復(fù)習(xí)資料高等數(shù)學(xué)下

1、高等數(shù)學(xué)（下）第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、基本概念1多元函數(shù)（1）知道多元函數(shù)的定義元函數(shù)：（2）會求二元函數(shù)的定義域1°：分母不為；2°：真數(shù)大于；3°：開偶次方數(shù)不小于；4°：或中（3）會對二元函數(shù)作幾何解釋2二重極限這里動點是沿任意路線趨于定點的（1） 理解二重極限的定義（2） 一元函數(shù)中極限的運算法則對二重極限也適用，會求二重極限；（3） 會證二元函數(shù)的極限不存在（主要用沿不同路徑得不同結(jié)果的方法）3多元函數(shù)的連續(xù)性（1）理解定義：（2）知道一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論；（3）知道多元函數(shù)在閉區(qū)域上的最大最小值定理、介值定理。二、

2、偏導(dǎo)數(shù)與全微分1偏導(dǎo)數(shù)（1）理解偏導(dǎo)數(shù)的定義（二元函數(shù)）（2）知道偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系（3）求偏導(dǎo)數(shù)法則、公式同一元函數(shù)2高階偏導(dǎo)數(shù)（1）理解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義（2）注意記號與求導(dǎo)順序問題（3）二元函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，求導(dǎo)次序無關(guān)：3全微分（1）知道全微分的定義若可表示成，則在點處可微；稱為此函數(shù)在點處的全微分，記為（2）知道二元函數(shù)全微分存在的充分必要條件：函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)必存在；（，；）偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微（是否為）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分必存在（3）求方向?qū)?shù)、梯度三、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）（2）對于函數(shù)只有一個中間變量的二元函數(shù)或

3、多個中間變量的一元函數(shù)（全導(dǎo)數(shù)）的求導(dǎo)法要熟練掌握（3）掌握多元復(fù)合函數(shù)（主要是兩個中間變量的二元函數(shù)）的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）一個方程的情形若確定了，則；若確定了，則，（2）方程組的情形若能確定，則由可解出與；若確定了，像上邊一樣，可以求出，及，四、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1幾何應(yīng)用（1）空間曲線的切線與法平面方程1°：曲線：，時，上相應(yīng)點處的切線方程：法平面方程：2°：曲線：，則點處的切線方程：法平面方程：3°：曲線：，則點處的切線方程為法平面方程：（2）空間曲面的切平面與法線方程1°：曲面：，點處的切平面方程為：法線方程：2°

4、;：曲面：，在點處的切平面方程為：法線方程為：2極值應(yīng)用（1）求一個多元函數(shù)的極值（如）：先用必要條件，求出全部駐點，再用充分條件求出駐點處的，與；，時有極大值，時有極小值；時無極值（2）求最值1°：純數(shù)學(xué)式子時，區(qū)域內(nèi)駐點處的函數(shù)值與區(qū)域邊界上的最值比較；2°：有實際意義的最值問題（3）條件極值求一個多元函數(shù)在一個或個條件下的極值時，用拉格朗日乘數(shù)法如：在條件與下的極值時，取解方程組，求出，則就是可能的極值點；再依具體問題就可判定為極大（或極?。┲迭c第九章 重積分一、 二重積分1 定義： 2 幾何意義：當(dāng)時，表示以曲面為頂，以為底的曲頂柱體體積物理意義：以為密度的平面薄片

5、的質(zhì)量3 性質(zhì)1°：2°：3°：若，則4°：時，5°：若在上，則6°：若在閉區(qū)域上連續(xù)，且，則7°：（中值定理）若在閉區(qū)域上連續(xù)，則必有點，使4 二重積分的計算法（1）在直角坐標(biāo)系中1°：若積分區(qū)域為型區(qū)域：則化為先后的二次積分：2°：若積分區(qū)域為型區(qū)域：則化為先后的二次積分：（2）在極坐標(biāo)系中,1°：極點在外：則有2°：極點在的邊界上：則有3°：極點在內(nèi)：則有在計算二重積分時要注意：1°：選系：是直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系；若積分區(qū)域是圓域、環(huán)域或它們的一部分；被積式

6、含有或兩個積分變量之比、時，一般可選擇極坐標(biāo)系2°：選序：當(dāng)選用直角坐標(biāo)系時，要考慮積分次序，選錯次序會出現(xiàn)復(fù)雜或根本積不出的情況（二次積分換次序）3°：積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性要正確配合，如：關(guān)于軸（或軸）對稱時，應(yīng)配合被積函數(shù)對于（或）的奇偶性4°：若，積分區(qū)域:,則二重積分可化為兩個定積分的乘積二、 三重積分1 定義：2 物理意義：以為密度的空間體的質(zhì)量3 性質(zhì)（與二重積分類同）4 三重積分的計算法（1）在直角坐標(biāo)系中1°：若為：此處為在面上的投影，與分別為的下界面和上界面方程，則2°：若為：此處為用平面截時所得的截面面積，則（

7、2）在柱面坐標(biāo)系下若為：，則（3）在球面坐標(biāo)系中若為：，則注：1°：柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)對普通班不要求；2°：三重積分的計算也有選系、選序的問題；3°：積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性要正確配合；4°：若是長方體：，而，則三重積分化為三個定積分的乘積三、 重積分的應(yīng)用1 幾何應(yīng)用（1） 求面積：（2） 求體積：，（3） 求曲面面積：若：，在面上的投影為，則的面積為：2 物理應(yīng)用（1） 求質(zhì)量：；（2） 求重心：；在均勻情況下，重心公式可變形為：；同理，可得到空間體的重心坐標(biāo)（3） 求轉(zhuǎn)動慣量：；同理可有空間體對坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量第十章 曲線積分與曲

8、面積分一、曲線積分1定義：（1）第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：（）物理意義：曲線的質(zhì)量（2）第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）：物理意義：變力沿曲線所作的功2性質(zhì)：（1）（）（2）第一類：第二類：（3）兩類曲線積分的聯(lián)系其中，是曲線上點處切線的方向余弦（）3計算法（化線積分為定積分）：，則注意：為時，取為，4格林公式及其應(yīng)用（1）格林公式：注意：1°：，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；2°：是單連域的正向邊界曲線；3°：若為多連域，先引輔助線，后再用格林公式（2）平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)，在單連域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為內(nèi)任意兩點，則以下四個命題等價：1

9、76;：與路徑無關(guān)；2°：對于內(nèi)任意閉曲線有；3°：在內(nèi)，為某函數(shù)的全微分；4°：在內(nèi)處處成立（3°中有：）二、曲面積分1定義：（1）第一類曲面積分（對面積的曲面積分）物理意義：曲面的質(zhì)量。時，（2）第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）2性質(zhì)（1）（2）第一類：第二類：（3）兩類曲面積分的聯(lián)系其中：，是曲面上點處法線的方向余弦3計算法（化曲面積分為二重積分）第一類：若曲面：，在面上的投影為，則等等第二類：4高斯公式及其應(yīng)用設(shè)空間區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有注：1°：是的邊界曲面的外側(cè)；2°：非封閉曲

10、面，必須添加輔助曲面，先封閉后再用公式5通量與散度、環(huán)流量與旋度（普通班不要求）通量：散度：環(huán)流量：旋度：第十一章 無窮級數(shù)一、 常數(shù)項級數(shù)1 基本概念（1） 定義：形如的無窮和式，其中每一項都是常數(shù)（2） 部分和：（3） 常數(shù)項級數(shù)收斂（發(fā)散）存在（不存在）（4） 和（存在時）注：發(fā)散級數(shù)無和（5） 余項：當(dāng)時，稱級數(shù)為原級數(shù)第項后的余項2 基本性質(zhì)（1） 與斂散性相同，且若，則；（2） 若，則推論1：若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散；推論2：若與都發(fā)散，則不一定發(fā)散（3） 在級數(shù)前面去掉或添加、或改變有限項后所得級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同（收斂級數(shù)的和改變）（4） 收斂級數(shù)加括號（按規(guī)則）所得級數(shù)仍收

11、斂于原來的和；（收斂級數(shù)去括號不一定收斂）（5） 若級數(shù)收斂，則必有（若，則必發(fā)散）3 幾個重要的常數(shù)項級數(shù)（1） 等比級數(shù)；（2） 調(diào)和級數(shù)發(fā)散；（3） 級數(shù)（），時收斂，時發(fā)散）；（4） 倒階乘級數(shù)收斂 4 常數(shù)項級數(shù)的審斂法（1） 正項級數(shù)的審斂法設(shè)與均為正項級數(shù)1°：收斂有界；2°：比較法若收斂（發(fā)散），且，（），則收斂（發(fā)散）推論1：若，則與具有相同的斂散性推論2：若，則發(fā)散；若（），則收斂3°：比值法若，則有4°：根值法若，則當(dāng)（2） 交錯級數(shù)的審斂法萊布尼茲定理：若交錯級數(shù)（）滿足： 1°：2°：則收斂，且其和， （3）

12、 任意項級數(shù)的審斂法1°：若，則發(fā)散；2°：若收斂，則絕對收斂；3°：若發(fā)散， 收斂，則條件收斂二、 函數(shù)項級數(shù)1 基本概念（1） 定義：形如；（2） 收斂點、發(fā)散點、收斂域、發(fā)散域；（3） 部分和：；（4） 和函數(shù)：在收斂域上2 冪級數(shù)（1） 定義：，當(dāng)時有：；（2） 性質(zhì)1°：若在處收斂，則當(dāng)時，絕對收斂（發(fā)散）； 若在處發(fā)散，則當(dāng)時，發(fā)散2°：冪級數(shù)的收斂域，除端點外是關(guān)于對稱的區(qū)間，兩端點是否屬于收斂域要分別檢驗3°：在的收斂區(qū)間內(nèi)，此級數(shù)的和函數(shù)連續(xù)（3） 收斂區(qū)間的求法1°：不缺項時，先求，得收斂半徑；再驗證兩端

13、點，則收斂域收斂的端點2°：缺項時，先求，解不等式得的所屬區(qū)間，再驗證端點，則收斂域收斂的端點3 冪級數(shù)的運算（1） 冪級數(shù)在它們收斂區(qū)間的公共部分可以進(jìn)行加、減、乘、除運算（2） 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以進(jìn)行逐項微分與逐項積分運算，即，則有：，；，4 函數(shù)展開為冪級數(shù)（1） 充要條件：若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則（2） 唯一性：若在某區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)，則其系數(shù)，（）（3） 展開法：1°：直接法（見教材P218）2°：間接法利用幾個函數(shù)的展開式展開，或，5 傅立葉級數(shù)（1） 定義：如果三角級數(shù)中的系數(shù)，是由尤拉傅立葉公式給出，即，；， 則稱這樣的三角

14、級數(shù)為的傅立葉級數(shù) （2） 收斂定理設(shè)是周期為的周期函數(shù)，如果它在一個周期內(nèi)滿足：連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；單調(diào)或只有有限個極值點，則的傅立葉級數(shù)（3） 函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的方法： 1°：求的傅立葉系數(shù)；2°：將1°中的系數(shù)代入三角級數(shù)式；3°：寫出上式成立的區(qū)間（4） 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)稱（）為正弦級數(shù)；稱（）為余弦級數(shù)若在上，為奇函數(shù)，則有，其正弦級數(shù)為，（）；若在上，為偶函數(shù)，則有，其余弦級數(shù)為，（）；若是定義在上的函數(shù)，要求其正弦（余弦）級數(shù)，可先對進(jìn)行奇（偶）延拓；奇延拓：偶延拓：對于周期為的函數(shù)的展開情況與上邊類似（略）第十二章 微分方

15、程一、 基本概念1 微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程2 微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫微分方程的階3 微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)叫微分方程解；若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫微分方程的通解；確定了通解中任意常數(shù)以后所得的解叫微分方程的特解4 初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的條件叫初始條件二、 一階微分方程的解法一階微分方程的形式通常記為：或或常見一階微分方程有：1 可分離變量微分方程能化成的一階微分方程叫可分離變量的微分方程通常有或，分離變量，兩邊積分可得通解2 齊次微分方程一階方程中的可表示成的函數(shù)，

16、即，則稱此方程為齊次方程解法：令，則代入原方程便得可分離變量微分方程3 一階線性微分方程形如或的方程叫一階線性非齊次微分方程。時，為一階線性齊次微分方程的通解為用常量變易法得的通解為：4 貝努利方程形如（）的方程叫貝努利方程解法：兩邊同除以，令，便得一階線性非齊次微分方程5 全微分方程（普通班不要求）若方程滿足，即為某二元函數(shù)的全微分，則稱此方程為全微分方程其通解為：或三、 可降階的高階微分方程1 型接連次積分，可得此方程的含有個相互獨立的任意常數(shù)的通解2 型令，則，代入原方程，并依次解兩個一階微分方程便可得此方程的通解3 型令，則，代入原方程，得到一階微分方程解此一階微分方程，得到，然后分離變量并積分便可得此方程的通解四、 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) （1） （2）稱（1）為二階線性齊次微分方程，稱（2）為二階線性非齊次微分方程1°：若，是（1）的兩個解，則線性組合也是（1）的解2°：若，是（1）的兩個線性無關(guān)的解，則就是（1）的通解3°：若，是（2）的兩個解，則就是（1）的一個解4°：若是（1）的通解，是（2）的一個特解，則就是（2）的通解5°：若（2）中的，且是的特解， 是的特解，則