第六章非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理

1、第六章 非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理非平衡態(tài)物理現(xiàn)象l 動(dòng)力學(xué)馳豫過(guò)程例如，t0，體系處于高溫態(tài)；t > 0, 體系淬火到低溫態(tài)。在這一過(guò)程，體系的性質(zhì)和物理量顯然與時(shí)間相關(guān)。l 動(dòng)力學(xué)輸運(yùn)過(guò)程體系處于穩(wěn)態(tài)，但存在“流動(dòng)”，如粒子流，電流和能量流等。這樣的系統(tǒng)需要?jiǎng)恿W(xué)方程描述。其他一些現(xiàn)象也納入非平衡態(tài)物理研究范疇。例如，體系不斷受到外力打擊，這些外力是宏觀的，或者沒(méi)法簡(jiǎn)單用Hamiltonian表達(dá)，等等。平衡態(tài)的動(dòng)力學(xué)漲落也可以屬非平衡態(tài)物理研究范疇。第一節(jié)玻爾茲曼方程全同粒子，近獨(dú)立體系，粒子數(shù)不變。單粒子微觀狀態(tài)用（）描述，（）張開的空間稱空間。平衡態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)可用分布函數(shù)描述為單粒子

2、能量處于（）處的粒子數(shù)的密度分布。思考題：與正則系綜理論的關(guān)系，例如，如何寫出配分函數(shù)。非平衡態(tài)粒子數(shù)密度與時(shí)間t有關(guān)關(guān)鍵：如何求f ？ 顯然，如果t是微觀時(shí)間，求解的難度和解微觀運(yùn)動(dòng)方程差不多。所以，t一般是某種介觀時(shí)間或宏觀時(shí)間。·先試圖寫下f的運(yùn)動(dòng)方程·再討論如何求解如果粒子不受外力，沒(méi)有粒子間的碰撞，我們有粒子流守恒方程如何來(lái)的？對(duì)積分 左邊： 中單位時(shí)間粒子數(shù)的增加右邊： 單位時(shí)間流入的粒子數(shù)。 注意：的方向?yàn)橄蛲獾?，至少在局部是常?shù)，所以，是從dS流入的粒子數(shù)，因?yàn)?另一方法：沒(méi)有外力，至少在局部是常數(shù)。時(shí)刻處于處的粒子 t時(shí)刻處于的粒子因?yàn)樵趦?nèi)粒子移動(dòng) 如果粒

3、子受外力，但互相不碰撞如果粒子相互碰撞為由粒子碰撞引起的粒子數(shù)密度的變化這便是玻爾茲曼方程。原則上可以求解近獨(dú)立子系的所有非平衡態(tài)動(dòng)力學(xué)行為。假設(shè)·只有兩體碰撞·邊界條件不重要·外力只對(duì)單粒子運(yùn)動(dòng)起作用，不影響碰撞·不同相空間點(diǎn)的f沒(méi)有關(guān)聯(lián)·時(shí)間標(biāo)度遠(yuǎn)大于分子碰撞時(shí)間 空間標(biāo)度遠(yuǎn)大于分子尺度二體碰撞 入射 出射 能量守恒動(dòng)量守恒逆過(guò)程也類似 出射 入射 能量守恒動(dòng)量守恒·在處，t時(shí)刻由產(chǎn)生的概率為在處增加的粒子數(shù)為在t時(shí)刻，在處減小的粒子數(shù)為注意：這里我們假設(shè)t是介觀時(shí)間，已略去分子碰撞細(xì)節(jié)。習(xí)題：假設(shè)，計(jì)算出中對(duì)的積分第二節(jié) 玻爾茲

4、曼方程的簡(jiǎn)單例子1、平衡態(tài)“平衡”（這似乎是充分條件）設(shè)即為平衡態(tài)的解的形式, 還必須受到限制，如等。思考題：為什么？（因?yàn)?）2、沒(méi)有碰撞，沒(méi)有外力解為為t0時(shí)粒子數(shù)分布例如：t0時(shí)，溫度為T的氣體凝聚于原點(diǎn)。即 歸一化常數(shù)思考題：為什么取這樣的形式？注意：原點(diǎn)為宏觀原點(diǎn)，微觀粒子還在運(yùn)動(dòng) 是Boltzmann分布計(jì)算t時(shí)刻的粒子數(shù)分布因?yàn)閷?duì)粒子系統(tǒng)，單粒子積分限可取為 粒子隨時(shí)間擴(kuò)散，經(jīng)t時(shí)間后，處粒子由t0時(shí)動(dòng)量為的粒子而來(lái)。第三節(jié) 單自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程對(duì)固定 這里的 t 通常也是介觀時(shí)間。 如果沒(méi)有隨機(jī)力，平衡態(tài)為，即能量取

5、極小值。如果存在隨機(jī)力，體系會(huì)被推離能量極小，處于某種能量較高的平衡態(tài)。 例如：布朗運(yùn)動(dòng) 花粉在液體中的運(yùn)動(dòng) 一維解 如 ，這便是隨機(jī)行走。由于隨機(jī)力的存在，Langevin方程有他的復(fù)雜性，因?yàn)槲覀儽仨毧紤]對(duì)隨機(jī)力平均帶來(lái)的奇異性。為了簡(jiǎn)單起見，我們對(duì)時(shí)間分立化在數(shù)值模擬中應(yīng)用較直觀，Z =Langevin方程令 方程的解 是隨機(jī)變量，在數(shù)值模擬中給定初始值還不確定，與隨機(jī)力有關(guān)。也就是說(shuō)，在t時(shí)刻，x 遵從一個(gè)分布。物理量的平均值問(wèn)題：的含義？答：必須對(duì)t之前的所有隨機(jī)力做平均。 又 這里做分步積分時(shí)，假設(shè)另一方面Fokker-Planck方程顯然 思考題：試討論為平衡態(tài)的條件多自由度的L

6、angevin方程是單自由度的直接推廣。Langevin方程的適用范圍不是很清楚，一般只能求解動(dòng)力學(xué)馳豫過(guò)程相關(guān)物理問(wèn)題，以及平衡態(tài)問(wèn)題。第四節(jié) Ising 模型的Monte Carlo模擬Langevin方程既適用于理論研究，也可以應(yīng)用于數(shù)值模擬。Langevin方程既模擬動(dòng)力學(xué)行為，也提供平衡態(tài)的正則分布。但是，在平衡態(tài)研究方面，Langevin方程有局限性。例如，引起的誤差難以控制；動(dòng)力學(xué)變量必須是連續(xù)變量等。Monte Carlo 算法給出另一種動(dòng)力學(xué)。一般認(rèn)為，Monte Carlo動(dòng)力學(xué)和Langevin動(dòng)力學(xué)屬于同一普適類，即兩者的大范圍長(zhǎng)時(shí)間標(biāo)度的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)是一致的。Monte

7、 Carlo 算法簡(jiǎn)單有效，但較難進(jìn)行理論研究。Ising model稱之為哈密頓量，代表能量；置于格點(diǎn)上，例如正方格點(diǎn)為外磁場(chǎng) 對(duì) 隨機(jī)狀態(tài) 有序狀態(tài) 極小當(dāng)體系和大熱源接觸達(dá)到“平衡”時(shí)，遵從正則分布物理量的平均值 歸一化常數(shù) 配分函數(shù)對(duì)Monte Carlo模擬，必須給予概率分布的意義。引入恰當(dāng)隨機(jī)過(guò)程，產(chǎn)生一系列自旋構(gòu)形 當(dāng)足夠大時(shí)，遵從分布 例格點(diǎn)尺度關(guān)鍵：構(gòu)造算法·各態(tài)歷經(jīng) 這是顯然的·細(xì)致平衡 這是充分條件單自旋翻轉(zhuǎn)法每次只試圖改變一個(gè)自旋的值，稱迭代順序掃描法按規(guī)則依次迭代點(diǎn)陣上所有自旋Heat-bath algorithm選定，取注意：這一算法的躍遷概率與的值無(wú)關(guān)！的能量的能量由于每次只迭代一個(gè)自旋，與無(wú)關(guān)的自旋的能量不必計(jì)算。設(shè) 各態(tài)歷經(jīng)是顯然的。細(xì)致平衡練習(xí)：·構(gòu)造二自旋迭代的He