彈簧與物塊的分離問(wèn)題教師

1、“彈簧與物塊的分離”模型模型建構(gòu)：兩個(gè)物體與彈簧組成的系統(tǒng)。兩個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)就會(huì)分開，那么這個(gè)位置就是物體間的分離點(diǎn)。【模型】彈簧與物塊的分離【特點(diǎn)】都要建立動(dòng)力學(xué)方程；分離條件是：相互作用的彈力FN=0這個(gè)問(wèn)題可以分成兩類“模型”：圖1ABO【模型1】水平面上“彈簧與木塊的分離”模型如圖1，B與彈簧相連，而A、B是緊靠在一起的兩個(gè)物體，當(dāng)彈簧原來(lái)處于壓縮狀態(tài)，如果地面是光滑的，則物體A、B在向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中A、B何時(shí)分離。解析物體應(yīng)在彈簧的原長(zhǎng)處分離。由于水平面光滑，當(dāng)彈簧從壓縮狀態(tài)回到自然伸長(zhǎng)位置時(shí)，一直加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它剛剛回到平衡位置時(shí)，物塊B受的彈力為阻力，開始減速。而物塊A不

2、受外力做勻速直線運(yùn)動(dòng)。vAvB此時(shí)A、B分離?！倔w驗(yàn)1】但是如果物體與地面之間是不光滑的，題目條件如模型1。試討論分離條件。解析假設(shè)A、B在某一位置分離，此時(shí)刻兩物體的相互作用力為零FAB=0同時(shí)，兩物體的加速度相同。則；所以討論：（1）如果等于或均為零；x等于零。兩物體在O點(diǎn)分離；（2）如果大于，x大于零，兩物體在O點(diǎn)的右側(cè)分離；（3）如果小于，x大于零，兩物體的分離點(diǎn)在O點(diǎn)的左側(cè)。點(diǎn)評(píng)兩物體分離的條件是：相互間的彈力FN=0等于零；兩物體瞬時(shí)加速度相等?！灸Ｐ?】豎直面上“彈簧與木塊的分離”模型圖2mM如圖2所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計(jì)的薄板，在薄板上放重物，用手將重物向下壓縮到一定

3、程度后，突然將手撤去，重物何時(shí)與木板分離？解析當(dāng)物體分離時(shí)，物體間的彈力FN=0物塊只受重力，物塊的加速度為g，木板的加速度也為g彈簧的狀態(tài)應(yīng)為原長(zhǎng)，即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，二者分離此時(shí)物塊與薄板有共同的加速度。從動(dòng)力學(xué)的角度可以得到，豎直方向的彈簧類問(wèn)題兩物體的分離點(diǎn)是在彈簧的原長(zhǎng)處。模型典案：【典案1】A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖3所示，已知木塊A、B質(zhì)量分別為0.42 kg和0.40 kg，彈簧的勁度系數(shù)k=100 N/m ，若在木塊A上作用一個(gè)豎直向上的力F，使A由靜止開始以0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)（g=10 m/s2）（1）使木塊A豎直做勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，力F

4、的最大值；（2）若木塊由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，直到A、B分離的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能減少了0.248 J，求這一過(guò)程F對(duì)木塊做的功。解析（1）設(shè)A、B疊放在彈簧上處于平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x有kx=（mA+mB）g，所以x=（mA+mB）g/k 圖3對(duì)A施加向上的F力，分析A、B受力如圖4圖4 對(duì)A：F+FN-mAg=mAa 對(duì)B：kx-FN-mBg=mBa可知，當(dāng)FN0時(shí)，AB有共同加速度a=a，由式知欲使A勻加速運(yùn)動(dòng)，隨FN減小F增大， 當(dāng)FN=0時(shí)，F(xiàn)取得了最大值Fm，即Fm=mA（g+a）=4.41 N（2）又當(dāng)FN=0時(shí)，A、B開始分離，由式知，此時(shí)彈簧壓縮量kx=mB（a+g）即x=

5、mB（a+g）/kAB共同速度 v2=2a（x-x）由題知，此過(guò)程彈性勢(shì)能減少了WP=EP=0.248 J設(shè)F做功WF，對(duì)這一過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理或功能原理WF+EP-（mA+mB）g（x-x）=（mA+mB）v2聯(lián)立，且注意到EP=0.248 J可知，WF=9.64×10-2 J點(diǎn)評(píng)此題命題意圖是考查對(duì)物理過(guò)程、狀態(tài)的綜合分析能力。難點(diǎn)和失分點(diǎn)在于能否通過(guò)對(duì)此物理過(guò)程的分析后，確定兩物體分離的臨界點(diǎn)，即當(dāng)彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力FN=0時(shí) ，恰好分離。m圖5【案例2】如圖5所示，輕彈簧上端固定，下端連接一質(zhì)量為的重物，先由托盤托住，使彈簧比自然長(zhǎng)度縮短L，然后

6、由靜止開始以加速度勻加速向下運(yùn)動(dòng)。已知a<g，彈簧勁度系數(shù)為，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間托盤M將與分開？【解析】當(dāng)托盤與重物分離的瞬間，托盤與重物雖接觸但無(wú)相互作用力，此時(shí)重物只受到重力和彈簧的作用力在這兩個(gè)力的作用下，當(dāng)重物的加速度也為時(shí)，重物與托盤恰好分離。由于a<g，故此時(shí)彈簧必為伸長(zhǎng)狀態(tài)。然后由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解：根據(jù)牛頓第二定律得：由得：由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：聯(lián)立式有：解得：點(diǎn)評(píng)本題屬于牛頓運(yùn)動(dòng)定律中的臨界狀態(tài)問(wèn)題。求解本類題型的關(guān)鍵是找出臨界條件，同時(shí)還要能從宏觀上把握其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析出分離瞬間彈簧的狀態(tài)。我們還可這樣探索：若將此題條件改為，情況又如何呢？圖6【典例3】如圖6所

7、示，一勁度系數(shù)為k=800 N / m的輕彈簧兩端各焊接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=12 kg的物體A、和B，物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上?，F(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使物體A開始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.4 s物體B剛要離開地面。設(shè)整個(gè)過(guò)程中彈簧都處于彈性限度內(nèi)，取g=10 m / s2，求：（1）此過(guò)程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此過(guò)程中外力F所做的功。解析（1）A原靜止時(shí)，設(shè)彈簧壓縮x1，由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg-物體A向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)彈簧的壓縮形變量最大，向上的彈力最大，則所需外力F最小，設(shè)為F1由牛頓第二定律：F1+kx1mg=ma-當(dāng)B剛要離地時(shí)

8、，彈簧由縮短變?yōu)樯扉L(zhǎng)，此時(shí)彈力變?yōu)橄蛳吕瑼，則所需外力F最大，設(shè)為F2對(duì)B：kx2=mg-對(duì)A：F2-kx2-mg=ma -由位移公式對(duì)A有： -又t=0.4s-由可得：a=3.75m/s2F1=45NF2=285N（2）0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s對(duì)A全程由動(dòng)能定理得：WFmg (x1+x2)=mv2解得：WF=49.5 J也可用能量守恒求解：在力作用的0.4s內(nèi)，在初末狀態(tài)有x1=x2，所以彈性勢(shì)能相等，由能量守恒知，外力做了功，將其它形式的能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的重力勢(shì)能和動(dòng)能。即：圖7【典案4】如圖7質(zhì)量為mA=10kg的物塊A與質(zhì)量為

9、mB=2kg的物塊放在傾角為300光滑斜面上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕彈簧一端與物塊B連接，另一端與固定檔板連接，彈簧的勁度系數(shù)為K=400N/m，現(xiàn)給物塊A施加一個(gè)平行與斜面向上的力F，使物塊A沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知力F在前0.2s內(nèi)是變力，0.2s后為恒力，求力F的最大值和最小值。（g=10m/s2）【解析】原系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則M與m受合外力為零,設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為xo即：(m+M)gsin300=kx0 則： x0=0.15m由靜止開始向上勻加速運(yùn)動(dòng)，m與M在00.2S內(nèi)整體向上有共同的加速度a設(shè)經(jīng)時(shí)間為t，則在t內(nèi)m與M上升位移為S： S=at2 在00.2S內(nèi)以m與M為整體：F+

10、K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a 當(dāng)t=0.2s時(shí) s=a×(0.2)2=0.02a 由、得： F+(0.15-O.02a)×400-60=(m+M)a 分析可知在0.2s后F為恒力，此狀況只有m與M分離可存在在0.2后，對(duì)有：sin300，（此時(shí)力也為0.2瞬間的力）（/2） 由得：5分析可知最小力應(yīng)是在時(shí)，即：min=(m+M)a=(2+10) ×5=60N在t=0.2s以后力有最大值即： Fmax=(g/2+a) ×m=(10/2+5) ×10=100N圖8【典案5】質(zhì)量為M=6Kg的小車放在光滑的水平面上，物塊A和

11、B的質(zhì)量均為m=2Kg且均放在小車的光滑水平底板上，物塊A和小車右側(cè)壁用一根輕彈簧連接，不會(huì)分離，如圖8所示，物塊A和B并排靠在一起，現(xiàn)用力向右壓B并保持小車靜止，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，在此過(guò)程中外力做功270J。撤去外力，當(dāng)A和B分開后，在A達(dá)到小車底板的最左端位置之前，B已從小車左端拋出，求：（1）B與A分離時(shí)，小車的速度多大？（2）從撤去外力至B與A分離時(shí)，A對(duì)B做了多少功？（3）假設(shè)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)B已離開小車。A仍在車上，則此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能是多大？解析（）分析可知A、B分離時(shí)應(yīng)在彈簧恢復(fù)為原長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)AB有共同速度為v1，設(shè)車速為v2，接觸面均光滑，動(dòng)量守恒，取向右為正，v2v1 又機(jī)

12、械能守恒：P 由得：v19m/s，v26m/s （）A對(duì)B做的功應(yīng)為的動(dòng)能增量：BBK-081J （）A與B分離后，A的速度不變，彈力對(duì)與作負(fù)功。彈簧最長(zhǎng)時(shí)，令的速度為，A與M有共同速度，動(dòng)量再次守恒，有：取向右為正：v2v1（）v3第二次機(jī)械能守恒：189J 由得：168.75模型體驗(yàn)：【體驗(yàn)1】用木板托住物體m，并使得與m連接的彈簧處于原長(zhǎng)，手持木板M向下以加速度a（a<g）做勻加速運(yùn)動(dòng)，如圖9。求物體m與木板一起做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。a圖9解析m在與M一起向下做勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，m受到彈簧的彈力不斷增大，板M對(duì)m的支持力不斷減小，重力保持不變。m與板M分離的條件為板M對(duì)m的支持力FN

13、恰好為零，且此時(shí)m與M運(yùn)動(dòng)的加速度恰還相等。設(shè)：m與M分離經(jīng)歷t時(shí)間，彈簧伸長(zhǎng)為x： mgkxma 解得：x 又因?yàn)椋簒at2 所以t圖10【體驗(yàn)2】如圖10所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計(jì)的薄板，在薄板上放重物，用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，則重物將被彈簧彈射出去，則在彈射過(guò)程中(重物與彈簧脫離之前)重物的運(yùn)動(dòng)情況是 ( ) A.一直加速運(yùn)動(dòng) B勻加速運(yùn)動(dòng)C.先加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng) D先減速運(yùn)動(dòng)后加速運(yùn)動(dòng)圖11【解析】物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變?nèi)Q于所受合外力所以，對(duì)物體進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析是解決此題的關(guān)鍵，物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力和彈簧彈力的作用剛放手時(shí)，彈力大于重力，合力向上

14、，物體向上加速運(yùn)動(dòng)，但隨著物體上移，彈簧形變量變小，彈力隨之變小，合力減小，加速度減?。划?dāng)彈力減至與重力相等的瞬間，合力為零，加速度為零，此時(shí)物體的速度最大；此后，彈力繼續(xù)減小，物體受到的合力向下，物體做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，二者分離正確答案：C【體驗(yàn)3】如圖11所示，一根輕質(zhì)彈簧兩端與質(zhì)量分別為m1 和m2的木塊相連，豎直放置在水平地面上。問(wèn)：至少要向下壓多大的力F于m1上，才可以使突然撤去外力F后m2恰好離開地面？解析m2恰好離開地面的臨界條件是彈簧比原長(zhǎng)再伸長(zhǎng)x2，且kx2=m2g和m1速度為零。設(shè)未加壓力F時(shí)，彈簧的壓縮量為x0；加壓力F時(shí)，彈簧的壓縮量為x1，則：kx0=m1g

15、 kx1=F+m1g應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求解：m2不離開地面，m1做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則振幅：A=x1x0= x0 + x2所以x1=x2+2x0=加壓力F時(shí)，F(xiàn)+m1g=kx1F=kx1m1g=(m1+m2) g點(diǎn)評(píng)物體與彈簧組成的系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，具有明顯的對(duì)稱性，這類題一般用對(duì)稱性來(lái)求解會(huì)簡(jiǎn)單得多?！倔w驗(yàn)4】如圖所示，質(zhì)量為m的物體A用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為m的物體B相連，開始時(shí)A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧壓縮量為x0，一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連接物體A、另一端C握在手中，各段繩均處于剛好伸直狀態(tài)，A上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長(zhǎng)?，F(xiàn)在C端施水平恒力F而使A從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)

16、。（整個(gè)過(guò)程彈簧始終處在彈性限度以內(nèi)） （1）如果在C端所施恒力大小為3mg，則在B物塊剛要離開地面時(shí)A的速度為多大？ （2）若將B的質(zhì)量增加到2m，為了保證運(yùn)動(dòng)中B始終不離開地面，則F最大不超過(guò)多少？解析由題意可知：彈簧開始的壓縮量，在B物塊剛要離開地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也是（1）若F=3mg，在彈簧伸長(zhǎng)到x0時(shí)，B開始離開地面，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能與施力前相等，F(xiàn)所做的功等于A增加的動(dòng)能及重力勢(shì)能的和。即 可解得： （2）所施力為恒力F0時(shí)，物體B不離開地面，類比豎直彈簧振子，物體A在豎直方向上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力。故物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在最低點(diǎn)： F0mg+kx0=ma1 式

17、中k為彈簧勁度系數(shù)，a1為在最低點(diǎn)A的加速度。 在最高點(diǎn)，B恰好不離開地面，此時(shí)彈簧被拉伸，伸長(zhǎng)量為2x0，則： K（2x0）+mgF0=ma2 考慮到： kx0=mg 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在上、下振幅處 a1=a2 解得：F0=也可以利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置求恒定拉力F0。物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)壓縮量為x0，最高點(diǎn)伸長(zhǎng)量為2x0，則上下運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)為平衡位置，即伸長(zhǎng)量為所在處。由： 解得：F0=【點(diǎn)評(píng)】區(qū)別原長(zhǎng)位置與平衡位置。與原長(zhǎng)位置對(duì)應(yīng)的形變量與彈力大小、方向、彈性勢(shì)能相關(guān)；與平衡位置對(duì)應(yīng)的位移量與回復(fù)大小、方向、速度、加速度相關(guān)。圖12圖6【體驗(yàn)5】如圖12所示，光滑的水平面上有，的三個(gè)物體，用輕彈簧

18、將與連接，在、兩邊用力使三個(gè)物體靠近，A、B間的彈簧被壓縮，此過(guò)程外力做功J，然后從靜止釋放。求：（）當(dāng)物體、分離時(shí)，B對(duì)C做的功有多少？（）當(dāng)彈簧再次被壓縮到最短而后又伸長(zhǎng)到原來(lái)時(shí)，A、B的速度各是多大？解析此題關(guān)鍵是判斷出與分離條件為彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)，而彈簧再次被壓縮到最短條件為、同速且向右。（）當(dāng)、分離時(shí)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)，由動(dòng)量守恒：mAvA（mBmC）vBC 由機(jī)械能守恒：mAvA2（mBmC）vBC2=72J B對(duì)C做功：WBCmCvBC2 由得：vAvBC6m/s，WBC18J（）當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)，、同速方向向右，則有：mAvA-mBvBC（mAmB）v， v=2m/s設(shè)彈簧再次伸長(zhǎng)

19、到原長(zhǎng)時(shí)，、速度分別為和，則：（mAmB）vmAv1mBv2 72mCvBC2mAv12mBv22 由得：v1=2m/s，向左；v2=10m/s，向右或 v16m/s，向右；v2=6m/s， 向右注意（）求的速度是矢量，最后方向不可丟失，解題要嚴(yán)謹(jǐn)。ABm2km1【體驗(yàn)6】如圖，質(zhì)量為的物體A，通過(guò)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，AB都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升。（1）求物體C下

20、降的最大距離。（2）若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g?！窘馕觥块_始時(shí)，A、B 靜止，設(shè)彈簧壓縮量為，有 掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A 向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為，有 B不再上升，表示此時(shí)A 和C的速度為零，C已降到其最低點(diǎn).由機(jī)械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢(shì)能的增加量為 C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢(shì)能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得 聯(lián)立解得 【體驗(yàn)7】如圖所示，擋板P固定在足夠高的水平桌面上，小物塊A和B大小可忽略，它們分別帶有+QA和+QB的電荷量，質(zhì)量分別為mA和mB。兩物塊由絕緣的輕彈簧相連，一不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)滑輪，一端與B連接，另一端連接一輕質(zhì)小鉤。整個(gè)裝置處于場(chǎng)強(qiáng)為E、方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。A、B開始時(shí)靜止，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，不計(jì)一切摩擦及A、B間的庫(kù)侖力，A、B所帶電荷量保持不變，B不會(huì)碰到滑輪。(1) 若在小鉤上掛一質(zhì)量為M的物塊C并由靜止釋放，可使物塊A恰好能離開擋板P，求物塊C下落的最大距離；(2) 若C的質(zhì)量改為2M，則當(dāng)A剛離開擋板P時(shí)，B的速度多大？【解析】（1）開始平衡時(shí)有： 當(dāng)A剛離開檔板時(shí)