常系數(shù)微分方程

1、目 錄 摘要1關(guān)鍵詞1Abstract.1Keys.1前言11. 定積分的定義12. 定積分的基本性質(zhì)23. 定積分的應(yīng)用23.1用定積分求平面圖形的面積33.2定積分在物理中的某些應(yīng)用5參考文獻(xiàn)7常系數(shù)微分方程的解法姓名：XXX 學(xué)號(hào)：XXXX數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)老師：XXXX 職稱：副教授摘 要：本文主要介紹了解常系數(shù)微分方程的三種解法:1,歐拉待定指數(shù)函數(shù)法；2，比較系數(shù)法；3，拉普拉斯變換法.而每一種方法后面又列舉一些例子,進(jìn)一步鞏固了這三種算法.最后又列舉了常微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：齊次線性微分方程;非齊次線性微分方程;特征方程,拉普拉斯變換法.Th

2、e solution of differential equation with constant coefficients Abstract: This article mainly introduced three solution of differential equation with constant coefficients:one,the method of undetermined Euler index function;two,The method of compared coefficients;three, the method of Laplace transfor

3、mation.However,we take some examples behind every method to consolidate them.Finally,we also list the application of differential equation with constant coefficients in life.Key Words:the homogeneous linear differential equation;the nonhomogeneous linear differential equation;the characteristic equa

4、tion; the method of Laplace transformation前言 本文介紹能夠徹底解決的一類方程常系數(shù)線性方程及可以化為這一類的方程的求解問題.求得常系數(shù)線性微分方程的通解,只須解一個(gè)代數(shù)方程而不必通過積分運(yùn)算.對于某些特殊的非其次線性微分方程也可以通過代數(shù)運(yùn)算和微分運(yùn)算求得它的通解.我們一定要記住常系數(shù)線性方程固有的這種簡單特性1.常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 1.1齊次線性微分方程方程有如下形狀, （1.1）其中,為常數(shù).我們稱（1.1）為階常系數(shù)齊次線性微分方程.1.2 特征方程,其中是的次多項(xiàng)式.我們稱, （1.2）是方程（1.1）的特征方程.它的根就稱為特征根

5、.1.3歐拉待定指數(shù)函數(shù)法它的求解問題可以歸結(jié)為代數(shù)方程求根問題,現(xiàn)在就來具體討論方程的解法.按照線性方程的一般理論,為了求方程（1.1）的通解,只需求出它的基本解組.下面介紹求（1.1）的基本解組的歐拉待定指數(shù)函數(shù)法（又稱特征根法）.回顧一階常系數(shù)齊次線性微分方程. 我們知道它有形如的解,且它的通解就是.這啟示我們對于方程（1.1）也去試求指數(shù)函數(shù)形式的解 , （1.3）其中是待定常數(shù),可以是實(shí)的,也可以是復(fù)的.1.31特征根是單根的情形設(shè),是特征方程（1.2）的幾個(gè)彼此不相等的根,則相應(yīng)地方程（1.1）有如下幾個(gè)解:,. (1.4) .由于假設(shè),故.從而解組（1.4）線性無關(guān).如果均為實(shí)數(shù)

6、,則（1.4）是方程（1.1）的個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)解.而方程（1.1）的通解可表示為:,其中,為任意常數(shù).如果為復(fù)根,則因方程的系數(shù)是實(shí)常數(shù),復(fù)數(shù)將成對共軛出現(xiàn).設(shè)是一特征根,則也是一特征根,從而方程（1.1）有兩個(gè)復(fù)值解:,.例 1 求方程通解.解 特征方程的根為,.有兩個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根,均為單根,故方程的通解為 ,這里,為任意常數(shù).1.32特征根是重根的情形 設(shè)特征方程有重根,則, .設(shè),即特征方程有因子,于是,即特征方程的形狀為 .而對應(yīng)的方程（1.1）變?yōu)?從而方程的個(gè)解為. 設(shè)時(shí),我們做變量變換即 ,從而 ,則積分方程（1.1）可化為 . （1.5）其中仍為常數(shù),而相應(yīng)的特征方程為.

7、（1.6）直接計(jì)算易得,因此 ,從而 , 可見（1.2）的根對應(yīng)于（1.6）的根,而且重?cái)?shù)相同,這樣問題就化為前面已經(jīng)討論過的情形了.例 3 求方程的通解. 解 特征方程,或,即是三重根,因此方程的通解具有形狀,其中為任意常數(shù).例 4 求解方程.解 特征方程為,即特征根是重根,因此,方程有四個(gè)實(shí)值解為故通解為其中為任意常數(shù).2.常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法2.1 非齊次線性微分方程有形狀. (2.1)的方程稱為非齊次線性微分方程.2.2 比較系數(shù)法類型I 設(shè),其中及實(shí)常數(shù),那么方程（2.1）有形如 （2.2）特解,其中為特征方程的根的重?cái)?shù),而是待定常數(shù),可以通過比較系數(shù)來確定. 2.21 當(dāng)

8、時(shí),則.現(xiàn)在再分兩種情況討論.() 當(dāng)不是特征根時(shí),即,因而,這時(shí)取,以代入方程(2.1)并比較的同次冪系數(shù),得到常數(shù)必須滿足的方程 (2.3)注意到,這些待定常數(shù)可以從方程組唯一地逐個(gè)確定出來.例 4 求方程的通解.解 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.這里特征方程有兩個(gè)根,.因此 ,其中為任意常數(shù).再求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解.這里,又因?yàn)椴皇翘卣鞲?故可取特解形如,其中為待定常數(shù),為了確定,將代入原方程,得到,比較系數(shù)得因此得,從而.因此,原方程的通解為 () 當(dāng)是重特征根時(shí),有,且,即 ,且 .則方程(2.1)將變?yōu)? (2.4)令,則方程(2.4)可化為， (2.5)即特解為.故

9、方程(2.4)有特解滿足.則它的一個(gè)特解為,這里是已確定的常數(shù).2.22 當(dāng)時(shí),則做變量變換,將方程(2.1)化為,其中都是常數(shù). 特征方程(1.2)的根對應(yīng)于方程(2.6)的特征方程的零根,且重?cái)?shù)也相同.因此,我們得到以下結(jié)論:在不是特征方程(1.2)的根時(shí),方程(2.6)有特解 ,從而方程(2.1)有特解；在是特征方程(1.2)的重根時(shí), 方程(2.6)有特解,從而方程(2.1)有特解.例 5 解 特征方程有三重根,對應(yīng)齊次方程的通解為,且方程有形狀為的特解,將它帶入方程得 ,比較系數(shù)求得,.從而.故方程的通解為 ,其中為任意常數(shù).類型II設(shè) ,其中為常數(shù),而是帶實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式,其中一個(gè)的

10、次數(shù)為,而另一個(gè)的次數(shù)不超過,那么我們有如下結(jié)論:方程(2.1)有形如 (2.6)特解,這里為特征方程的根的重?cái)?shù),而均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項(xiàng)式. 事實(shí)上,回顧一下類型I的討論過程,當(dāng)是復(fù)數(shù)時(shí),有關(guān)結(jié)論仍然成立.現(xiàn)將表為指數(shù)形式.根據(jù)非齊次線性微分方程的疊加原理,方程與的解之和必為方程(2.1)的解.例 6 求方程的通解.解 特征方程有重根,因此,齊次線性微分方程的通解為 其中為任意常數(shù).因?yàn)椴皇翘卣鞲?我們求形如的特解,將其帶入原方程并化簡得到 比較同類項(xiàng)系數(shù)得從而,因此原方程的通解為2.3 拉普拉斯變換法 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果含參變量的無窮積分,對的某一取值范圍是收斂的,

11、則稱 （2.7）為函數(shù)的拉普拉斯變換, 稱為原函數(shù), 稱為象函數(shù),并且記為.定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上逐段連續(xù),且存在數(shù)使得對于一切有則當(dāng)時(shí), 存在.為了使用拉普拉斯變換來求解初值問題,還需要知道他的幾個(gè)性質(zhì):2.31 線性性質(zhì).設(shè)函數(shù)滿足定理1的條件,則在他們的象函數(shù)的定義域的共同部分上,有,其中是任意常數(shù).2.32 原函數(shù)的微分性質(zhì). 如果均滿足定理1的條件,則，或更為一般地,有2.33 象函數(shù)的微分性質(zhì) 如果,則或一般地,有.2.34 如果,則.例 7 解方程 解 對于方程兩端同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換,得到或由于,故.最后可得 例 8 解方程解 由于 ,即 ,最后得到.2.3 常數(shù)變異法 設(shè)是方程(1.1)的基本解組,因而 (2.8)為(1.1)的通解.我們把其中任意常數(shù)看作的待定函數(shù).這時(shí)(2.8)變?yōu)?(2.9)將其帶入方程(