定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用老師版

1、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解定積分的幾何意義，會(huì)通過(guò)定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.2.掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見(jiàn)題型及方法.3.通過(guò)具體實(shí)例了解定積分在物理中的應(yīng)用，會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一定積分在求幾何圖形面積方面的應(yīng)用1.求由一條曲線yf(x)和直線xa，xb(ab)及y0所圍成的平面圖形的面積S.(1)如圖，f(x)0，f(x)dx0，所以Sf(x)dx.(2)如圖，f(x)0，f(x)dx0，所以Sf(x)dx.(3)如圖，當(dāng)axc時(shí)，f(x)0，f(x)dx0；當(dāng)cxb時(shí)，f(x)0，f(x)dx0.所以Sf(x)dxf(x)dxf(x)dx.2.

2、求由兩條曲線f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直線xa，xb(ab)所圍成平面圖形的面積S.(1)如圖，當(dāng)f(x)g(x)0時(shí)，Sf(x)g(x)dx.(2)如圖，當(dāng)f(x)0，g(x)0時(shí)，Sf(x)dxf(x)g(x)dx.3.當(dāng)g(x)f(x)0時(shí)，同理得Sf(x)g(x)dx.思考(1)怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？(2)當(dāng)f(x)<0時(shí)，f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？答案(1)求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來(lái)表示面積，然后計(jì)算定積分即可.(2)如圖，因?yàn)榍吿菪紊线吔绾瘮?shù)為g(x)0，下邊界函數(shù)為f(x)，所以S(0f(x)dxf(x

3、)dx.4.利用定積分求平面圖形面積的步驟：(1)畫(huà)出圖形：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出曲線或直線的大致圖象；(2)確定圖形范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)寫(xiě)出平面圖形面積的定積分表達(dá)式；(5)利用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積，寫(xiě)出答案.知識(shí)點(diǎn)二定積分在物理中的應(yīng)用1.在變速直線運(yùn)動(dòng)中求路程、位移路程是位移的絕對(duì)值之和，從時(shí)刻ta到時(shí)刻tb所經(jīng)過(guò)的路程s和位移s分別為：(1)若v(t)0，則sv(t)dt，sv(t)dt.(2)若v(t)0，則sv(t)dt，sv(t)dt.(3)若在區(qū)間a，c上v(t)0，在區(qū)間c，b上v

4、(t)<0，則sv(t)dtv(t)dt，sv(t)dt.2.定積分在物理中的應(yīng)用(1)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即sv(t)dt.(2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了s(單位：m)，則力F所做的功為WFs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間a，b上的定積分，即WF(x)dx.思考下列判斷正確的是 .(1)路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念；(2)利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移是同一個(gè)式子v(t)dt；(3)利用定積分求變速直

5、線運(yùn)動(dòng)的路程和位移不是同一個(gè)式子v(t)dt.答案(1)(3)解析(1)顯然正確.對(duì)于(2)(3)兩個(gè)判斷，由于當(dāng)v(t)0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用v(t)dt求解；當(dāng)v(t)<0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用v(t)dt求解，這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為v(t)dt.所以(2)錯(cuò)(3)正確.題型一利用定積分求平面圖形的面積問(wèn)題例1求由拋物線y2，y2x1所圍成圖形的面積.解在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上畫(huà)出兩個(gè)拋物線的大致圖形，如圖.方法一以x為積分變量.由得兩個(gè)拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B.設(shè)點(diǎn)P(1,0)，則所求面積S22.方法二以y為積分變量.由可得兩個(gè)拋物線的兩個(gè)

6、交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B.設(shè)點(diǎn)P(1,0)，則所求面積S2 (y215y2)dy2.反思與感悟若以x為積分變量，則被積函數(shù)的原函數(shù)不易確定，而且計(jì)算也比較麻煩；若以y為積分變量，則可以避免這種情況.選取積分變量有時(shí)對(duì)解題很關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1在曲線yx2(x0)上的某一點(diǎn)A處作一切線，使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為.試求：切點(diǎn)A的坐標(biāo)和過(guò)切點(diǎn)A的切線方程.解如圖所示，設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，由y2x得過(guò)A點(diǎn)的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0，得x即C.設(shè)由曲線和過(guò)A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，則SS曲邊AOBSABC.S曲邊AOBx2dxx3x，SABC|BC|&

7、#183;|AB|·xx，即Sxxx，所以x01.從而切點(diǎn)為A(1,1)，切線方程為y2x1題型二運(yùn)用定積分求解物理問(wèn)題例2一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t0(s)開(kāi)始以速度vt24t3(m/s)運(yùn)動(dòng)，求：(1)此點(diǎn)在t4 s時(shí)的位置；(2)此點(diǎn)在t4 s時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程.解因?yàn)槲恢脹Q定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定積分，而路程是位移的絕對(duì)值之和，所以需要判斷在0,4上哪些時(shí)間段的位移為負(fù).(1)在t4 s時(shí)，該點(diǎn)的位移為(t24t3)dt(m).即在t4 s時(shí)該點(diǎn)在距出發(fā)點(diǎn) m處.(2)v(t)t24t3(t1)(t3)，在區(qū)間0,1及3,4上，v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0，該點(diǎn)

8、在t4 s時(shí)的路程為S(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt4(m).反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：(1)求出每一時(shí)間段上的速度函數(shù)；(2)根據(jù)定積分的物理意義，求出對(duì)應(yīng)時(shí)間段上的定積分.跟蹤訓(xùn)練2有一輛汽車(chē)以每小時(shí)36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車(chē).設(shè)汽車(chē)以2 m/s2的加速度剎車(chē)，問(wèn)：從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)行駛了多遠(yuǎn)？解設(shè)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)經(jīng)過(guò)了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)行駛的路程為s(102t)dt(10tt2)25(m)

9、.故從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)行駛了25 m.題型三用定積分解決變力做功問(wèn)題例3設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長(zhǎng)到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm所做的功.解設(shè)x表示彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，f(x)表示加在彈簧上的力，則f(x)kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù)).因?yàn)楫?dāng)f(x)100時(shí)，x5，所以k20.所以f(x)20x.彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度x從0 cm變化到15 cm，故所做的功W20xdx10x22 250(N·cm)22.5(J).反思與感悟(1)根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，求出變力f(x)的表達(dá)式；(2)由功的物理意義知，物體在

10、變力f(x)的作用下，沿力的方向做直線運(yùn)動(dòng)，使物體由一個(gè)位置移到另一個(gè)位置，因此，求功之前應(yīng)先求出位移的起始位置和終止位置；(3)根據(jù)變力做功的公式Wf(x)dx求出變力所做的功.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，設(shè)氣缸內(nèi)活塞一側(cè)存在一定量氣體，氣體做等溫膨脹時(shí)推動(dòng)活塞向右移動(dòng)一段距離，若氣體體積由V1變?yōu)閂2，求氣體壓力所做的功.解由物理學(xué)知識(shí)知，氣體膨脹為等溫過(guò)程，所以氣體壓強(qiáng)為P(V表示氣體體積，C為常數(shù))，而活塞上的壓力為FPQ(Q表示截面積，L表示活塞移動(dòng)的距離，VLQ).記L1，L2分別表示活塞的初始位置和終止位置，于是有WF(L)dLdLCdVC(ln V)C(ln V2ln V1).所以氣體

11、體積由V1變?yōu)閂2，氣體壓力所做的功為C(ln V2ln V1).用定積分求平面圖形面積時(shí)，因?qū)D形分割不當(dāng)致誤例4求由拋物線y28x(y0)與直線xy60及y0所圍成圖形的面積.錯(cuò)解由題意，作出圖形如圖由得所以拋物線y28x(y0)與直線xy60的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，所以所求面積為S(6x)dx248×16.錯(cuò)因分析S(6x)dx(6x)dxdx.(6x)dx表示由直線y6x與直線x0，直線x4，直線y0圍成的圖形的面積，dx表示由拋物線y28x(y0)與直線x0，直線x4，直線y0圍成的圖形的面積.上述S顯然不是所求圖形的面積.正解Sdx(6x)dx8.防范措施合理劃分積分上、

12、下限及正確選擇積分變量，最好結(jié)合圖形進(jìn)行處理.1.在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中，正確的有()Sf(x)g(x)dxS(22x8)dxSf(x)dxf(x)dxSg(x)f(x)dxf(x)g(x)dxA. B. C. D.答案D解析應(yīng)是Sf(x)g(x)dx，應(yīng)是S2dx(2x8)dx，和正確.故選D.2.曲線ycos x(0x)與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是()A.2 B.3 C. D.4答案B解析Scos xdxcos xdxsin x- sin x sin sin 0 sin sin 10113.3.一列車(chē)沿直線軌道前進(jìn)，剎車(chē)后列車(chē)速度v(t)270.9t，則列車(chē)剎車(chē)后前進(jìn)多少米才能停

13、車(chē)()A.405 B.540 C.810 D.945答案A解析停車(chē)時(shí)v(t)0，由270.9t0，得t30，sv(t)dt (270.9t)dt(27t0.45t2)405.4.由曲線yx24與直線y5x，x0，x4所圍成平面圖形的面積是 .答案解析由圖形可得S(x245x)dx(5xx24)dx4×42×434×44.5.一個(gè)彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，把它從自然長(zhǎng)度壓縮到比自然長(zhǎng)度短5 cm，求彈簧克服彈力所做的功.解設(shè)F(x)kx，彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，k4.彈簧克服彈力所做的功為W4xdx4×50(N·cm)0.5

14、(J).1.利用定積分求平面圖形面積的一般步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形；(2)通過(guò)解方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)寫(xiě)出平面圖形面積的定積分表達(dá)式，當(dāng)被求平面區(qū)域較復(fù)雜時(shí)，可分割求和；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積.2.路程問(wèn)題.(1)用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問(wèn)題時(shí)，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是關(guān)鍵.(2)路程是位移的絕對(duì)值之和，因此在求路程時(shí)，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號(hào)不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間，然后分別計(jì)算.3.變力做功問(wèn)題.(1)變力做功問(wèn)題，首先要將變力用其方向上的位移表示出來(lái)，這是關(guān)鍵一步.(2)根據(jù)變力做功的公式，將其轉(zhuǎn)化為求定

15、積分的問(wèn)題.一、選擇題1.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()A. f(x)dxB.C. f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx答案D解析xa，b時(shí)，f(x)<0，xb，c時(shí)，f(x)>0，陰影部分的面積Sf(x)dxf(x)dx.2.一物體沿直線以v2t1 (t的單位：s，v的單位：m/s)的速度運(yùn)動(dòng)，則該物體在12 s間行進(jìn)的路程為()A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m答案D解析s4(m).3.一物體從A處向B處運(yùn)動(dòng)，速度為1.4t m/s(t為運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)，到B處時(shí)的速度為35 m/s，則AB間的距離為()A.120 m B.437.5 mC.

16、360 m D.480 m答案B解析從A處到B處所用時(shí)間為25 s.所以|AB|1.4tdt0.7t2437.5 (m).4.若yf(x)與yg(x)是a，b上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線xa，xb所圍成的平面區(qū)域的面積為()A.f(x)g(x)dxB.g(x)f(x)dxC.|f(x)g(x)|dxD.答案C解析當(dāng)f(x)g(x)時(shí)，所求面積為f(x)g(x)dx；當(dāng)f(x)g(x)時(shí)，所求面積為g(x)f(x)dx.綜上，所求面積為|f(x)g(x)|dx. 5.以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t s時(shí)速度v4010t2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為()A. m B. mC

17、. m D. m答案A解析v0時(shí)物體達(dá)到最高，此時(shí)4010t20，則t2 s.又v040 m/s，t00 s.h(4010t2)dt(m).6.如果1 N的力使彈簧伸長(zhǎng)1 cm，在彈性限度內(nèi)，為了將彈簧拉長(zhǎng)10 cm，拉力所做的功為()A.0.5 J B.1 J C.50 J D.100 J答案A解析由于彈簧所受的拉力F(x)與伸長(zhǎng)量x成正比，依題意，得F(x)x，為了將彈簧拉長(zhǎng)10 cm，拉力所做的功為WF(x)dxxdx50 (N·cm)0.5 (J).二、填空題7.由曲線y與yx3所圍成的圖形的面積可用定積分表示為 .答案(x3)dx解析畫(huà)出y和yx3的草圖，所求面積為如圖所示

18、陰影部分的面積，解方程組得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0及x1.因此，所求圖形的面積為S(x3)dx.8.有一橫截面的面積為4 cm2的水管控制往外流水，打開(kāi)水管后t秒末的流速為v(t)6tt2(單位：cm/s)(0t6).則t0到t6這段時(shí)間內(nèi)流出的水量為 cm3.答案144 解析由題意可得t0到t6這段時(shí)間內(nèi)流出的水量V4(6tt2)dt4144 (cm3).故t0到t6這段時(shí)間內(nèi)流出的水量為144 cm3.9.如圖所示，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置l m處，則克服彈簧力所做的功為 J.答案kl2解析在彈性限度內(nèi)，拉伸(壓縮)彈簧所需的力與彈簧拉伸(壓縮)的長(zhǎng)度成正比，即F(x)kx，其中k為比例系數(shù).由變力做功公式得Wkl2(J).10.由兩條曲線yx2，yx2與直線y1圍成平面區(qū)域的面積是 .答案解析如圖，y1與yx2交點(diǎn)A(1,1)，y1與y交點(diǎn)B(2,1)，由對(duì)稱(chēng)性可知面積S2.三、解答題11.求拋物線yx24x3與其在點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積.解由y2x4得在點(diǎn)A、B處切線的斜率分別為2和