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1、第一章1.(20%)已知的子空間, 分別求,的一組基及它們的維數(shù)。2.(18%)設(shè)上的線性變換定義為:, 其中,(1) 求在的基下的矩陣;(2) 分別求的特征值及相應(yīng)的特征子空間的一組基及它們的維數(shù);(3) 給出的最小多項(xiàng)式;(4) 問(wèn):是否存在的基,使得的矩陣為對(duì)角陣?為什么?3.(20%)設(shè)上的線性變換定義為:, 其中,表示矩陣的跡。(1) 求在的基下的矩陣;(2) 求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù);(3) 問(wèn):+是否為直和?為什么?4.(20%)假設(shè)矩陣,在上定義映射如下:對(duì)任意, (1) 證明:是上的線性變換;(2) 求在的基下的矩陣;(3) 求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)
2、;(4) 問(wèn):是否成立?為什么?(5) 試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出的最小多項(xiàng)式;(6) 問(wèn):能否找到的基,使得的矩陣為對(duì)角陣?為什么?5. (16%)上的線性變換定義如下:,(1) 求在的基下的矩陣;(2) 求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù);(3) 問(wèn):是否成立?為什么?6.(8%)設(shè)為線性空間上的線性變換,且. 試證:;7. 若階方陣與滿足:. ; . ; . 則(證明時(shí)請(qǐng)注明每一步的理由).第二章1.(10%)設(shè)的子空間=,。試求,使得。?2. 在上定義內(nèi)積。的子空間。試求,使得。3.(10%)假設(shè),的由生成的子空間,。在中求向量,使得。4.(10%)設(shè)是一維歐氏空間,是一單
3、位向量,是一參數(shù),上的線性變換定義為:, 問(wèn):當(dāng)取何值時(shí),是正交變換?5. 記。定義上先行變換如下:(1)求的值域的一組基,并給出的兩個(gè)不同的子空間,使得;(2) 問(wèn):是否為正交變換?為什么?第三章1. 已知的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式都是,分別求及的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 2.(8%)已知階方陣滿足,且的秩是,求.3.(12%)設(shè)矩陣,。(1) 根據(jù)的不同的值,討論矩陣的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;(2) 若與是相似的,問(wèn):參數(shù)應(yīng)滿足什么條件?試說(shuō)明你的理由。4. 假設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于,并且。(1) 分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;(2) 問(wèn):與是否相似?為什么?5. 證明:若
4、方陣的特征值全為零,則必存在正整數(shù),使。6. 已知矩陣。(1) 試寫(xiě)出矩陣的特征多項(xiàng)式,最小多項(xiàng)式,及矩陣的秩;(2) 如果矩陣與有相同的特征多項(xiàng)式,有相同最小多項(xiàng)式,并且與的秩也相同,問(wèn):與是否一定相似?說(shuō)明你的理由。7.(12%)已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等,均等于,矩陣。(1) 分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;(2) 問(wèn):與是否相似?為什么?8.(16%)設(shè)矩陣。(1) 試分別求的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式;(2) 寫(xiě)出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型;(3) 求;第四章1. 假設(shè)是正規(guī)矩陣。若的特征值全是實(shí)數(shù),證明:是Hermite矩陣。2. 假設(shè)、都是Hermite矩陣。證明是Hermite
5、矩陣當(dāng)且僅當(dāng)。3. 假設(shè)是Hermite矩陣,證明:是酉矩陣。4. 證明:Hermite陣和酉矩陣都是正規(guī)陣。試舉一例說(shuō)明存在這樣的正規(guī)陣,它既不是Hermite矩陣,也不是酉矩陣。5. 若維列向量的長(zhǎng)度小于2,證明:是正定矩陣。6. 假設(shè)是酉矩陣,是矩陣。證明:是酉矩陣當(dāng)且僅當(dāng)是酉矩陣。7. 假設(shè)是酉矩陣, 是Hermite矩陣,并且。記。證明:存在酉矩陣,使得是對(duì)角陣。8. 若是正規(guī)矩陣,則是酉矩陣的充要條件是的特征值的模全為1;9. 若階Hermite矩陣為正定陣,又是階方陣且也是正定陣,則的譜半徑。10. 若方陣的特征值全為零,則必存在正整數(shù),使.11. 設(shè)是階正定矩陣,是維非零列向量. 若當(dāng)時(shí),總有 ,則必線性無(wú)關(guān)第五章1.(10%)設(shè)為方陣,作,設(shè)是參數(shù).(1) 試證:; (2) 已知,求.2.(15%)設(shè),求的特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式,并求矩陣函數(shù)。3. 試證:.4.(10%)試證:若為階正規(guī)矩陣,則5. 設(shè)是相容矩陣范數(shù)。證明:對(duì)任意方陣,的譜半徑;6. 證明:對(duì)任意方陣,(這里,表示矩陣的行列式,表示矩陣的跡);第六章 1.(10%)設(shè)為矩陣,為矩陣,作.求(用表示);2.(12%)假設(shè)矩陣,試求的廣義逆矩陣。3. 假設(shè)矩陣,求的廣義逆矩陣。
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