選修21第三章距離講義

1、.案例二精析精練課堂 合作 探究重點(diǎn)難點(diǎn)打破 知識(shí)點(diǎn)一 間隔 與兩點(diǎn)間間隔 1兩點(diǎn)之間的間隔 ：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的間隔 。求法：解三角形：利用向量。 2點(diǎn)到直線的間隔 ：如右圖所示，過直線外一點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，那么線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到直線的間隔 。求法：一般用三垂線定理作出垂線段，通過解直角三角形求點(diǎn)到直線的間隔 ；借助面積相等求點(diǎn)到直線的間隔 。 3圖形與圖形的間隔 ：一個(gè)圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的間隔 中的最小間隔 ，叫做圖形與圖形的間隔 。兩點(diǎn)之間的間隔 是空間各種間隔 的根底，圖形與圖形的間隔 最終轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的間隔 進(jìn)展求解。 知識(shí)點(diǎn)二 點(diǎn)面距、線面距

2、與面面距 1.1連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)任意一點(diǎn)的所有線段中，垂直線段最短，如以下圖所示。2點(diǎn)到平面的間隔 的定義：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)正射影的間隔 ，叫做點(diǎn)到這個(gè)平面的間隔 。3點(diǎn)到平面的間隔 的求法：定義法：由該點(diǎn)向平面引垂線，確定垂足，轉(zhuǎn)化為解三角形求邊長(zhǎng)。等體積轉(zhuǎn)化：當(dāng)過點(diǎn)作平面的垂線很困難時(shí)，可考慮等體積轉(zhuǎn)化。向量法：向量法可分兩種：一是利用向量表示點(diǎn)到平面的垂直線段，設(shè)法求出該向量，轉(zhuǎn)化為計(jì)算向量的模；二是利用法向量。 2.1定義：一條直線上的任一點(diǎn)，與它平行的平面的間隔 ，叫做直線與平面的間隔 。 2求法：轉(zhuǎn)化為直線上的一個(gè)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)到平面的間隔 來求解。 3.1定義：和兩個(gè)平行平面同時(shí)

3、垂直的直線叫做兩個(gè)平面的公垂線。公垂線夾在兩個(gè)平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段。兩平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩平行平面的間隔 。2求法：求兩平行平面間的間隔 可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的間隔 ：即面面距線面距點(diǎn)面距線面距點(diǎn)面距。 典型例題分析 題型1 向量法與兩點(diǎn)間間隔 【例1】 如右圖所示，一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)，分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且垂直于的線段，又知，求兩點(diǎn)間的間隔 。解析 求兩點(diǎn)的間隔 ，可求。答案 將線段兩點(diǎn)間的間隔 轉(zhuǎn)化為向量的模，再用條件表示向量，然后求其模。由，。又，故兩點(diǎn)間的間隔 為4。規(guī)律總結(jié) 解決此題的關(guān)鍵有四點(diǎn)：一是將線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的計(jì)

4、算；二是用向量表示向量；三是用公式，將向量模的計(jì)算轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算；四是注意與互補(bǔ)。另外，此題不用向量法求解，而用幾何法求解，那么需要作輔助線，解題過程較繁?！咀兪接?xùn)練1】 如右圖所示，為直二面角，在上，分別在，平面內(nèi)，且與的夾角為45°，求的長(zhǎng)。答案 如以下圖，二面角為直二面角，且，。又與的夾角為45°，與的夾角為45°。，即的長(zhǎng)為。題型2 異面直線間隔 【例2】 正方體的棱長(zhǎng)為1，求異面直線間的間隔 。解析 由于所給幾何體是正方體，所以可建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)向量求解。以所在的直線分別為軸、軸、軸建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系。那么有以下各點(diǎn)的坐標(biāo)，

5、。 答案 令為異面直線的公垂線段，并設(shè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為，那么。，由公垂線段的定義可得，即解之，得。故異面直線間的間隔 為。規(guī)律總結(jié) 解決此題的關(guān)鍵是利用異面直線公垂線的定義建立方程組，應(yīng)用待定系數(shù)法求出公垂線段的向量坐標(biāo)表示式。用空間坐標(biāo)向量解立體幾何問題一般有以下四個(gè)步驟：1根據(jù)幾何圖形特征最好出現(xiàn)相交于同一點(diǎn)的三條兩兩互相垂直的直線，建立恰當(dāng)?shù)目臻g右手直角坐標(biāo)系；2寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)表示形式；3運(yùn)用向量相關(guān)知識(shí)進(jìn)展向量坐標(biāo)運(yùn)算，得到相應(yīng)的結(jié)果；4將向量計(jì)算得到的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題中的結(jié)論?！咀兪接?xùn)練2】 直線上有兩定點(diǎn)、，線段，且與成120°角，求

6、與間的間隔 。答案 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如以下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，那么所以。設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量，由，得令，得，所以。所以，即與間的間隔 為。題型3 點(diǎn)面距【例3】 正方體的棱長(zhǎng)為，過作一個(gè)梯形截面，而，求頂點(diǎn)到截面的間隔 。解析 由于此題中的幾何體是正方體，所以可以建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系來求解。因?yàn)檩d面是梯形，所以線段與平行，且在上底面上；再由的大小確定的位置，從而確定截面；最后用平面的法向量求出頂點(diǎn)到截面的間隔 。答案 以為原點(diǎn)建立如以下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，那么，此外，設(shè)，那么。 因?yàn)橐环矫嬗?，所以。由于，即，于是。如今假設(shè)平面的法向量是，那么由，及，求得，故點(diǎn)到平面的間隔

7、為。規(guī)律總結(jié) 求點(diǎn)到平面的間隔 ，一般用平面的法向量法，也即先在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得很容易確定例如此題選擇，然后求出平面的法向量，最后通過解三角形得到點(diǎn)到面的距離。 【變式訓(xùn)練3】 在四面體中，兩兩垂直，設(shè)，點(diǎn)到平面的間隔 為，求證：。答案 如以下圖，建立坐標(biāo)系，那么，。設(shè)是平面的一個(gè)法向量，那么，于是取。在上的射影長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的間隔 ，故。 【變式訓(xùn)練4】 如下左圖，四棱柱，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)。求點(diǎn)到面的間隔 。 答案 取的中點(diǎn)M，連接。如上右圖所示。因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且。又且，所以四邊形是矩形，所以。又因?yàn)槊?，所以面，設(shè)點(diǎn)到面的間隔 為，連接，有。因?yàn)槊?，所以。因?yàn)椋?，所以，所?/p>

8、，所以。即點(diǎn)到平面的間隔 為。題型4 點(diǎn)線距、線面距和面面距【例4】 在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，1求證：平面；2求直線與平面的間隔 。解析 將這些間隔 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。答案 1證明：如以下圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系。 因?yàn)?。所以，而平面，平面，所以平?2由上圖得，所以。設(shè)y，2是平面的法向量， 那么所以 取得，所以在上的射影長(zhǎng)為。所以直線到平面的間隔 。 方法指導(dǎo) 在正方體中，垂直關(guān)系較多，因此求間隔 時(shí)方法也較多，同學(xué)們可以選擇自己熟悉的方法求解。 【變式訓(xùn)練5】 正方形的邊長(zhǎng)為4，、分別是、的中點(diǎn)，面，求點(diǎn)到平面的間隔 。 答案 分別以、所在直線

9、為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如右圖所示。根據(jù)，那么有、所以，。設(shè)平面的法向量為。那么由可得，。所以。又，所以點(diǎn)到平面的間隔 。 【例5】 如圖，正四棱柱中，側(cè)棱，底面邊長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)。 1求證：平面平面； 2求平面與平面間的間隔 。 解析 首先用面面平行的斷定定理證明1，然后兩平行平面間的間隔 就是平面內(nèi)任一點(diǎn)到平面的距高，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距來求解。 答案 1如圖分別以、所在直線為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么，又，平面平面。2由1可知平面與平面間的間隔 等于到平面的間隔 ，設(shè)平面的法向量，由得，得，令，得，到平面的間隔 。平面與平面間的間隔 為。 方法指導(dǎo) 平面平面，那么、間的間隔 就是內(nèi)任

10、一點(diǎn)到的間隔 ，這是立體幾何、空間向量中轉(zhuǎn)化思想方法的典型實(shí)例。 【變式訓(xùn)練6】 右圖，為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，假設(shè)，求點(diǎn)到的間隔 。 答案 方法一：作，垂足為， PA平面，為在平面上的射影， 由三垂線定理得，即為到的間隔 ， 在中，可得， 在中，由勾股定理可求得， 到的間隔 為。 方法二:如上圖，分別以、所在直線為、軸建系，那么，到的間隔 。到的間隔 為。 規(guī)律 方法 總結(jié)1.空間中兩點(diǎn)的間隔 公式假設(shè)，那么。2.向量的模長(zhǎng)公式假設(shè)，那么。3.點(diǎn)到直線的間隔 1點(diǎn)到直線垂線段的作法在立體幾何中，點(diǎn)到直線的垂線段是由三垂線定理確定的。2點(diǎn)到直線間隔 的求法幾何法由三垂線定理將立體幾何問題轉(zhuǎn)

11、化為平面幾何中的解直角三角形問題，進(jìn)展求解。向量法設(shè)是過點(diǎn)平行于向量的直線，是直線以外一定點(diǎn)，向量在上的射影的大小為，那么點(diǎn)到直線的間隔 。4.點(diǎn)到平面的間隔 的求法1幾何法由點(diǎn)到平面的間隔 的定義轉(zhuǎn)化為平面幾何中的解直角三角形問題，進(jìn)展求解。由點(diǎn)和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，轉(zhuǎn)化為體積問題，進(jìn)而用等積法求解。2向量法如右圖，平面，垂足為，那么點(diǎn)到平面的間隔 就是線段的長(zhǎng)度。假設(shè)是平面的任一條斜線段，那么在中，。假如令平面的單位法向量為，那么點(diǎn)到平面的間隔 為。求一個(gè)點(diǎn)到平面的間隔 ，可以分以下幾步完成：求出該平面的一個(gè)單位法向量；找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；求出單位法向量

12、與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，即是點(diǎn)到平面的間隔 。 定時(shí) 穩(wěn)固 檢測(cè)根底訓(xùn)練1.中，平面，那么點(diǎn)到的間隔 是 A. B. C. D.【答案】 D點(diǎn)撥:在平面內(nèi)過作于，連即為所求。2.中，點(diǎn)在所在平面外，點(diǎn)到的間隔 ，那么點(diǎn)到平面的間隔 等于 A.7 B.8 C.9 D.10【答案】 A點(diǎn)撥:解決此題的關(guān)鍵在于找點(diǎn)在平面內(nèi)的射影。易知點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在的角平分線上。3.夾在兩平行平面、內(nèi)的兩條斜線段，cm，cm，和在內(nèi)的射影的比為3:5，那么、間的間隔 為 Acm B.cm C.cm  D.cm【答案】 C點(diǎn)撥:設(shè)、間間隔 為，在內(nèi)的射影長(zhǎng)分別為，由得。4.如右圖，二面角為120&#

13、176;，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在、內(nèi)，且，那么的長(zhǎng)為 A. B.C.2 D.【答案】 C點(diǎn)撥:利用求解。5.正方體中，棱長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)到平面的間隔 為到平面的間隔 為到平面的間隔 為，那么有 A. B.C. D.【答案】 D點(diǎn)撥:易得，故選D。才能提升6.如以下圖，四面體中，為等腰三角形，且平面，求點(diǎn)到平面間隔 。 【答案】 作交的延長(zhǎng)線于，連接。平面，根據(jù)三垂線定理有。又，平面。又平面，平面平面且平面平面。過點(diǎn)作于，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，平面。的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的間隔 。在中，即點(diǎn)到平面的間隔 為。7.正方體的棱長(zhǎng)2，、分別是、的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的間隔 ?！敬鸢浮?解法一:如右圖，設(shè)點(diǎn)到平面的間隔 為，在四面體中，由可得。所以到平面的間隔 為。解法二:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，那么，所以。設(shè)是平面的法向量，那么由，得，從而有，所以可取。在上射影的長(zhǎng)度為。即點(diǎn)到平面的間隔 為。8.如以下圖，空間四邊形的四條邊及兩對(duì)角線長(zhǎng)為，試求點(diǎn)到平面的間隔 ?！敬鸢浮?設(shè)點(diǎn)是在平面上的射影，分別連接，由于，所以它們?cè)谄矫嫔系纳溆?、也均相等，所以是等邊三角形的中點(diǎn)，正的高m，。在中，即中點(diǎn)到平面的離為。9.如右圖所示，四邊形是正方形，平面，假設(shè)，求。1點(diǎn)到正方形各頂點(diǎn)的間隔 ；2點(diǎn)到正方形各邊的間隔 ；3點(diǎn)到正方形兩條對(duì)角線的間隔 。【答案】 1以為原點(diǎn)，以、所在直線為軸、軸、軸建立