第二章 離散型隨機(jī)變量

1、第二章 離散型隨機(jī)變量2.1 下列給出的是不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（3）,所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（4）為自然數(shù)，且，所以它是隨機(jī)變量的分布列。2.2 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：，求(1);(2) ； (3) 。解 (1) ;(2) ;(3) .2.3 解 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為。求的值。解 ，所以。2.4 隨機(jī)變量只取正整數(shù)，且與成反比，求的分布列。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。2.5 一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球、個(gè)黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時(shí)停止。設(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，

2、求的分布列。解 設(shè)“”表示前次取出白球，第次取出黑球，則的分布列為：2.6 設(shè)某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第次為首次測到合格品，求的分布列。解 2.7 一個(gè)口袋中有5個(gè)同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5，從中同時(shí)取出3只球，以表示取出球的取大號碼，求的分布列。解 2.8 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求的分布列。解，其中。2.9 兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時(shí)為止，如果第一名隊(duì)員投中的概率為0.4,第二名隊(duì)員投中的概率為0.6，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。解 設(shè)，表示第二名隊(duì)員的投籃次數(shù)，則+；

3、。2.10 設(shè)隨機(jī)變量服從普哇松分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。2.11 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.999。解 設(shè)為該種商品當(dāng)月銷售數(shù)，為該種商品每月進(jìn)貨數(shù)，則。查普哇松分布的數(shù)值表，得。2.12 如果在時(shí)間（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.2，求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。解 設(shè)為時(shí)間內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，則 時(shí)，所以；時(shí)，因而。2.13 一本500頁的書共有500個(gè)錯(cuò)誤，每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上（每

4、一頁的印刷符號超過500個(gè)）。試求指定的一頁上至少有三個(gè)錯(cuò)誤的概率。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個(gè)錯(cuò)誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于214 某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，若要以不小于0.9的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個(gè)產(chǎn)品，其中有個(gè)次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。2.15 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為： 求邊際分布列。解 。2.17 在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設(shè)一

5、、二、三等品的件數(shù)分別為、，求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解 ， ，； ，； ，。2.18 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。2.21 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，又，定義，問取什么值時(shí)與獨(dú)立？解=而，由得 2.22 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，定義，證明兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。 證明因?yàn)樗韵嗷オ?dú)立。同理與相互獨(dú)立。但是，因而不相互獨(dú)立。2.23設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且只取值1、2、3、4、5、6，證明不服從均勻分（即不可能有。）證明 設(shè)。若，則 將（2）式減去（1）式，得：，于是。同理。因此，與（3）式矛盾。2.24 已

6、知隨機(jī)變量的分布列為，求與的分布列。解 分布列為，；的分布列為，。2.25 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，求的分布列。解 , , , 2.26 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為： ， ：，且相互獨(dú)立，求的分布列。解 2.27 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布：與，求的分布列。解 設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中），而相互獨(dú)立，所以為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。2.28 設(shè)為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為 求的分布列。解2.29 設(shè)隨機(jī)變量具有分布：，求、及。解， +4+4=272.30設(shè)隨機(jī)變量具有分布：，求及。解 ， 2.

7、31設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：，問是否有數(shù)學(xué)期望？解 ，因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散，所以沒有數(shù)學(xué)期望。2.32 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個(gè)秤盤中），物品的重量以相同的概率為1克、2克、10克，現(xiàn)有三組砝碼： （甲組）1，2，2，5，10（克） （乙組）1，2，3，4，10（克） （丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時(shí)所用的平均砝碼數(shù)最少？解 設(shè)、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時(shí)所用的砝碼數(shù)，則有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是

8、所以，用乙組砝碼秤重時(shí)所用的平均砝碼數(shù)最少。 2.33某個(gè)邊長為500米的正方形場地，用航空測量法測得邊長的誤差為：0米的概率是0.49, 米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求場地面積的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)場地面積為，邊長的誤差為米，則且所以2.34 對三架儀器進(jìn)行檢驗(yàn)，各儀器發(fā)生故障是獨(dú)立的，且概率分別為、。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學(xué)+。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則，所以+。2.37 如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進(jìn)行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)，則的分布列為，因而。設(shè)為查得的不合格品數(shù)，則，所以。2.38 從數(shù)字0

9、，1，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)為所選兩個(gè)數(shù)字之差的絕對值，則，于是。2.39 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個(gè)位置上，則稱有一個(gè)匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)則的分布列為：于是，設(shè)匹配數(shù)為，則，因而。2.40 設(shè)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，證明：(1) ;(2) 證明 (1)由于存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而。(2) 存在，所以級數(shù)也絕對收斂，從而2.41 在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為，試驗(yàn)進(jìn)行到成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)停止，求平均試驗(yàn)次數(shù)。解 設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為，則，利用上題的結(jié)論，+=1+2.42 從一個(gè)裝有個(gè)白球、個(gè)黑

10、球的袋中摸球，直至摸到白球時(shí)停止。如果(1)摸球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解 略。2.43 對一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第件時(shí)已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認(rèn)為每次檢查到不合格品的概率都是，問平均每批要檢查多少件？解 略。2.44 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個(gè)產(chǎn)品為不合格品的概率，當(dāng)生產(chǎn)出個(gè)不合格品時(shí)即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解 設(shè)第個(gè)不合格出現(xiàn)后到第個(gè)不合格品出現(xiàn)時(shí)的產(chǎn)品數(shù)為，又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為，則因獨(dú)立同分布，由此得：，。，。2.46 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且方差存在，則有（由此并可得）證明 2.47 在整數(shù)0到9中先后按下列兩種情況任取兩個(gè)數(shù)，記為和：(1)第一個(gè)數(shù)取后放回，再取第二個(gè)數(shù)；(2)第一個(gè)數(shù)取后不放回就取第二個(gè)數(shù)，求在的條件下的分布列。解 (1) .(2) , 2.49 在次貝努里試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的