談隨機(jī)利率下的比例賠付保險模型

1、    談隨機(jī)利率下的比例賠付保險模型         來源：歲月聯(lián)盟    作者：遲國泰    時間：2010-06-27                    關(guān)鍵詞：隨機(jī)利率；比例賠付；保險模型

2、；保險管理  論文摘要：本文在傳統(tǒng)精算學(xué)的基礎(chǔ)上，對隨機(jī)利率下的財產(chǎn)險中的比例賠付額(賠付額與時間相關(guān))進(jìn)行了分析。了隨機(jī)利率下的比例賠付保險的純保費和責(zé)任準(zhǔn)備金，以及相關(guān)公司的風(fēng)險。本模型的特點是將隨機(jī)利率引入比例賠付保險，這樣計算的純保費等各項數(shù)據(jù)更加貼近實際；其次本模型中的賠付額與時間相關(guān)，這樣險種更加靈活，具有吸引力。本文對于保險公司的財產(chǎn)險實務(wù)具有價值。    引言    在保險實務(wù)中，利率并不是固定不變的，而是具有一定的隨機(jī)性。尤其在長期的行為中，采用固定利率可能會帶來預(yù)期與實際之間的較大偏差，隨機(jī)利率(random in

3、terest rate)在保險精算研究中已經(jīng)成為熱點問題。隨著對精算理論研究的深入，利率隨機(jī)性的研究在近年來越來越受到重視。  1976年，Boyle考慮了壽險與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況一“雙隨機(jī)性”。相應(yīng)的隨機(jī)利率的一般理論由Panjer與Bellhouse在二十世紀(jì)八十年代建立。Beekman與FueIIing在1991年得到了利率由O-U過程和wiener過程建模的某些年金的二階矩；1993年又得到了利率由O-U過程和wiener過程建模的終身壽險給付現(xiàn)值的前二階矩。  本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，將隨機(jī)利率引入了保險模型中，討論了在死亡率為DeMoiv

4、re分布(參見2)下的比例賠付問題，對財產(chǎn)險實務(wù)具有參考價值。  順便指出；當(dāng)死亡率服從Makeham分布時的情況，隨機(jī)積分通常不可積，在這種情況下，則只能用數(shù)值積分來做。    1、基本原理    1.1精算現(xiàn)值與精算等價原理  保險實務(wù)中，純保費與理賠額的發(fā)生通常不會在同一個時間點上，應(yīng)該將兩者放在同一個時間點上進(jìn)行比較。一般將純保費與理賠額折現(xiàn)到保單(policy)生效這個點上。這樣，對純保費和理賠額的比較就不能單純的看其數(shù)額的大小，還要看資金的時間價值，保險標(biāo)的物的死亡時間。為了解決這個問題，于是我們引入精算現(xiàn)值。精算現(xiàn)值與通

5、常的資金現(xiàn)值的不同之處在于前者考慮了標(biāo)的物死亡概率。收入(純保費)與支出(理賠額)在保單生效時的精算現(xiàn)值相等就是所謂的“精算等價原理”，純保費就是運用精算等價原理來計算的。  1.2布朗運動與隨機(jī)利率模型  傳統(tǒng)的精算理論都是假定利率是固定的。這往往與事實不符，因為利率是具有隨機(jī)性的。在保險實踐中，由于利率的隨機(jī)變動產(chǎn)生的風(fēng)險，對保險公司而言是相當(dāng)大的。  根據(jù)概率論中的大數(shù)定律，由于標(biāo)的物“死亡”的隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險可以通過出售大量的保單來分散，但由于利率的隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險則不能通過這種方式來分散，且利率風(fēng)險只存在于保險公司一方。嚴(yán)重時，甚至可能導(dǎo)致保險公司破產(chǎn)。

6、    2、隨機(jī)利率下的比例賠付保險模型    2.1模型描述  本文所述的保險和約主要應(yīng)用于財產(chǎn)保險。模型如下：投保人對一種標(biāo)的物進(jìn)行投保，若標(biāo)的物在一個指定的時間內(nèi)“死亡”，保險公司會在死亡時刻提供一個與標(biāo)的物價值成比例的賠付。而投保人在這個指定時期內(nèi)以連續(xù)年金的方式支付其保費。  2.2純保費的計算  在上述的精算模型中，設(shè)標(biāo)的物(轎車)在t時刻(0t5)報廢，在t時刻的賠付額的現(xiàn)值為Z1，投保人所繳納的保費的現(xiàn)值為POZ2。  2.3純保費責(zé)任準(zhǔn)備金  由于死亡率隨著標(biāo)的物“年齡”的增長而增大，如

7、果各年支付各年的死亡給付成本，則死亡給付成本將逐年增加，使保險公司到保險末期難以承受高額賠付。  因此在時務(wù)中通常采用均衡純保費將給付成本在整個繳費期上平攤。在均衡純保費方式下，保險前期各年度的純保費支付死亡成本有余，而到了保險末期則不足以支付。  前期的保費的剩余不是保險公司的利潤，而是其對投保人的一種負(fù)債，將會在保險末期給付。    3、實例與分析    考慮標(biāo)的物價值P10(單位：萬元)，則P02，假設(shè)0.05，=0.4，則a00.03，a10.22，a20.19，b0e，b10.22，代入公式(8)(14)，通過計算機(jī)編程計算

8、可得計算結(jié)果。  從計算結(jié)果中，我們可以看到責(zé)任準(zhǔn)備金是隨著時間的增加而不斷增大的，這是因為隨著時間的推移保險公司賠付的概率不斷增大，則需要的準(zhǔn)備金就越多。同樣，隨著賠償越來越確定，公司的損失風(fēng)險就會不斷減小。    4、結(jié)論    (1)本文在傳統(tǒng)精算學(xué)的基礎(chǔ)上，對隨機(jī)利率下的財產(chǎn)險中的比例賠付額(賠付額與時間相關(guān))進(jìn)行了分析，計算了隨機(jī)利率下的比例賠付保險的純保費和責(zé)任準(zhǔn)備金，以及相關(guān)公司的風(fēng)險。  (2)根據(jù)精算等價原理，將隨機(jī)利率引入比例賠付保險，建立的隨機(jī)利率下的比例賠付保險模型。傳統(tǒng)的精算理論都是假定利率是固定的，這往往與事實不符。在保險實踐中，由于利率的隨機(jī)變動產(chǎn)生的風(fēng)險，對保險公司而言是相當(dāng)大的。應(yīng)用本模型進(jìn)行保險決策，則使計算的純保費等各項數(shù)據(jù)更加貼近實際。  (3)模型建立了“責(zé)任準(zhǔn)備金”的概念和計算公式，使保險公司將前期的剩余提純以備末期使用。解決了由于死亡率隨著標(biāo)的物“年齡”的增長而增大，死亡給付成本將逐年增加，使保險公司到保險末期難以承受高額賠付的問題。  (4)責(zé)任準(zhǔn)備金隨著時間的