 = 2. n 15 5記”所取的2道題不是同一類題”事件為B,事件B包含的基本事件有C4c2=8(種)，則事件B的概率為P(B) = 185.規(guī)律方法有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件 包含的基本事件數(shù).基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.學(xué)生用書(shū)第183頁(yè)訓(xùn)練U 袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為

5、一 藍(lán)色卡片 兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為 0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩 種卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于 4的概率.解(1)從5張卡片中任取兩張，共有n=d=10種方法.記“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于 4”為事件A,則A包含基本事件m=c2 c2-1=3 個(gè).由古典概型概率公式，p(a)=，二焉.從6張卡片中任取兩張，共有n = c6=15個(gè)基本事件，記“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于 4”為事件B,則事件B包含基本事件總 數(shù) m=c1(c2+c1)+(c2c2-1) = 8,

6、所求事件的概率P(B) = m=：8.n 15考點(diǎn)二復(fù)雜的古典概型的概率【例2】 將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：(1)兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率；(2)以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo) x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo) y的點(diǎn)(x, y)在圓 x2+y2 = 15的外部或圓上的概率.解 由題意，先后擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)(x, y)共有n = 6X6 = 36種等可能結(jié)果， 為古典概型.(1)記”兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)”為事件 B,則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對(duì) 立事件，記為百.事件 后包含的基本事件數(shù) m=c3& = 9.-91 一.3.P(B) = 36=4,則 p(B)=1 p(B)=4，3

7、6 443因此，兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率為 4.(2)點(diǎn)(x, y)在圓x2 + y2=15的內(nèi)部記為事件C,則至表示“點(diǎn)(x, y)在圓x2+y2 =15上或圓的外部”.又事件 C 包含基本事件：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2)共 有8個(gè).p(C)=36=9,從而 p=1-p(C)=1-9=7. 36 99 9.二點(diǎn)(x, y)在圓x2+y2=15上或圓外部的概率為7.9規(guī)律方法(1)一是本題易把(2,4)和(4,2), (1,2)和(2,1)看成同一個(gè)基本事件，造成 計(jì)算錯(cuò)誤.二是當(dāng)所求事件情況較復(fù)雜時(shí)，一般要分

8、類計(jì)算，即用互斥事件的概 率加法公式或考慮用對(duì)立事件求解.當(dāng)所求事件含有“至少” “至多”或分類情況較多時(shí)，通?？紤]用對(duì)立事件 的概率公式P(A) = 1 P(云)求解.【訓(xùn)練2】 某小組共有A, B, C, D, E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體 重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下 的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中的概率.解(1

9、)從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D),共 6 個(gè).由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.78以下的事件有(A, B), (A, C), (B, C),共3個(gè).因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E),共 10個(gè)

10、.由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中的事件有(C, D), (C,E), (D, E),共 3個(gè).因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中的概率為P=3 10.考點(diǎn)三 古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題【例3】(2013廣東卷)某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).1 7 9, 一2 0 15根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；3 o日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？(3

11、)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.審題路線(1)閱讀莖葉圖得出樣本數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)公式計(jì)算出樣本均值.(2)根據(jù)樣本算出優(yōu)秀工人的比例，再估計(jì) 12人中優(yōu)秀工人的個(gè)數(shù).(3)用組合數(shù)公 式求出所有可能的組合的個(gè)數(shù)和符合條件的組合的個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式 計(jì)算.1解 (1)由莖葉圖可知：樣本數(shù)據(jù)為17,19,20,21,25,30則x =6(17+19+20+21+ 25+30)=22,故樣本均值為22.(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人有2名，2 1故優(yōu)秀工人的頻率為太=鼻. 6 31該車間12名工人中優(yōu)秀工人大約有12Xq=4(名)，3故該車間約有4名優(yōu)秀工

12、人.記“恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A,其包含的基本事件總數(shù)為 C4c8= 32,所有基本事件的總數(shù)為C22=66.由古典概型概率公式，得32 16P(A) = 66= 33.所以T有1名優(yōu)秀工人的概率為16.33學(xué)生用書(shū)第184頁(yè)規(guī)律方法（1）本題求解的關(guān)鍵在于從莖葉圖準(zhǔn)確提煉數(shù)據(jù)信息，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與概率 的正確計(jì)算.（2）一是題目考查莖葉圖、樣本均值、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查樣本估計(jì)總體 的思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力.二是求解時(shí)要設(shè)出所求事件，進(jìn)行必要的說(shuō)明, 規(guī)范表達(dá)，這都是得分的重點(diǎn).【訓(xùn)練3】 從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如 下：分組（重量）80,85)85,

13、90)90,95)95,100)頻數(shù)（個(gè)）5102015（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在90,95）的頻率；（2）用分層抽樣的方法從重量在80,85）和95,100）的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在80,85）的有幾個(gè)？在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在80,85）和95,100）中各有1個(gè) 的概率.解（1）由題意知蘋果的樣本總數(shù)n = 50,在90,95）的頻數(shù)是20,蘋果的重量在2090,95） 率是去=0.4.50（2）設(shè)從重量在80,85）的蘋果中抽取x個(gè)，則從重量在95,100）的蘋果中抽取（4 x）個(gè).表格中80,85）, 95,100）的頻數(shù)分別是5,15, .5

14、: 15= x : （4-x）,解得 x= 1.即重量在80,85）的有1個(gè).在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，重量在80,85）中有1個(gè)，記為a,重量在95,100） 有3個(gè)，記為b1，b2, b3.任取2個(gè)，有ab1, ab2, ab3, bb2, bb3, b2b3共6種不同方法，記基本事件總數(shù)為n,則n = 6.其中重量在80,85)和95,100)中各有1個(gè)的事件記為A,事件A包含的基本事件為 abi, ab2, ab3,共 3 個(gè)，3 1由古典概型的概率計(jì)算公式得 P(A) = -=-.6 2|課堂小結(jié)|1 .古典概型計(jì)算三步曲第一，本試驗(yàn)是否是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

15、第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個(gè).2 .確定基本事件的方法(1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可列舉計(jì)算；(2)利用計(jì)數(shù)原理、排列與組合求基本 事件的個(gè)數(shù).3 .較復(fù)雜事件的概率可靈活運(yùn)用互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公 式簡(jiǎn)化運(yùn)算.培養(yǎng)解題能力教保解題提升能力易錯(cuò)辨析10基本事件計(jì)數(shù)不正確致誤【典例】(2013江西卷，文)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、 唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為：以。為起點(diǎn)，再?gòu)腁1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖所示)這6個(gè)點(diǎn)中任 取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為 X,若X0就去打球,陽(yáng)T因兒若X=0就去唱歌，若X n滿足條件，m= n的

16、概率為纂=1.36 61 5 5mn的概率為2 6= 12.亡女一丁合上157辰, 2的概率為6+12= 12.答案 C2 . （2014合肥模擬）有5本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1 本，若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書(shū)架的同一層上， 則同一科目的書(shū)都不相鄰的 概率是（）.解析 第一步先排語(yǔ)文書(shū)有 A22= 2（種）排法.第二步排物理書(shū)，分成兩類.一類 是物理書(shū)放在語(yǔ)文書(shū)之間，有1種排法，這時(shí)數(shù)學(xué)書(shū)可從4個(gè)空中選兩個(gè)進(jìn)行排 列，有A4= 12（種）排法；一類是物理書(shū)不放在語(yǔ)文書(shū)之間有 2種排法，再選一本 數(shù)學(xué)書(shū)放在語(yǔ)文書(shū)之間有2種排法，另一本有3種排法.因此同一科目的書(shū)都不5相鄰

17、共有2X（12 +2X2X3） = 48（種）排法,而5本書(shū)全排列共有A5= 120（種）,所以同一科目的書(shū)都不相鄰的概率是48 2120= 5.答案 B 二、填空題3 .某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔 1節(jié)藝術(shù)課的概率為 州數(shù)字作答）.解析法一 6節(jié)課的全排列為A6#,相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課 的排法是：先排三節(jié)文化課，再利用插空法排藝術(shù)課，即為 （A3C2A2A2+2A3A3）工小 4卅加制加為八/日 -A、A3c3A2A2 +2A3A31種， 由古典概型概率公式得 P(A) =不=-A65法二6節(jié)課的全排列為A6種，先排三節(jié)藝術(shù)課有A3種不同方法，同時(shí)產(chǎn)生四個(gè)空，再利用插空法排文化課共有 a3種不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)A 3A 3)A3A41-6A65.答案J5三、解答題4.現(xiàn)有8名2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者 Ai, A2, A3通曉日語(yǔ)，Bi, B2, B3通曉俄語(yǔ)，Ci, C2通曉韓語(yǔ).從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者 各1名，組成一個(gè)小組.求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率.解(1)從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，具一切可能的結(jié)果組成的基本事