易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計模型68441

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計模型錢益鋒 羅堅堅 董龍寅(2006年獲全國一等獎)摘 要：本文主要考慮當容積一定時，如何設計易拉罐的形狀和尺寸，使得所用材料最省。首先對易拉罐進行測量，對問題二、問題三、問題四建立數學模型，并利用LINGO軟件結合所測的數據進行計算，得出最優(yōu)易拉罐模型的設計。模型一，對正圓柱體形狀的易拉罐，當容積一定時，以材料體積最小為目標，建立材料體積的函數關系式，并通過求二元函數條件極值得知，當圓柱高為直徑兩倍時，最經濟，并用容積為360 ml進行驗算，算得，與市場上凈含量為355ml的測得的數據基本接近。模型二，對上面部分為正圓臺、下面部分為正圓柱的易拉罐同樣在容積量一定時，

2、考慮所用材料最省，建立優(yōu)化模型，并通過LINGO軟件仍用容積為360 ml進行驗算，算得，高之和約為直徑的兩倍。模型三，考慮到罐底承受的壓力，根據力學上橫梁支點的受力與拱橋設計的原理，設計底部支架（環(huán)形）與一定弧度的拱面，同時利用黃金分割，將直徑與高之比設為0.618，建立容積量一定時材料最省的優(yōu)化模型，再將有關數據代入計算，得到結論，現行易拉罐的設計從某種意義上不乏是最優(yōu)設計。關鍵詞：優(yōu)化模型 易拉罐 非線性規(guī)劃 正圓柱 正圓臺一、問題重述銷量很大的飲料容器(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應該是某種意義下的最優(yōu)設計，而不是偶然。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可

3、能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F針對以下問題，研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計問題。問題一：取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量驗證模型所需要的數據，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數據列表加以說明；如果數據不是測量得到的，那么必須注明出處。問題二：設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。問題三：設易拉罐的中心縱斷面如圖1所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明

4、你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。問題四：利用所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。同時，以做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文(不超過1000字，論文中必須包括這篇短文)，闡述什么 圖1是數學建模、它的關鍵步驟，以及難點。 二、問題分析在易拉罐設計的實際情況中，我們必須保證罐內體積大于飲料的凈含量，同時考慮到飲料對罐體各部分的應力，需確定罐蓋、罐底和罐壁的厚度，在此情況下的最優(yōu)是使得容積一定時，所用的材料最省。在問題一中對于各個部分的數據可以直接測量，利用千分卡對易拉罐進行測量；問題二是對正圓柱體的易拉罐在容積一定時，以半徑和高之比為衡量最優(yōu)設計的

5、標準；問題三中，對比問題一中所測得的數據，發(fā)現易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，因此我們在解決此問題時可以假設罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，再利用規(guī)劃方法求解由圓臺和圓柱體組成的易拉罐的最優(yōu)設計。在問題四中根據問題二、三的模型所求得的數據與測量的數據進行比較，以及觀察市場上正規(guī)廠家生產的碳酸和非碳酸飲料易拉罐的異同之處，作出關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)模型。三、模型假設1、根據薄壁圓筒的應力分析，假設易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍。2、易拉罐各接口處的材料忽略不計。3、易拉罐各部分所用的材料相同。4、單位體積材料的價格一定。5、相同類型易拉罐的容積相同。四、模型建立與求解目前市場上大部分的

6、易拉罐形狀可以分成兩類：一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分是正圓臺（如圖2所示）；另一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分與下面部分都是正圓臺（如圖3所示）。 如圖2 如圖3我們用千分卡尺對杭州中萃食品有限公司生產的可口可樂易拉罐進行了測量，分別測量數據如下表。（單位；） 罐高123.7罐柱內徑61.29上圓臺高13.5下圓臺高7.7罐蓋內徑58.17罐底厚0.29罐蓋厚0.29罐底拱高10.11圓柱體高102.5罐壁厚0.135 由上表可知：罐底與罐蓋的厚度大約是柱壁厚度的2倍；高大約為正圓柱直徑的2倍。易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計就是確保盛放飲料時容器不變形、放置穩(wěn)定、運輸安全的前提

7、下，如何設計形狀與尺寸才能使一定容積量的易拉罐所用的材料最省，為此我們分別對問題二、問題三、問題四建立模型如下：模型一：正圓柱體模型假設易拉罐是一個正圓柱體，罐內半徑為，罐內高為，罐壁厚為，根據假設1可知，罐底與罐蓋厚為，所以制作材料的體積為：= 因為，故項可以忽略不計。因而于是，問題就是求目標函數在條件下的最優(yōu)解。即min s.t. 利用Lagrange 乘子法求解，作函數令即消去得：，。唯一的駐點就是問題的極值點，也是此問題的最優(yōu)解。由上述可知，當罐高為罐內直徑的兩倍時，正圓柱體的易拉罐所用的材料最省。這與我們目前市場上的可口可樂易拉罐的形狀大致相同。若用代入計算得，這與我們所測凈含量為的

8、易拉罐高123.7與罐體半徑30.51還是比較接近的（飲料罐不能裝滿飲料，必須留有一定的空間余量）。但也看出兩組數據之間也存在一定差異，這是因為我們所測量的易拉罐下底并非是一個圓面，而是一個向上凸的拱面，接近上、下底部分是兩個正圓臺。模型二：主體為正圓柱體，上面部分為正圓臺模型當易拉罐的上面部分是一個正圓臺，下面部分是正圓柱體時（如圖4），假設正圓柱體部分的罐內半徑為，罐內高為，罐壁厚為；正圓臺部分上底內半徑為，正圓臺內高為。根據假設1可知，易拉罐罐底與罐蓋的厚度均為，仍以制作易拉罐的材料最省作為最優(yōu)設計。由于考慮到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需的材料等于外徑體積減去內徑體積進

9、行計算。易拉罐正圓臺部分所用的材料體積： 圖4 因為，故可以忽略，則易拉罐正圓臺部分的材料體積為：易拉罐正圓柱部分的材料體積：因為，故可以忽略。則易拉罐正圓柱所用的材料體積：所以，易拉罐的總材料體積為：要使生產易拉罐的費用最省，同理可建立優(yōu)化模型： s.t利用LINGO軟件（附錄一）計算得出=30.6,mm，；顯然，易拉罐的形狀是正圓柱體。也就是說在容積相同的情況下，正圓柱體形的易拉罐要比上面部分是正圓臺、下面部分是正圓柱體的易拉罐省材，但是問題要求設計的上面部分是正圓臺的易拉罐，因此需要進一步改進。根據所測易拉罐的數據分析，假設易拉罐的正圓臺高為正圓柱高的8%，正圓臺的上內徑為正圓柱內徑95

10、%。 s.t利用LINGO軟件進行求解（附錄二），分別得出：=30.87,=29.33, ，這與我們所測得數據比較接近。模型三：易拉罐的最優(yōu)設計模型對于盛裝碳酸飲料的容器，不僅要考慮省材，還要考慮盛放與搬運中的安全、方便、實用。如果把易拉罐設計成球體，在一定容量的情況下材料最省，但對于放置、儲存等會帶來諸多的不便（球與球之間的空隙大）。根據幾何原理，罐底為平面放置最穩(wěn)，主體為正圓柱體最優(yōu)。但考慮到碳酸飲料的壓力等因素，罐底與罐蓋要考慮牢固性，根據橫梁受力的原理：當梁的支座從兩端往中間移時，其載荷將會提高。 根據此原理，我們在易拉罐的底部設計了一個底軌（環(huán)形），并使其向量移動0.2R，這樣既可以

11、提高易拉罐底的載荷，也可以使其擺放平衡。底軌的厚度為兩個底厚加上它們之間的空隙，約為6b。因此在罐底的底軌與正圓柱的連接處就形成了一個正圓臺，與此對應，我們在正圓柱的上面也設計了一個正圓臺，進而從美學的角度考慮，根據黃金分割點將將直徑與高的比設為0.618，同時在罐口設計了一個圓槽，使其內徑略大于底軌外徑，當兩罐飲料疊放時，上面一罐飲料的底部可以嵌入下面一罐飲料的罐蓋的圓槽，便于放置。在罐底部分，根據拱橋的原理：橋面設計成一定的拱形時，它的受力比一般平面橋要大得多。因此我們把罐底底軌內的部分設計成具有一定弧度的拱面，使其能夠更好的承受罐內液體的壓力。綜上所述，可將易拉罐罐體設計成三部分：上部為

12、正圓臺，高為，上圓臺罐口內半徑為；中部為正圓柱，高為，罐體正圓柱內半徑為；下部為正圓臺，高為，罐底內半徑為，罐底拱高為（如圖5所示）。又設罐體壁厚為，罐底、罐蓋厚為，對各部分進行材料體積計算。易拉罐上正圓臺部分的材料體積： 圖5 因為，故可以忽略，則易拉罐正圓臺部分的材料為： 易拉罐正圓柱部分的材料體積：因為，故可以忽略，則易拉罐正圓柱部分的材料體積：易拉罐下正圓臺側面部分的材料： = 易拉罐底部材料的體積：所以，易拉罐所用的總材料體積為： 當易拉罐所需的總材料最少，則生產該易拉罐的費用最省，建立優(yōu)化模型如下： s.t當，時，利用LINGO（附錄三）解得：，=11.23，這樣設計出來的易拉罐取

13、材省，外觀美麗。 五、模型評價與改進此模型通過實際數據,將理論分析和實際狀況進行比較，有較強的現實意義。能兼顧安全、實用、方便、美觀、經濟，理論引用可信度較高。但在模型中沒有考慮接口處的材料，由于時間關系，對罐底、罐蓋與罐壁的厚度等對比沒有作深入的研究。期望能在此方面加以改革，以達到最經濟的效果。六、建模體會數學建模是一項以培養(yǎng)青年學生創(chuàng)新思維、團結協(xié)作、綜合應用能力、提高學生素質為目的的活動、深受青年學生的青睞，我們是這項活動的喜愛者、參與者、受益者。通過數學建模的學習與實踐，我們懂得了數學建模就是把現實世界中的實際問題加以提煉。用數學語言符號描述問題的內在聯(lián)系，然后用適當的數學工具建立相應

14、的數學模型，進而用數學知識、數學軟件等求出模型的解，并驗證模型的合理性。用該數學模型解釋現實問題，甚至解決一些當前生產、生活中的技術難關，并將部分模型應用于實際生產中，給社會帶來巨大的經濟效益。數學建模的關鍵步驟可以歸納為：模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型檢驗及模型應用等。對于我們來說，如何解讀實際問題，掌握各種信息與數據，抓住其本質，再用所學的數學知識建立模型是難點。就易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計而言，考慮了易拉罐罐底為何設計成呈弧形的拱面，這樣設計對易拉罐有何作用，如何設計易拉罐各部分材料的厚度以及形狀，并證明所需要的材料是最省的，即對產家而言所需的費用是最省的，然而在此基礎上

15、還需考慮到罐內氣體對易拉罐各部分的應力以及易拉罐的承受能力，并用數學的方式進行表達和證明，說明我們所設計的易拉罐是合理的，這是問題的關鍵所在，也是本模型的最大難點，而數學建模的最大難點也在于如何建立數學模型將理論轉化為實際問題。通過數學建?；顒邮刮覀冋嬲昧藬祵W的魅力，它的應用十分廣泛，可以滲透到工程、生物、經濟、環(huán)境、能源等各個鄰域，也使我們學會了學習，學會了合作，學會了利用網絡及我們所學的知識去解決問題的思想。這對我們今后的學生時代及走上崗位后的職業(yè)生涯會終身受益。參考文獻1 劉鴻文，材料力學，人民教育出版社，1979.2. （第154頁）2 吳建國，數學建模案例精編，北京市三里河路6號

16、：中國水利水電出版社， 2005.1(第89頁)3 數學手冊編寫組，數學手冊，北京印刷二廠：人民教育出版社，1979 (第81頁)4 姜啟源 謝金星 葉俊，數學模型第三版，北京市西城區(qū)德外大街4號：高等教育出版社， 2004.25admin，鋁制易拉罐成形工藝及模具， ，20069156劉代祥，飲料包裝研究，2006915附錄附錄一model:b=0.135;v=360000;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+2*3.14*b*(R2+R*r1+r12)/3+2*3.14*b*R2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b2*(4*R+h2);3.

17、14*R2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r12/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;R>=r1;end Local optimal solution found at iteration: 130 Objective value: 4785.179 Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000 V 360000.0 0.000000 H1 118.9332 0.000000 R 30.60349 0.000000 R1 30.60349 -0.6001035E-07 H2 3.480709 -0.1719013E-06

18、 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -35601.72 2 0.000000 -0.8841982E-02 3 4785.179 -1.000000 4 0.000000 -0.8841982E-02 5 0.000000 -24.57812附錄二model:b=0.135;v=360000;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+2*3.14*b*(R2+R*r1+r12)/3+2*3.14*b*R2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b2*(4*R+h2);3.14*R2*(h2+h1/3)+3

19、.14*h1*r12/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;R>r1;r1>=0.95*R;h1>=0.08*h2; Local optimal solution found at iteration: 131 Objective value: 4751.322 Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000 V 360000.0 0.000000 H1 8.940641 0.000000 R 30.87646 -0.1512417E-06 R1 29.33264 0.000000 H2 111.7580 0.0000

20、00 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -35349.82 2 0.000000 -0.8779419E-02 3 4751.322 -1.000000 4 0.000000 -0.8779424E-02 5 1.543823 0.000000 6 0.000000 -21.85243 7 0.000000 -0.5905080附錄三model:b=0.135;v=360000;d=7;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+6.28*b/3*(R2+R*r1+r12)+6.28*b*R2+6.28*b*R*h2+3.14* (4*b2*R+b2*h2)+b*3.14*h3*(b+R+r2)+3.14*(d+2*r22);3.14*R2*h2+3.14*h1*(R2+r*r1+r1