(鞏繼強)等差等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用VIP

1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、 填空題1在等差數(shù)列a中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于= 2已知數(shù)列的通項，則其前項和 3首項為24的等差數(shù)列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是 4在等比數(shù)列中， 和 是二次方程 的兩個根，則的值為 5等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n= 6等差數(shù)列an的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_ 7已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，= 8已知數(shù)列對于任意，有，若，則9記數(shù)列所有項的和為，第二項及以后各項的和為，第三項及以后各項的和為 ，第項及以后各項的和為，若 ， ，則等于

2、 10等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為319，偶數(shù)項之和為290，則其中間項為_11等差數(shù)列中，若且，則的值為 12設(shè)為等差數(shù)列的前項和已知,則等于 13已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)，都有，且，則_14三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是 二、解答題：15已知數(shù)列滿足（1）求；（2）證明：16數(shù)列的前項和記為（）求的通項公式；（）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求 17已知等比數(shù)列的前項和為，且（1）求,的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和18數(shù)列是首項為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和19數(shù)

3、列中，且滿足()求數(shù)列的通項公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由20已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列（I）證明：；（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(答案)一、填空題1在等差數(shù)列a中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于= 42 2已知數(shù)列的通項，則其前項和 33首項為24的等差數(shù)列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是4在等比數(shù)列中， 和 是二次方程 的兩個根，則的值為 變1：已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則 1/2 變2：如果-1，a, b,c,-

4、9成等比數(shù)列，那么b= -3 解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac（1）×（9）9，b×b9且b與奇數(shù)項的符號相同，故b3點評及反思：求等比中項時，要看清條件，從而正確確定等比中項的符號 5等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n= 10 6等差數(shù)列an的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_210_ 7已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，= 8.5 解法一：點撥 利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”解析：=解法2： 點撥 利用“若 為等差數(shù)列，那么”這個結(jié)論，根據(jù)條件 找出和的通項解析：可設(shè)，則， ，則=

5、點評：兩種解法想比較，顯然解法一比較快捷，但適用范圍則不如解法二.變1：已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則 41/6 變2：已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是 5個 解：由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數(shù)即可，故，共5個點評：對等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用反思：解法二中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為18已知數(shù)列對于任意，有，若，則49記數(shù)列所有項的和為，第二項及以后各項的和為，第三項及以后各項的和為 ，第項及以后各項的和為，若 ， ，則等于 21-n 解： 10等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為319

6、，偶數(shù)項之和為290，則其中間項為_29_.解:依題意,中間項為,于是有 解得. 11等差數(shù)列中，若且，則的值為 10 .解：由題設(shè)得，而，又， 12設(shè)為等差數(shù)列的前項和已知,則等于 324 . 解：， ， 13已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)，都有，且，則_4010_解：由知函數(shù)當(dāng)從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個等差數(shù)列，形成一個首項為2，公差為4的等差數(shù)列， 14三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則b的取值范圍是 解：設(shè)，則有當(dāng)時，而，；當(dāng)時，即，而，則，故 二、 解答題：15已知數(shù)列滿足（1）求；（2）證明：.解：（1）（2）證明：由已知，故, 所以證得16數(shù)列的前項和記為（

7、）求的通項公式；（）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求點撥：本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及推理能力與運算能力解：（）由可得，兩式相減得：，又 故是首項為1，公比為3得等比數(shù)列 （）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得等差數(shù)列的各項為正， 點評：證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的幾種方法要熟練掌握，在求通項時往往該數(shù)列自身就是一個等差或等比數(shù)列，或者以該數(shù)列為基礎(chǔ)構(gòu)建的新數(shù)列為等差或等比數(shù)列，要有向此方向轉(zhuǎn)化的意識.變題：已知數(shù)列的前三項與數(shù)列的前三項對應(yīng)相同，且對任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列與的通項公式；是否存在，使得，請說明理由點

8、撥：（1）左邊相當(dāng)是數(shù)列前n項和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時， （2）把看作一個函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況（1）已知N*) 時，N*) -得，求得，在中令，可得得，所以N*) 由題意，所以，數(shù)列的公差為,，N*) （2），當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以時， 又，所以，不存在N*，使得點評：數(shù)列實際上就是一種特殊的函數(shù)，結(jié)合具體的情況要有用函數(shù)思想處理問題的意識反思：在證明與數(shù)列相關(guān)的一些不等式的時候，往往會利用函數(shù)的單調(diào)性來研究17已知等比數(shù)列的前項和為，且（1）求、的值及數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）時，.而為等比數(shù)列，得，又，得，從而.又.（2）， )

9、 ,得，.18數(shù)列是首項為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和解：（1）由題意：，數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列，由，得，數(shù)列的前項和的最大值為（2）由（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時， 19數(shù)列中，且滿足,.求數(shù)列的通項公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3）,若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7即存在最大整數(shù)使對任意，均有點評：本題考查數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的知識的綜合運用.變題：若條件變?yōu)椤耙阎獢?shù)列的前項和”，求解以上問題.點評：利用前項和與通項的關(guān)系求通項公式時，要注意分和兩種情況.20已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列（I）證明：；（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：點撥：本題主要考查等比數(shù)列的定義，通項公式和求和公式等基本知識及基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力解法1：（I）證：由，有， （II）證：，是首項為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）得，于是當(dāng)時，當(dāng)時，故解法2：（I）同解法1（I）（II）證： ，又，是首項為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）的類似方法得，下同解法1