全程復(fù)習(xí)方略文理通用高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系精品試題

1、【全程復(fù)習(xí)方略】（文理通用）2015屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系精品試題(45分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=()A.-2B.-C.-4D.-【解析】選D.由y=2x2得x2=y,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,取直線y=,則其與y=2x2交于A,B,所以x1x2=·=-.【方法技巧】與動(dòng)直線相關(guān)值的求解技巧解決動(dòng)直線與圓錐曲線相交的有關(guān)值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2013·紹興模擬)無(wú)論m為任何數(shù),直線l:y=x+m與雙曲線C:-

2、=1(b>0)恒有公共點(diǎn),則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()A.(1,+)B.(,+)C.(,+)D.(2,+)【解析】選B.直線l:y=x+m的斜率等于1,過(guò)點(diǎn)(0,m),雙曲線C:-=1(b>0)的兩條漸近線的斜率分別為±,由題意得>1,即b2>2,故雙曲線C的離心率e=>=,故選B.【加固訓(xùn)練】雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),l1,l2為其漸近線,F為右焦點(diǎn),過(guò)F作ll2且l交雙曲線C于R,交l1于M,若=,且,則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,B.(,)C.(,)D.(,+)【解析】選B.由題意得令l1:y=-x,

3、l2:y=x,l:y=(x-c),由l交雙曲線C于R,令解此方程組得R,故有=,由l交l1于M,令解此方程組得M,故有=,由=,得=,所以=-,整理得a2=(1-)c2,即e2=,又,所以e2(2,3),即e(,).3.已知橢圓+=1的焦點(diǎn)是F1,F2,如果橢圓上一點(diǎn)P滿足PF1PF2,則下面結(jié)論正確的是()A.P點(diǎn)有兩個(gè)B.P點(diǎn)有四個(gè)C.P點(diǎn)不一定存在D.P點(diǎn)一定不存在【解析】選D.設(shè)橢圓的基本量為a,b,c,則a=5,b=4,c=3.以F1F2為直徑構(gòu)造圓,可知圓的半徑r=c=3<4=b,即圓與橢圓不可能有交點(diǎn),所以P點(diǎn)一定不存在.4.(2013·衢州模擬)已知任意kR,直

4、線y-kx-1=0與橢圓+=1(m>0)恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)【解析】選C.直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)(0,1),只要(0,1)在橢圓+=1上或其內(nèi)部即可.從而m1,又因?yàn)闄E圓+=1中m5,所以m的取值范圍是1,5)(5,+).【誤區(qū)警示】本題易誤選D,根本原因是誤認(rèn)為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,得1m<5,而忽視其焦點(diǎn)可能在y軸上.5.已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A,B,則|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【思路點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化為過(guò)A,B兩點(diǎn)且與x+y=0垂直的直線與拋物線相交后求弦

5、長(zhǎng)問(wèn)題.【解析】選C.設(shè)直線AB的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中點(diǎn)M.又M在直線x+y=0上,可求出b=1,則|AB|=·=3.6.直線l:y=x+3與曲線-=1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【解析】選D.當(dāng)x0時(shí),曲線為-=1;當(dāng)x<0時(shí),曲線為+=1,直線l:y=x+3過(guò)(0,3),與雙曲線-=1(x0)有2個(gè)交點(diǎn),顯然l與半橢圓+=1(x<0)有1個(gè)交點(diǎn),所以共3個(gè)交點(diǎn).7.(2013·衡水模擬)若雙曲線-=1(a>0,b>0)與橢圓+=1(m>b>

6、0)的離心率之積等于1,則以a,b,m為邊長(zhǎng)的三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形【解析】選B.設(shè)雙曲線離心率為e1,橢圓離心率為e2,所以e1=,e2=,故e1·e2=1(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形.8.(2014·杭州模擬)已知F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,)B.(,)C.(,2)D

7、.(2,+)【解析】選D.如圖所示,過(guò)點(diǎn)F2(c,0)且與漸近線y=x平行的直線為y=(x-c).與另一條漸近線y=-x聯(lián)立解得即點(diǎn)M,所以|OM|=.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外,所以|OM|>c,所以>c,解得>2,所以雙曲線離心率e=>2,故雙曲線離心率的取值范圍是(2,+).【加固訓(xùn)練】已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為其右支上一點(diǎn),F1PF2=60°,且=2,若|PF1|,|F1F2|2,|PF2|成等差數(shù)列,則該雙曲線的離心率為()A.B.2C.2D.【解析】選A.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),雙曲線方程為-=

8、1(a>0,b>0),因此有m-n=2a,|F1F2|=2c,=·m·n·=2,m·n=8.又m+n=×4c2=2c2(m+n)2=4c4.由余弦定理cosF1PF2=m2+n2=8+4c2(m+n)2=4c2+24.兩式聯(lián)立解得c2=3c=,所以2a=2,a=1,e=.二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2014·湖州模擬)設(shè)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,4)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),則|+|=.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知x1+x2=2,且=4y1

9、,=4y2,兩式相減整理得,=,所以直線AB的方程為x-2y+7=0.將x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由拋物線定義得|+|=y1+y2+2=10.答案:1010.已知兩定點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),若直線上存在點(diǎn)P,使得|PM|-|PN|=2,則稱該直線為“A型直線”,給出下列直線:y=x+1;y=x+2;y=-x+3;y=-2x.其中是“A型直線”的序號(hào)是.【解析】由條件知考慮給出直線與雙曲線x2-=1右支的交點(diǎn)情況,作圖易知直線與雙曲線右支有交點(diǎn),故填.答案:11.(2014·無(wú)錫模擬)若直線mx+ny=4與O:x2+y2=4

10、沒有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【解析】由題意知:>2,即<2,所以點(diǎn)P(m,n)在橢圓+=1的內(nèi)部,故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè).答案:212.(2013·浙江高考)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P(-1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),若|FQ|=2,則直線l的斜率等于.【解析】設(shè)直線l:my=x+1,代入y2=4x得y2-4my+4=0,則yA+yB=4m.因?yàn)镼為線段AB的中點(diǎn),則yQ=2m,xQ=myQ-1=2m2-1,故Q(2m2-1,2m),又|FQ|2=4,所以(2m2-2)2+(2m)2=4m4-m2

11、=0,所以m=±1.答案:±1三、解答題(13題12分,1415題各14分)13.(2013·廈門模擬)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a2與b2的等差中項(xiàng)為.(1)求橢圓E的方程.(2)A,B是橢圓E上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(t,0),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】(1)由題意得解得:即橢圓E的方程為+=1.(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1x2.又交點(diǎn)為P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+=(x2-t)2+,所以t

12、=+因?yàn)锳,B在橢圓上,所以=4-,=4-.將上式代入,得t=.又因?yàn)?3x13,-3x23,且x1x2,所以-6<x1+x2<6,則-<t<,即實(shí)數(shù)t的取值范圍是.【一題多解】(1)同原題.(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1x2.()若y1=y2,則線段AB的垂直平分線方程為x=0,即t=0.()若y1y2,則線段AB的垂直平分線方程為y-=-.因?yàn)镻(t,0)在直線上,所以t=+,因?yàn)锳,B在橢圓上,所以=4-,=4-.將上式代入,得t=.又因?yàn)?3x13,-3x23,且x1x2,所

13、以-6<x1+x2<6,則-<t<.綜合()()得實(shí)數(shù)t的取值范圍是.14.(2013·安徽高考)設(shè)橢圓E:+=1的焦點(diǎn)在x軸上.(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程.(2)設(shè)F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,并且F1PF1Q,證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)P在某定直線上.【解析】(1)因?yàn)榻咕酁?,所以2a2-1=,解得a2=,從而橢圓E的方程為+=1.(2)設(shè)P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,由題設(shè)知x0c,則直線F1P的斜率=,直線F2P的斜率=,故直線F2P的方程為y=(x-c

14、),當(dāng)x=0時(shí),y=,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,因此直線F1Q的斜率=.由于F1PF1Q,所以·=·=-1,化簡(jiǎn)得=-(2a2-1),將代入橢圓E的方程,由于點(diǎn)P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點(diǎn)P在定直線x+y=1上.15.(能力挑戰(zhàn)題)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),且可知左焦點(diǎn)為F(-2,0),從而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12.故橢圓C的方程為+=1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=x+t(t0