2參數(shù)方程知識講解及典型例題

1、參數(shù)方程一、定義：在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個參數(shù)t的函數(shù)，即，其中，t為參數(shù)，并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)注意：參數(shù)方程沒有直接體現(xiàn)曲線上點的橫縱坐標之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點的橫縱坐標與參數(shù)間的關(guān)系。二、二次曲線的參數(shù)方程1、圓的參數(shù)方程：特殊：圓心是（0,0），半徑為r的圓：一般：圓心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)，的幾何意義為圓心角），Eg1：已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上的動點，求：（1）x2+

2、y2的最值；（2）x+y的最值；（3）點P到直線x+y-1=0的距離d的最值。Eg2：將下列參數(shù)方程化為普通方程（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+ y=3sin y=cos y=t2+總結(jié)：參數(shù)方程化為普通方程步驟：（1）消參（2）求定義域2、橢圓的參數(shù)方程：中心在原點，焦點在x軸上的橢圓：（為參數(shù)，的幾何意義是離心角，如圖角AON是離心角）注意：離心率和離心角沒關(guān)系，如圖，分別以橢圓的長軸和短軸為半徑畫兩個同心圓，M點的軌跡是橢圓，中心在（x0，y0）橢圓的參數(shù)方程： Eg：求橢圓=1上的點到M（2,0）的最小值。3、雙曲線的參數(shù)方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙

3、曲線： （為參數(shù)，代表離心角），中心在（x0，y0），焦點在x軸上的雙曲線： 4、拋物線的參數(shù)方程：頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù)，p0，t的幾何意義為過圓點的直線的斜率的倒數(shù)）直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得到。三、一次曲線（直線）的參數(shù)方程過定點P0（x0，y0），傾角為的直線， P是直線上任意一點，設(shè)P0P=t，P0P叫點P到定點P0的有向距離，在P0兩側(cè)t的符號相反，直線的參數(shù)方程 （t為參數(shù)，t的幾何意義為有向距離）說明：t的符號相對于點P0，正負在P0點兩側(cè) P0P=t直線參數(shù)方程的變式： ，但此時t的幾何意義不是有向距離，只有當t前面系數(shù)的平方和是1時，幾何意義

4、才是有向距離，所以，將上式進行整理，得 ，讓作為t，則此時t的幾何意義是有向距離。Eg：求直線 x=-1+3t y=2-4t，求其傾斜角.極坐標與參數(shù)方程練習題基礎(chǔ)訓練A組一、選擇題1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A B C D2下列在曲線上的點是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 4化極坐標方程為直角坐標方程為（ ）A B C D 5點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D 6極坐標方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓二、填空題1直線的斜率為_。2參數(shù)方程的普通方程為_。3已知直線與直線相交于

5、點，又點，則_。4直線被圓截得的弦長為_。三、解答題1已知點是圓上的動點，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。2求直線和直線的交點的坐標，及點與的距離。3在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值。 綜合訓練B組一、選擇題1直線的參數(shù)方程為，上的點對應(yīng)的參數(shù)是，則點與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線3直線和圓交于兩點，則的中點坐標為（ ）A B C D 4圓的圓心坐標是（ ）A B C D 5與參數(shù)方程為等價的普通方程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長為（ ）A B C D 二、填空題1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_。2直線過定點_。3點是橢圓上的一個動點，則的最大值為_。4曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為_。5設(shè)則圓的參數(shù)方程為_。三、解答題1點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。2已知直線經(jīng)過點,傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設(shè)與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積。極坐標與參數(shù)方程練習題答案 基礎(chǔ)訓練A組一、選擇題 1D 2B 3C 4C5C 6C 二、填空題1 2 3 4 三、解答題1解：（1）；