大位移井拋物線剖面設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算.docx

1、第23卷第5期文章編號(hào)：1673-8217(2009)05-0081-03大位移井拋物線剖面設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算魯港'，余雷之，楊文舉3<1-中國(guó)石油遼河油田公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，遼寧盤(pán)錦124010；2.中國(guó)石油K城鉆探工程公司工程技術(shù)研究院;3.中國(guó)石油江河油II公司資產(chǎn)裝備部)摘要：在大位移井的軌道設(shè)計(jì)中，拋物線剖面是一種常用的類(lèi)型。拋物線剖面設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是求解拋物線初始點(diǎn)井斜角所滿(mǎn)足的一個(gè)三角函數(shù)方程。使用倍角公式將該三角函教方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)四次代數(shù)方程，并進(jìn)而求出了解析解.使用解析解可以簡(jiǎn)化拋物線剖面設(shè)計(jì)過(guò)程，減少計(jì)算工作量，提高計(jì)算速度.拋物線井段參敷計(jì)算中需要通過(guò)段長(zhǎng)公式來(lái)反求

2、井斜角，考察了反求井舟角的二分法和Newton選代法，證明了這兩種迭代法的枚斂性質(zhì)，同時(shí)指出二分法的計(jì)算量妄比Newton法少。關(guān)鍵詞：大位移井；拋物線；井眼軌道；數(shù)值計(jì)算；二分法；解析解中圖分類(lèi)號(hào)；TE21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A拋物線剖面是大位移井軌道設(shè)計(jì)中常用的一種剖面類(lèi)型，根據(jù)力學(xué)分析，該類(lèi)剖面可以減小鉆柱的摩阻、改善鉆柱的受力情況。拋物線剖面是二維井身剖面，典型的拋物線剖面通常由4個(gè)井段組成：直井段、圓弧井段、拋物線井段和穩(wěn)斜井段(參見(jiàn)1圖2-6-11)。拋物線剖面的設(shè)計(jì)方法在很多文獻(xiàn)中都有介紹，但是對(duì)具體的數(shù)值計(jì)算方法介紹得較少，例如求拋物線初始點(diǎn)井斜角的方法僅指出使用迭代法，但是使用哪種迭

3、代格式以及迭代收斂性能如何都不提及。本文對(duì)拋物線剖面設(shè)計(jì)求解過(guò)程中的求拋物線初始點(diǎn)井斜角的數(shù)值方法和從段長(zhǎng)求井斜角的數(shù)值方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析，給出了相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)的證明，并給出了數(shù)值計(jì)算的具體步驟。本文結(jié)果可以看成是對(duì)有關(guān)文獻(xiàn)中的設(shè)計(jì)方法的細(xì)化和補(bǔ)充，也對(duì)大位移井軌道設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)軟件開(kāi)發(fā)有重要的指導(dǎo)意義。1數(shù)學(xué)模型拋物線剖而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型如下U,婦：弘)cos©!+死(sinab一sinai)+£()H(1)Ztan血tana”Lisinai+R?(cosa】一cosab)+p()+ALisinaq=At(2)tanaitana4式中:直井段的長(zhǎng)度，m；%直井段的井斜角，弧度

4、；死圓弧井段的曲率半徑，m；m-拋物線井段初始點(diǎn)的井斜角，弧度；P拋物線特征參數(shù)，m；a4穩(wěn)斜井段的井斜角，弧度；L,穩(wěn)斜井段的K度，m；H,靶點(diǎn)垂深，m；A,靶點(diǎn)平移，m。對(duì)于通常的設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，第一個(gè)井段是直井段，這時(shí)a.=0；如果第一個(gè)井段是斜直井段，則ai>0o在方程組(12)中，有5個(gè)待定參數(shù):Li、R2、需要將其中3個(gè)參數(shù)指定為已知的。本文討論已知LR2和AL,的情況下的求解方法，這時(shí)，待求參數(shù)為P和式(12)可以變換成下面的形式：2(Ho&sinab)()tanattanzz4(Ao4-R2cosab)()=0(3)lana%tana4p=氣+田罕(4)tanabtan

5、a4式中：Ho=HtLicosai4cosa4+&sinaiA。=ALisinai弘4sina4R2cosa)從式(4)可以看出，如果已經(jīng)求出了初始井斜角g,則直接就可以計(jì)算出拋物線特征參數(shù)而式(3)只包含未知數(shù)m，與拋物線特征參數(shù)。無(wú)關(guān)，故只需要研究方程(3)的解法。收«BW：2009-04-28作者簡(jiǎn)介：自港，高級(jí)工程師.1963年生,1985年畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，主要從事石油鉆探領(lǐng)域數(shù)學(xué)模型及算法的理論研究和計(jì)算機(jī)軟件開(kāi)發(fā).劉修善A妃建議使用迭代法求解方程(3);但是對(duì)于迭代法的具體實(shí)現(xiàn)沒(méi)有進(jìn)一步的討論。實(shí)際上，方程(3)可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)四次代數(shù)方程，從而使用求根公式宜

6、接求出精確解來(lái),而不必使用迭代法求近似解。2解析解從式(3)得：_!_()=九一sinm(5)2tanottana,ao一cosab式中：h=HJR2a=A(JRi令Z=tan?，并利用三角函數(shù)中的倍角公式得：2/smm=171一戶(hù)c。=rr?2/tan=商？F是，式(5)化簡(jiǎn)成F面的形式：F(z)=0(6)式中：F(Q=(a-W+2(Q+&)/-6/+2(6&)£(.a1)&=tana：6=2/1記ti=tanyr4=tan號(hào)，由于OWaiVgVaV號(hào),可知：0<4WhVl。顯然，方程(6)是關(guān)于未知數(shù)，的四次代數(shù)方.程，根據(jù)代數(shù)方程理論，該方程最多有

7、4個(gè)實(shí)數(shù)解。根據(jù)四次代數(shù)方程的Ferrari解法匠們，方程(6)可以解析求解。在所得到的實(shí)數(shù)解中選擇滿(mǎn)足，iVfV&的最小實(shí)數(shù)解作為方程(6)的解。在求得I之后，從F式計(jì)算拋物線初始井斜角:m=2arctan(z)進(jìn)而再?gòu)氖?4)計(jì)算拋物線特征參數(shù)p。3拋物線井段參數(shù)計(jì)算假設(shè)拋物線井段的初始點(diǎn)為P,其井深為1,2,對(duì)于拋物線井段上井深為L(zhǎng)的任意一點(diǎn)Q,記3=L-Lt，則有七=#(Intan晉)2Lsinabtanab匕(Intan芻)(7)sinatanaL_=p()taitobtana川)=2(1一蓋)吐+Kp式中:。是Q點(diǎn)的井斜角，孤度；4A是Q點(diǎn)相對(duì)于P點(diǎn)的平移，mMH是Q點(diǎn)相對(duì)

8、于。點(diǎn)的垂深增最，m；&是Q點(diǎn)的井眼曲率，孤度/m°對(duì)于給定的段長(zhǎng)AL,需要從式(7)中求出井斜角a；劉修善3婦建議使用迭代法求解方程(7),但是對(duì)于迭代法的具體實(shí)現(xiàn)沒(méi)有進(jìn)一步的討論。卜面對(duì)求方程(7)數(shù)值解的迭代方法進(jìn)行討論。3.1二分法設(shè)tan3=“，利用三角函數(shù)中的倍角公式從式(7)得到F面的方程：/(x)=lnr+-|-(x)2M=0(8)乙JC式中：M=+Intan亨:p2sinabtanab因此，求解方程(7)轉(zhuǎn)化成求解方程(8)。下面討論函數(shù)/()的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)。記£b=tan亨，由于0VabWaWa<專(zhuān)，口J知：OVdCrW廿VI。(1) 導(dǎo)數(shù)

9、函數(shù)/(x)=號(hào)(1+§)2>0這說(shuō)明函數(shù)八"在正實(shí)數(shù)軸上是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)。(2) ，(代)=一些V0P號(hào)"+矗)>。根據(jù)上述兩條性質(zhì)可知：函數(shù)八)在區(qū)間&,此上有唯一零點(diǎn)。由于函數(shù)/("在該區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，滿(mǎn)足二分法的使用條件，所以可以使用二分法快速求出方程(8)的數(shù)值解。二分法的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)參見(jiàn)文獻(xiàn)61。3.2Newton迭代法記：<p（a）=M（intan芻）sinatanaZ其導(dǎo)數(shù)函數(shù)為：%）<0sma二階導(dǎo)數(shù)為：/（a）=尊>0sin'a在端點(diǎn)的函數(shù)值為：么&）=穿>0寸（叫）=_

10、2必二）°PP式中：業(yè)3=£（一"Intan辱）_ZLsinezbtartob2（-Intan岑）sino»taivu2_為拋物線井段的長(zhǎng)度，m。所以，以ab為迭代初始值的Newton迭代法滿(mǎn)足收斂定理的限制條件，故亦可以使用Newton迭代法求方程（7）的數(shù)值解。不過(guò)要注意的是，計(jì)算一次函數(shù)9（。）需要計(jì)算3個(gè)三角函數(shù)和1個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，而計(jì)算1次函數(shù)yer）只需要計(jì)算1個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，不'需要計(jì)算三角函數(shù)，顯然，使用函數(shù)/（）進(jìn)行迭代計(jì)算要比使用函數(shù)甲（。）進(jìn)行迭代計(jì)算的工作量:要少的多。4算例某大位移井的靶點(diǎn)垂深Ht=2800m、水平位移At=60

11、00m,造斜點(diǎn)深度小刁=300m,且造斜點(diǎn)以上為垂直井段，即=0若圓弧過(guò)渡段的造斜率為K2=10730m、穩(wěn)斜段的井斜角04=78°,試采用拋物線剖面設(shè)計(jì)該大位移井軌道（文獻(xiàn)4算例6.-16）。如果給定穩(wěn)斜段的段長(zhǎng)為=3000m,將拋物線特征參數(shù)P和初始點(diǎn)井斜角m作為待求參數(shù)。根據(jù)設(shè)計(jì)條件求得：F（z）=15.83J+36.93?一6/+36.0&一17.83根據(jù)四次代數(shù)方程的求根公式，求得方程F.）=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根“1=一2.81M=0.43。由于么<0,0</2<1,可知如是所要的根。從而進(jìn)一步求得：Qb=46.45°,/>=4081.5

12、1vnL3=3528.71m。計(jì)算結(jié)果與4完全相同。如果給定穩(wěn)斜段的段長(zhǎng)為=3541.12m,使用本文解析解方法求得：m=42.00°,/>=2775.00mL3=3037.19mo對(duì)于拋物線井段上井深L=2000m的點(diǎn),z!L=l574m的，使用二分法求得函數(shù)/&）的實(shí)數(shù)根為1=0.276,進(jìn)而求得該點(diǎn)的井斜角a=55.39°0計(jì)算結(jié)果與4完全相同。5結(jié)論：（1）拋物線剖面設(shè)計(jì)中的拋物線初始點(diǎn)井斜角滿(mǎn)足一個(gè)三角函數(shù)方程，通常使用迭代法求近似解。經(jīng)過(guò)變量變換，該方程可以歸結(jié)為一個(gè)四次代數(shù)方程，進(jìn)而可以求出解析解。解析解可以簡(jiǎn)化方程的求解過(guò)程，提高計(jì)算速度和解的

13、精確度。（2）拋物線井段參數(shù)計(jì)算中，軌道上每點(diǎn)的井斜角需要根據(jù)相對(duì)段長(zhǎng)通過(guò)解一個(gè)非線性方程來(lái)確定。證明了通常使用的Newton迭代法滿(mǎn)足收斂限制條件，但是每步計(jì)算量較大。提出了該非線性方程的一個(gè)等價(jià)方程，證明了新方程具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。滿(mǎn)足二分法的使用條件。使用二分法求解這個(gè)方程，可以減少每步計(jì)算量，并旦有可靠的收斂性。（3）本文提出的兩種新的方法可以用于拋物線剖面設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)軟件開(kāi)發(fā)中，對(duì)于提高軌道設(shè)計(jì)軟件的計(jì)算性能具有一定的意義。參考文獻(xiàn)1韓志勇.定向鉆井設(shè)計(jì)與計(jì)算M.北京：中國(guó)石油大學(xué)出版社,2007:164-1672劉修善，周大千，李世斌.等.拋物線型定向并剖面的設(shè)計(jì)原理及方法J.大慶石油學(xué)學(xué)報(bào),1989,13（4）,29-,373劉修善.拋物線型井眼軌道的數(shù)學(xué)模型及其設(shè)計(jì)方法