有關(guān)洛必達法則

1、洛必達法則若，則 稱為的待定型。類似的待定型有：，。 ， ，下面的洛必達(Lhospital，1661一1704)法則，有助于我們求解這類待定型的極限定理5.6 若(1) ,在可導(dǎo)且，其中；(2) 0；(3) ，在直觀上是不難理解的：兩個無窮小量的比等于它們變化速度的比則 證明 補充定義0，則當(dāng)時，用柯西中值定理 ，.當(dāng)時，故 注1 極限可以是有限數(shù)，也可以是或，結(jié)論仍成立。注2 對，定理條件作相應(yīng)的改變后，結(jié)論仍成立。注3 對，定理條件作相應(yīng)的改變后，結(jié)論仍成立。定理5.6證完。 定理5.7 若(1) ，在可導(dǎo)，且，其中是某個實數(shù)；(2) 0；(3) ，則 . 證明 作變換，則 證完。例1

2、求 解 例2 求極限 解1 （羅比達法則） （因子分解） （羅比達法則）解2 （無窮小代換） （羅比達法則） （羅比達法則）關(guān)于待定型，也有類似的洛必達法則定理5.8 若(1) ，在可導(dǎo)且，其中；(2) ；(3) ，則 思考：一個想法是用待定型的結(jié)果： 而 有人說 則 ， 得證。？另一個想法是用待定型的證明方法。但這時不可能補充定義和，使得柯西中值定理可以直接應(yīng)用。我們嘗試修改一下的證明方法?？紤] 第一項不好處理， 考慮用柯西中值定理，考慮充分接近于的一點，則 于是 （）（） 在與之間 第二項好處理，下面看第一項。 第二項在固定后可任意小(因)，問題在第一項仍保留了的形式。重新考慮這樣兩項均可

3、任意小。總結(jié)上述()（）定理5.8的證明 不妨對的情形加以證明，的情形只需把證明略加修改即可。對任意(不妨設(shè)1)，由假設(shè)知存在(不妨設(shè))，當(dāng)時，有 在內(nèi)取定，則對中任意，有 ，同時還有 于是只要且，有 。對固定的，由，知存在，只要，有 .取，則只要，就有 +=定理5.8證完。注 同理可證當(dāng)時待定型的洛必達法則.例4 證明0，其中解 用洛必達法則，有 0根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，便得所要證的結(jié)果。 其他類型的待定型，可化為上述兩種待定型解決。待定型 可化為或待定型.若，則 ，待定型 可化為待定型。若，則，待定型 可化為待定型 若1，則，待定型 可化為待定型（同上）。例6 求，其中.解 這時待

4、定型，可化為解決.0。在用洛必達法則求待定型時，應(yīng)注意以下幾點：（1）在或待定型中，不存在，不能斷言不存在！例如 但 ，極限不存在（2）連續(xù)多次使用羅比達法則時，每次都要檢查是否滿足定理條件。只有待定型才能用洛必達法則，否定會引導(dǎo)到荒謬的結(jié)果例如 . （極限不存在 且不是待定型） 事實上 1，（3）誰放分子，誰放分母是有講究的，例如 =,就不能得到任何結(jié)果。（4）極限存在的因子可先分離出來；（5）運用洛必達法則常結(jié)合無窮小代換。例1 求 解法1 （羅比達法則，無窮小代換） （羅比達法則）故 解法2 （無窮小代換） （羅比達法則，無窮小代換） 故 問題1 下面的解法錯在哪里？因為，則 問題2 下面的解法錯在哪里？因為，則例2 ，且，。求。解 問題3 以下解法對否？