幾個(gè)重要的特殊數(shù)列

1、幾個(gè)重要的特殊數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)1斐波那契數(shù)列萊昂納多斐波那契（11751250）出生于意大利比薩市，是一名聞名于歐洲的數(shù)學(xué)家，其主要的著作有算盤(pán)書(shū)、實(shí)用幾何和四藝經(jīng)等。在1202年斐波那契提出了一個(gè)非常著名的數(shù)列，即： 假設(shè)一對(duì)兔子每隔一個(gè)月生一對(duì)一雌一雄的小兔子，每對(duì)小兔子在兩個(gè)月以后也開(kāi)始生一對(duì)一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初時(shí)兔房里放一對(duì)大兔子，問(wèn)一年以后，兔房?jī)?nèi)共有多少對(duì)兔子？ 這就是非常著名的斐波那契數(shù)列問(wèn)題。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題的解決并不是很困難，可以用表示第個(gè)月初時(shí)免房里的免子的對(duì)數(shù)，則有，第個(gè)月初時(shí)，免房?jī)?nèi)的免子可以分為兩部分：一部分是第個(gè)月初就已經(jīng)在免房?jī)?nèi)的

2、免子，共有對(duì)；另一部分是第個(gè)月初時(shí)新出生的小免子，共有對(duì)，于是有。 現(xiàn)在就有了這個(gè)問(wèn)題：這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式如何去求？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先來(lái)看一種求遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法特征根法。 特征根法：設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為（），其特征方程為，其根為特征根。 （1）若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定； （2）若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定。（這個(gè)問(wèn)題的證明我們將在后面的講解中給出） 因此對(duì)于斐波那契數(shù)列，對(duì)應(yīng)的特征方程為，其特征根為： ，所以可設(shè)其通項(xiàng)公式為，

3、利用初始條件得，解得 所以。 這個(gè)數(shù)列就是著名的斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。斐波那契數(shù)列有許多生要有趣的性質(zhì)，如： 它的通項(xiàng)公式是以無(wú)理數(shù)的形式給出的，但用它計(jì)算出的每一項(xiàng)卻都是整數(shù)。斐波那契數(shù)列在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的組合數(shù)學(xué)與數(shù)論中有較為廣泛地應(yīng)用。為了方便大家學(xué)習(xí)這一數(shù)列，我們給出以下性質(zhì)：（請(qǐng)同學(xué)們自己證明） （1）斐波那契數(shù)列的前項(xiàng)和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2分群數(shù)列將給定的一個(gè)數(shù)列：按照一定的規(guī)則依順序用括號(hào)將它分組，則可以得到以組為單位的序列。如在上述數(shù)列中，我們將作為第一組

4、，將作為第二組，將作為第三組，依次類(lèi)推，第組有個(gè)元素，即可得到以組為單位的序列：（），（），（），我們通常稱(chēng)此數(shù)列為分群數(shù)列。 一般地，數(shù)列的分群數(shù)列用如下的形式表示：（），（），（），其中第1個(gè)括號(hào)稱(chēng)為第1群，第2個(gè)括號(hào)稱(chēng)為第2群，第3個(gè)括號(hào)稱(chēng)為第3群，第個(gè)括號(hào)稱(chēng)為第群，而數(shù)列稱(chēng)為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列。如果某一個(gè)元素在分群數(shù)列的第個(gè)群中，且從第個(gè)括號(hào)的左端起是第個(gè)，則稱(chēng)這個(gè)元素為第群中的第個(gè)元素。 值得注意的是一個(gè)數(shù)列可以得到不同的分群數(shù)列。如對(duì)數(shù)列分群，還可以得到下面的分群數(shù)列： 第個(gè)群中有個(gè)元素的分群數(shù)列為：（），（），（）； 第個(gè)群中有個(gè)元素的分

5、群數(shù)列為：（），（），（）等等。 3周期數(shù)列對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有成立，則稱(chēng)數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為T(mén)的周期數(shù)列。若，則稱(chēng)數(shù)列為純周期數(shù)列，若，則稱(chēng)數(shù)列為混周期數(shù)列，T的最小值稱(chēng)為最小正周期，簡(jiǎn)稱(chēng)周期。 周期數(shù)列主要有以下性質(zhì)： （1）周期數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，其值域是有限集； （2）周期數(shù)列必有最小正周期（這一點(diǎn)與周期函數(shù)不同）； （3）如果T是數(shù)列的周期，則對(duì)于任意的，也是數(shù)列的周期； （4）如果T是數(shù)列的最小正周期，M是數(shù)列的任一周期，則必有T|M，即M=（）； （5）已知數(shù)列滿足（為常數(shù)），分別為

6、的前項(xiàng)的和與積，若，則，； （6）設(shè)數(shù)列是整數(shù)數(shù)列，是某個(gè)取定大于1的自然數(shù)，若是除以后的余數(shù)，即，且，則稱(chēng)數(shù)列是關(guān)于的模數(shù)列，記作。若模數(shù)列是周期的，則稱(chēng)是關(guān)于模的周期數(shù)列。 （7）任一階齊次線性遞歸數(shù)列都是周期數(shù)列。 4階差數(shù)列對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列稱(chēng)為是原數(shù)列的一階差數(shù)列；如果，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的一階差數(shù)列，是的二階差數(shù)列；依次類(lèi)推，可以得到數(shù)列的階差數(shù)列，其中。 如果某一數(shù)列的階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱(chēng)該數(shù)列為階等差數(shù)列。其實(shí)一階等差數(shù)列就是我們通常說(shuō)的等差數(shù)列；高階等差數(shù)列是二階或二階以上等差數(shù)列的

7、統(tǒng)稱(chēng)。 高階等差數(shù)列具有以下性質(zhì)： （1）如果數(shù)列是階等差數(shù)列，則它的一階等差數(shù)列是階差數(shù)列； （2）數(shù)列是階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的次多項(xiàng)式； （3）如果數(shù)列是階等差數(shù)列，則其前項(xiàng)之和是關(guān)于的次多項(xiàng)式。 高階等差數(shù)列中最常見(jiàn)的問(wèn)題是求通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和，更深層次的問(wèn)題2是差分方程的求解。解決問(wèn)題的基本方法有： (1)逐差法：其出發(fā)點(diǎn)是； (2)待定系數(shù)法：在已知階數(shù)的等差數(shù)列中，其通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn是確定次數(shù)的多項(xiàng)式(關(guān)于n的)，先設(shè)出多項(xiàng)式的系數(shù)，再代入已知條件解方程組即得 (3)裂項(xiàng)相消法：其

8、出發(fā)點(diǎn)是an能寫(xiě)成=f(n+1)f(n) (4)化歸法：把高階等差數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問(wèn)題，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的 設(shè)數(shù)列不是等比數(shù)列：若它的一階等差數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則稱(chēng)它是一階等比數(shù)列；若它的一階差數(shù)列不是等比數(shù)列，而二階差數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則稱(chēng)這為二階等比數(shù)列。一般地說(shuō)，如果某一個(gè)數(shù)列它的階等差數(shù)列不是等比數(shù)列，而階差數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列為階等比數(shù)列，其中。 0階等比數(shù)列就是我們通常所說(shuō)的等比數(shù)列，一階及二階以上的等比數(shù)列，統(tǒng)稱(chēng)為高階等比數(shù)列。典例分析例1數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記，求所有的正整數(shù)，使得

9、能被8整除 （2005年上海競(jìng)賽試題） 解：記  注意到，可得因此，Sn+2除以8的余數(shù)，完全由Sn+1、Sn除以8的余數(shù)確定 ，故由(*)式可以算出各項(xiàng)除以8的余數(shù)依次是1,3，0,5，7,0，1,3，它是一個(gè)以6為周期的數(shù)列，從而 故當(dāng)且僅當(dāng) 例設(shè)是下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)，N的各位數(shù)字之和為，且每位數(shù)字只能取1、3或4，求證：是完全平方數(shù)，這里 分析：這道題目的證法很多，下面我們給出借助于斐波那契數(shù)列證明的兩種方法。 方法一：利用斐波那契數(shù)列作過(guò)渡證明。 設(shè)，其中且。 假設(shè)，刪去時(shí)，則

10、當(dāng)依次取1，3，4時(shí)，分別等于，故當(dāng)時(shí)，    （1） 作數(shù)列：且， 現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明下述兩式成立：                             （2）        

11、;                （3）因?yàn)楣十?dāng)時(shí)（2）（3）兩式成立。 假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，（2）（3）兩式成立，由當(dāng)時(shí)，由（1）式、的定義以及歸納假設(shè)，知  這樣（2）（3）兩式對(duì)于成立。故（2）（3）兩式對(duì)于一切自然數(shù)成立。，由（2）即可知是完全平方數(shù)。 方法二：由的遞推關(guān)系式尋求的遞推關(guān)系式，從這個(gè)遞推關(guān)系式對(duì)求與斐波那契數(shù)列的關(guān)系。 設(shè)，其中且。 假設(shè)，刪去時(shí)，則當(dāng)依次取1

12、，3，4時(shí)，分別等于，故當(dāng)時(shí)， 所以   令，則當(dāng)時(shí)，有 因?yàn)?，下用?shù)學(xué)歸納法證明，其中是斐波那契數(shù)列：且， 當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然； 設(shè)時(shí)結(jié)論成立，于是  即當(dāng)時(shí)命題成立。 從上述證明可知，對(duì)一切正整數(shù)，是完全平方數(shù)，從而也是完全平方數(shù)。 例3將等差數(shù)列:中所有能被3或5整除的數(shù)刪去后,剩下的數(shù)自小到大排成一個(gè)數(shù)列,求的值.（2006年江西省競(jìng)賽試題） 解:由于,故若是3或5的倍數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)是3或5的倍數(shù). 現(xiàn)將數(shù)軸正向分成一系列長(zhǎng)為60的區(qū)間段:(0,+?)(0,60(6

13、0,120(120,180,注意第一個(gè)區(qū)間段中含有的項(xiàng)15個(gè),即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中屬于的項(xiàng)8個(gè),為:,于是每個(gè)區(qū)間段中恰有15個(gè)的項(xiàng),8個(gè)的項(xiàng),且有,kN,1r8.由于20068×250+6,而,所以. 例4將正奇數(shù)集合從小到大按第組有個(gè)奇數(shù)進(jìn)行分組：1，3，5，7，9，11，13，15，17，問(wèn)1991位于第幾組？ 解：需要寫(xiě)出第n組的第1個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)，1991介于其中，而第n組的最后一個(gè)數(shù)為。 第n組的第一個(gè)數(shù)即第n1組的最后一個(gè)數(shù)后面的奇數(shù)，為2(n1)21+2=2(n1)

14、2+1。由題意知2(n1)2+1， 解得(n1)2且，從而且，故，即1991位于第32級(jí)中。例5設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差為，將按第組有個(gè)數(shù)的法則分組如下： ， 試問(wèn)是第幾組的第幾個(gè)數(shù)？并求出所在那組的各項(xiàng)的和。 解：設(shè)位于第組，則前組共有3+6+9+3（k1）=項(xiàng)， 所以即 解此方程組得：， 因?yàn)榍遥ǎ浴?#160;因此，是第組的第個(gè)數(shù)，其中。 因?yàn)榈诮M是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以其所有項(xiàng)的和等于，其中。 例設(shè)奇數(shù)數(shù)列：1，3，5，7，9   （1） &#

15、160;   按2，3，2，3的個(gè)數(shù)分群如下： （1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），（2） （I）試問(wèn)數(shù)列（1）中的2007是分群數(shù)列（2）中的第幾群中的第幾個(gè)元素？ （II）求第個(gè)群中的所有的元素之和。 解：（I）將數(shù)列（1）重新分群，按每個(gè)群含5個(gè)元素的方式分群： （1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19），（3） 由于2007排在（1）中的第1004個(gè)，因此2007是分群數(shù)列（3）中的第201群中的第4個(gè)元素。對(duì)照分群數(shù)列（2）與（3），容易知道（3）中的

16、第201個(gè)群的第4個(gè)元素是數(shù)列（2）中的第402個(gè)群中的第2個(gè)元素，所以2007是分群數(shù)列（2）中第402群中的第2個(gè)元素。 （II）對(duì)分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論。 若為偶數(shù)，則，則數(shù)列（2）的第群的元素是數(shù)列（3）的第群的第3，4，5個(gè)元素，由于數(shù)列（3）的第群的5個(gè)元素之和是，所以數(shù)列（2）中的第群的元素之和為； 若為奇數(shù)，設(shè)，則數(shù)列（2）的第群的元素是數(shù)列（3）的第群的第1，2個(gè)元素。由于數(shù)列（3）的第群的5個(gè)元素之和是，所以數(shù)列（2）中的第群的元素之和為。 例7數(shù)列：1，9，8，5，其中是的個(gè)位數(shù)字（）， 試證明：是4的倍數(shù)。

17、0;證明：數(shù)列中為奇或偶數(shù)時(shí)，分別記為1，0，則得數(shù)列：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；且與的奇偶性相同。由于數(shù)列，的定義及前面得到的新數(shù)列的一些項(xiàng)，可見(jiàn)是以15為周期的周期數(shù)列，即得，而，于是即在1985到2000的這16項(xiàng)中，奇數(shù)、偶數(shù)各有8項(xiàng)，由于偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1，由此命題得證。 例8已知，試證：對(duì)于一切，所有的項(xiàng)都不是4的倍數(shù)。 證明：方法一：由題設(shè)中的遞推關(guān)系，知的奇偶性只有三種情況：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶。均不是4的倍數(shù)。下面證明

18、中的所有項(xiàng)都不是4的倍數(shù)。 假設(shè)存在是4的倍數(shù)的最小下標(biāo)，則，且均為奇數(shù)，為偶數(shù)。 由于和，得所以是4的倍數(shù)，與所設(shè)的矛盾！因此命題得證。 方法二：由于該數(shù)列不是周期數(shù)列，但模4后得到的數(shù)列是周期數(shù)列，從開(kāi)頭的幾項(xiàng)1，2，7，29，22，23，49，26，17，模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)周期為3的周期數(shù)列。 設(shè)，對(duì)于（其中）成立，則，所以與奇偶性相同，所以 或 因此，將數(shù)列每一項(xiàng)模4后，余數(shù)成周期數(shù)列，周期為3，因此所有項(xiàng)都不是4的倍數(shù)。 例9一個(gè)三階等差數(shù)列an的前4項(xiàng)依次為30,72,140

19、,240，求其通項(xiàng)公式 解：由性質(zhì)(2)，an是n的三次多項(xiàng)式，可設(shè)an=An3+Bn2+Cn+D 由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得 解得： 所以an=n3+7n2+14n+8 例10對(duì)于任一實(shí)數(shù)序列A=a1,a2,a3,，定義A為序列a2-a1,a3-a2,，它的第n項(xiàng)為an+1-an，假設(shè)序列(A)的所有項(xiàng)均為1，且a19=a92=0,求a1 解：設(shè)序列A的首項(xiàng)為d,則序列A為d,d+1,d+2,它的第n項(xiàng)是d+(n-1)，因此序列A的第n項(xiàng) 顯然an是關(guān)于n的二次多項(xiàng)式，首項(xiàng)等比數(shù)列為， 

20、;由于a19=a92=0，必有，所以a1=819. 方法二：由題意知，數(shù)列A是二階等差數(shù)列，因面它的通項(xiàng)是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，故可設(shè)，由a19=a92=0,知19，92是方程的兩個(gè)根，所以 ，又已知， 從而 解得，所以，將代入求得a1=819. 針對(duì)練習(xí)：（主要是階差數(shù)列的練習(xí)）1數(shù)列an的二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，且a63=a89=10，求a51 解：法一：顯然an的二階差數(shù)列bn是公差為16的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a,則bn=a+(n-1)×16,于是an= a1+ =a1+(n-1)a+8(n-1)(n

21、-2)這是一個(gè)關(guān)于n的二次多項(xiàng)式，其中n2的系數(shù)為8，由于a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 解：法二：由題意，數(shù)列an是二階等差數(shù)列，故其通項(xiàng)是n的二次多項(xiàng)式，又a63=a89=10，故可設(shè)an=A(n-63)(n-89)+10 由于an是二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即a3-2a2+a1=16，所以 A(3-63)(3-89)+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)×(1-89)+10

22、=16 解得：A=8 an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 2求和：Sn=1×3×22+2×4×32+n(n+2)(n+1)2 解：Sn是是數(shù)列n(n+2)(n+1)2的前n項(xiàng)和， 因?yàn)閍n=n(n+2)(n+1)2是關(guān)于n的四次多項(xiàng)式，所以an是四階等差數(shù)列，于是Sn是關(guān)于n的五次多項(xiàng)式 k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可轉(zhuǎn)化為求 Kn=和Tn= k(

23、k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)，所以 Kn= Tn= 從而Sn=Kn-2Tn= 3已知整數(shù)列an適合條件： (1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4, (2)2a2=a1+a3-2 (3)a5-a4=9,a1=1 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 解：設(shè)bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1 =Cn-1 (n=2,3,4,) 所以 Cn是常數(shù)列 由條件(2)得C1=2,則an是二階等差數(shù)列 因此an=a1+ 由條件(3)知b4=9，從而b1=3，于是an=n2  4求