實(shí)驗(yàn)五用matlab求二元函數(shù)的極值

1、實(shí)驗(yàn)五 用matlab求二元函數(shù)的極值1計算二元函數(shù)的極值對于二元函數(shù)的極值問題，根據(jù)二元函數(shù)極值的必要和充分條件，可分為以下幾個步驟步驟1定義二元函數(shù)z = f (x, y).步驟2求解方程組fx(x，y)二Qfy (x，y) =0,得到駐點(diǎn).2:y步驟3對于每一個駐點(diǎn)(xo,yo),求出二階偏導(dǎo)數(shù)2 2A Z r zA 2，B ，C:x:xy步驟4.對于每一個駐點(diǎn)(Xo, y°)，計算判別式AC - B2,如果AC - B2 A 0，則該駐點(diǎn)是2極值點(diǎn)，當(dāng) A - 0為極小值，A : 0為極大值；如果AC - B 0，需進(jìn)一步判斷此駐點(diǎn)是否為2極值點(diǎn)；如果AC - B : 0則該

2、駐點(diǎn)不是極值點(diǎn).2計算二元函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值設(shè)函數(shù)z = f(X, y)在有界區(qū)域D上連續(xù)，則f(x，y)在D上必定有最大值和最小值。求f (x, y)在D上的最大值和最小值的一般步驟為:步驟1計算f (x, y)在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；步驟2計算f(X，y)在D的各個邊界線上的最大值和最小值；步驟3.將上述各函數(shù)值進(jìn)行比較，最終確定出在D內(nèi)的最大值和最小值。3.函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的 MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，用jacobian求Jacobian矩陣。diff(f,x,n)求函數(shù)f關(guān)于自變量x的n階導(dǎo)數(shù)。jacobian(f,x) 求向量函數(shù)f關(guān)于自變

3、量 x(x也為向量)的jacobian矩陣?？梢杂胔elp diff, help jacobian查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息例1求函數(shù)z -8xy 2, -3的極值點(diǎn)和極值.首先用diff命令求z關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)結(jié)果為ans =4*xA3-8*yans =-8*x+4*y:z 3;:z4x -8y,8x 4y.即：x:V再求解方程，求得各駐點(diǎn)的坐標(biāo)。一般方程組的符號解用solve命令，當(dāng)方程組不存在符號解時，solve將給

4、出數(shù)值解。求解方程的MATLAB代碼為：>>clear;>>x,y=solve('4*xA3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')結(jié)果有三個駐點(diǎn)，分別是 P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判別式中的二階偏導(dǎo)數(shù)：>> clear; syms x y;>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;>>A=diff( z, x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)結(jié)果為A=2*

5、xA2B =-8C =4由判別法可知P(_42)和Q(4,2)都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，而點(diǎn)Q(0,0)不是極值點(diǎn)，實(shí)際上，P( & 一2)和Q(4,2)是函數(shù)的最小值點(diǎn)。當(dāng)然，我們可以通過畫函數(shù)圖形來觀測極值點(diǎn)與鞍點(diǎn)。>>clear;>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;>>X,Y=meshgrid(x,y);>>Z=X.A4-8*X.*Y+2*Y.A2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')結(jié)

6、果如圖16.5.11<J0D -圖16.5.1函數(shù)曲面圖可見在圖6.1中不容易觀測極值點(diǎn)，這是因?yàn)閦的取值范圍為-500,100,是一幅遠(yuǎn)景圖，局部信 息丟失較多，觀測不到圖像細(xì)節(jié)可以通過畫等值線來觀測極值.>>contour(X，丫,Z，600)>>xlabel('x')，ylabel('y')結(jié)果如圖16.5.2A o-1圖16.5.2等值線圖由圖16.5.2可見,隨著圖形灰度的逐漸變淺，函數(shù)值逐漸減小，圖形中有兩個明顯的極小值點(diǎn)P( _4, _2)和Q(4,2).根據(jù)提梯度與等高線之間的關(guān)系，梯度的方向是等高線的法方向,且指向

7、函數(shù)增加的方向由此可知,極值點(diǎn)應(yīng)該有等高線環(huán)繞，而點(diǎn)Q(°，°)周圍沒有等高線環(huán)繞不是極值點(diǎn)，是鞍點(diǎn).例2求函數(shù)z = xy在條件x y = 1下的極值.構(gòu)造Lagrange函數(shù)L(x, y)二 xy (x y -1)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求L關(guān)于x, y，'的一階偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y k>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,k):L：:L：:L,y _x _x y -1,得：x:y再解方程>>clea

8、r; syms x y k>>x,y,k=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')1 1 1x , y ,得 222進(jìn)過判斷，此點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，此時函數(shù)達(dá)到最大值._2十2+ _彳例3拋物面y被平面x y z =1截成一個橢圓，求這個橢圓到原點(diǎn)的最長 與最短距離.這個問題實(shí)際上就是求函數(shù)f (x，y，z) = x2y2z2在條件z=x y及x y z -1下的最大值和最小值問題.構(gòu)造Lagra nge函數(shù)L(x，y，z) = x2y2z

9、2 (x2y2 - z)(x y z -1)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求L關(guān)于x，y，z，'，"的一階偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y z u v>>l=xA2+yA2+zA2+u*(xA2+yA2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l，x)>>diff(l，y)>>diff(l，z)>>diff(l，u)>>diff(l，v)-LLL2x 2x2y 2y d 2z -1:y.:L 2x2cLy rx y z".:x'再解方程>>cle

10、ar;>>x,y,z,u,v=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','xA2+yA2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')得 = _3 _ 5、3,-_7 J1、. 3, x = y =二 3 , z = 2 二.3.3 32上面就是Lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，求所求的條件極值點(diǎn)必在其中取到。由于所求問題存在2 2最大值與最小值（因?yàn)楹瘮?shù)在有界閉集（x，y，z）：x y =Z,X y 1，上連續(xù),從而存在最大值與最小值），故由f 3,二 3,23.)=9