拓撲學(xué)發(fā)展史

1、拓撲學(xué)發(fā)展史及其應(yīng)用【摘要】【關(guān)鍵字】拓撲學(xué)、【正文】一、什么是拓撲學(xué)拓撲學(xué)，是近代發(fā)展起來的一個研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱起源于希臘語的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。發(fā)展至今，拓撲學(xué)主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質(zhì)和不變量。 拓撲學(xué)是數(shù)學(xué)中一個重要的、基礎(chǔ)的分支。起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)(所謂連續(xù)變形，形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合)；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。 學(xué)科方向由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓撲

2、學(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支。在拓撲學(xué)的孕育階段，19世紀末，就拓撲 拓撲學(xué)已出現(xiàn)點集拓撲學(xué)與組合拓撲學(xué)兩個方向。現(xiàn)在，前者演化為一般拓撲學(xué)，后者則成為代數(shù)拓撲學(xué)。后來，又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學(xué)、幾何拓撲學(xué)等分支。 數(shù)學(xué)的一個分支，研究幾何圖形在連續(xù)改變形狀時還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。英topology 舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學(xué)里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。

3、例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。這些就是拓撲學(xué)思考問題的出發(fā)點。 簡單地說，拓撲就是研究有形的物體在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。拓撲學(xué)由來幾何拓撲學(xué)是十九世紀形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓撲學(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀就出現(xiàn)了。那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓撲學(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學(xué)發(fā)展史的重要問題。 哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩

4、個島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個問題找到了當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖

5、形所應(yīng)具有的條件。這是拓撲學(xué)的“先聲”。 在拓撲學(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個定理內(nèi)容是：如果一個凸多面體的頂點數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓撲學(xué)發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。中國曾邦哲于20世紀80-90年代（結(jié)構(gòu)論）將其命題轉(zhuǎn)換為“四色定理”等價于“互鄰面最大的多面體是四面體”的問題。 拓撲學(xué)四色猜想的提出來自英國。1

6、852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色?！?1872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜

7、想相媲美的難題。 進入20世紀以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法。 上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學(xué)”的先聲。拓撲學(xué)是數(shù)學(xué)中一個重要的、基礎(chǔ)性的分支。它最初是幾何學(xué)的一

8、個分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。 拓撲學(xué)起初叫形勢分析學(xué)，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中強調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢分析學(xué)。從此開始了現(xiàn)代拓撲學(xué)的系統(tǒng)研究。 連續(xù)性和離散性是自然界與社會現(xiàn)象中普遍存在的。拓撲學(xué)對連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意義的，對于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動作用。拓撲學(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的常識。拓撲學(xué)的概念和方法在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應(yīng)用。 拓撲學(xué)是幾何學(xué)的一個分支，它是從圖論演變過來的。拓撲學(xué)將實體抽象成與其大小、形狀無關(guān)的點，將連接實體的線路抽象

9、成線，進而研究點、線、面之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)拓撲通過結(jié)點與通信線路之間的幾何關(guān)系來表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡(luò)中各個實體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。拓撲設(shè)計是建設(shè)計算機網(wǎng)絡(luò)的第一步，也是實現(xiàn)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的基礎(chǔ)，它對網(wǎng)絡(luò)性能、可靠性與通信代價有很大影響。網(wǎng)絡(luò)拓撲主要是指通信子網(wǎng)的拓撲構(gòu)型。 編輯本段拓撲性質(zhì)拓撲性質(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質(zhì)。 在拓撲學(xué)里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。換句話講，就是從拓撲學(xué)的角度看，它們是完全一樣的。 在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這

10、樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。 應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個性質(zhì)。把環(huán)面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓撲學(xué)中是不同的曲面。 直線上的點和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質(zhì)。在拓撲學(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓撲性質(zhì)。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比

11、烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿，因為只有一個面。 拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。 編輯本段拓撲發(fā)展拓撲學(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓撲學(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進了拓撲學(xué)的進展。 二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學(xué)，為拓撲學(xué)開拓了新的面貌。拓撲學(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點集的對應(yīng)的概念。拓撲學(xué)中一些需要精確化描述的問題都可以應(yīng)用集合來論述。 因為大量自然現(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓撲學(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實際事物的可能性。通過拓撲學(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。上世紀三十年代

12、以后，數(shù)學(xué)家對拓撲學(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓撲和微分幾何的聯(lián)系，并推進了整體幾何學(xué)的發(fā)展。 拓撲學(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學(xué)，或者叫做分析拓撲學(xué)。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓撲?，F(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。 拓撲學(xué)在泛函分析、李群論、微

13、分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。 編輯本段發(fā)展簡史形勢分析學(xué)拓撲學(xué)起初叫形勢分析學(xué)，這是G.W.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質(zhì)，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質(zhì)，經(jīng)過20世紀30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結(jié)和嵌入問題就是勢的問題)。隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對拓撲空間的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問題，1750年發(fā)表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓撲學(xué)這個詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(18

14、47)，源自希臘文(位置、形勢)與(學(xué)問)。這是萌芽階段。 1851年起，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢分析學(xué)。從此開始了拓撲學(xué)的系統(tǒng)研究，在點集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓撲概念， 組合拓撲學(xué)的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學(xué)問題的，但他的方法有時不夠嚴密，他的主要興趣在n維流形。在18951904年間

15、，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， 拓撲學(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，實數(shù)的嚴格定義推動G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函

16、數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀之交，已經(jīng)形成了組合拓撲學(xué)與點集拓撲學(xué)這兩個研究方向。這是萌芽階段。 一般拓撲學(xué)最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在19 拓撲學(xué)06年引進了度量空間的概念。F.豪斯多夫在集論大綱（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓撲學(xué)的產(chǎn)生。L.歐拉1736年解決了七橋問題，隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對拓撲空間的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過20世紀30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補充（一

17、致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學(xué)趨于成熟，成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學(xué)研究的共同基礎(chǔ)。從其方法和結(jié)果對于數(shù)學(xué)的影響看，緊拓撲空間和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓撲學(xué)晚近的發(fā)展可見一般拓撲學(xué)。 歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學(xué)的重要部分，已發(fā)展成一般拓撲學(xué)與代數(shù)拓撲學(xué)交匯的領(lǐng)域，也可看作幾何拓撲學(xué)的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學(xué)派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發(fā)揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的研究，習(xí)慣上也看成一般拓撲學(xué)的分支。 代數(shù)拓撲學(xué)L

18、.E.J.布勞威爾在19101912年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法， 許多重要的幾何現(xiàn)象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開創(chuàng)了不動點理論。他使組合拓撲學(xué)在概念精確、論證嚴密方面達到了應(yīng)有的標(biāo)準(zhǔn)，而歐拉數(shù)-e+?則是）。成為引人矚目的學(xué)科。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓撲不變性。如連通性、緊性）， 隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓撲學(xué)建立在群論的基礎(chǔ)上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓撲學(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓撲問題的代數(shù)拓撲學(xué)。如維

19、數(shù)、歐拉數(shù)，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結(jié)了當(dāng)時的同調(diào)論，后寫成代數(shù)拓撲學(xué)基礎(chǔ)(1952)，對于代數(shù)拓撲學(xué)的傳播、應(yīng)用和進一步發(fā)展起了巨大的推動作用。他們把代數(shù)拓撲學(xué)的基本精神概括為：把拓撲問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過計算來求解。同調(diào)群，以及在30年代引進的上同調(diào)環(huán)，都是從拓撲到代數(shù)的過渡（見同調(diào)論）。直到今天，三角形與圓形同胚；而直線與圓周不同胚，同調(diào)論（包括上同調(diào)）所提供的不變量仍是拓撲學(xué)中最易于計算的，因而也最常用的。不必加以區(qū)別。 同倫論研究同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨19351936年間引進了拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的

20、映射的同倫類，而且?同它的逆映射?-1:BA都是連續(xù)的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓撲到代數(shù)的另一種過渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調(diào)群更明顯， 前面所說的幾何圖形的連續(xù)變形，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激了拓撲學(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來的譜序列這個代數(shù)工具，最簡單的例子是歐氏空間。在同倫群的計算上取得突破，為其后拓撲學(xué)的突飛猛進開辟了道路。 從50年代末在代數(shù)幾何學(xué)和微分拓撲學(xué)的影響下產(chǎn)生了K 理論，解決了關(guān)于流形的一系列拓撲問題開始，出現(xiàn)了好幾種廣義同調(diào)論。它們都是從拓

21、撲到代數(shù)的過渡，就是一個廣義的幾何圖形。盡管幾何意義各不相同，如物理學(xué)中一個系統(tǒng)的所有可能的狀態(tài)組成所謂狀態(tài)空間，代數(shù)性質(zhì)卻都與同調(diào)或上同調(diào)十分相像，是代數(shù)拓撲學(xué)的有力武器。從理論上也弄清了，同調(diào)論（普通的和廣義的）本質(zhì)上是同倫論的一部分。 從微分拓撲學(xué)到幾何拓撲學(xué)微分拓撲學(xué)是研究微分流形與微分映射的拓撲學(xué)。這些性質(zhì)與長度、角度無關(guān)，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨著代數(shù)拓撲學(xué)和微分幾何學(xué)的進步， 以上這些例子啟示了：幾何圖形還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來研究的性質(zhì)。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間

22、作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的向量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調(diào)（示性類）和同倫問題聯(lián)系起來了。 1953年R.托姆的協(xié)邊理論(見微分拓撲學(xué))開創(chuàng)了微分拓撲學(xué)與代數(shù)拓撲學(xué)并肩躍進的局面，許多困難的微分拓撲問題被化成代數(shù)拓撲問題而得到解決，同時也刺激了代數(shù)拓撲學(xué)的進一步發(fā)展。從動點指向其像點的向量轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。1956年J.W.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。每個不動點也有個“指數(shù)”，隨后，不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個范疇有巨大的差別，微分拓撲學(xué)也從此被公

23、認為一個獨立的拓撲學(xué)分支。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法剜補術(shù)，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數(shù)化。 近些年來，有關(guān)流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。突出的領(lǐng)域如流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學(xué)，以強調(diào)其幾何色彩，而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點的向量場。區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。 初等實例柯尼斯堡的七橋問題（一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府，(m.a.armb，普

24、萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。北京，一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過一次？這個18世紀的智力游戲，孫以豐譯：基礎(chǔ)拓撲學(xué)，被l.歐拉簡化為用細線畫出的網(wǎng)絡(luò)能否一筆畫出的問題，然后他證明這是根本辦不到的。一個網(wǎng)絡(luò)之能否一筆畫出，上海，與線條的長短曲直無關(guān)，只決定于其中的點與線的連接方式。 參考書目 江澤涵著：拓撲學(xué)引論，設(shè)想一個網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸后，能否一筆畫出的性質(zhì)是不會改變的。 歐拉的多面體公式與曲面的分類歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。其頂點數(shù)、棱數(shù) e、面數(shù)?之間總有這個關(guān)系。從這個公式可以證明正多

25、面體只有五種（見正多面體）。在系統(tǒng)理論、對策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓撲學(xué)也都有重要應(yīng)用。值得注意的是，如果多面體不是凸的而呈框形（圖1），也不管框的形狀如何，總有。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別，如拓撲斯的觀念大大拓廣了經(jīng)典的拓撲空間觀念。通俗的說法是框形里有個洞。 在連續(xù)變形下，凸體的表面可以變?yōu)榍蛎?，框的表面可以變?yōu)榄h(huán)面（輪胎面）。例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明，這兩者卻不能通過連續(xù)變形互變。在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語言，怎樣鑒別它們？這曾是19世紀后半葉拓撲學(xué)研究的主要問題。把曲面變形成多面體后的歐拉

26、數(shù)-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用（見閉曲面的分類）。 四色問題在平面或球面上繪制地圖，并且形成了兩個新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù)k 理論。有公共邊界線的區(qū)域用不同的顏色加以區(qū)別。 拓撲學(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，19世紀中期，來自代數(shù)拓撲的層論已經(jīng)成為基本工具。人們從經(jīng)驗猜想用四種顏色就足以給所有的地圖上色。證明這個猜想的嘗試，卻延續(xù)了100多年，到1976年才出現(xiàn)了一個借助于計算機的證明。著名的阿蒂亞辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。要七色才夠。用橡皮做一個曲面模型，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理

27、論和奇點理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。然后隨意扭曲，弄得山巒起伏，促進了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。這對其上的地圖著色毫無影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。 紐結(jié)問題空間中一條自身不相交的封閉曲線，會發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。3o年代j.勒雷和j.p.紹德爾把l.e.j.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。要問一個結(jié)能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結(jié)能否互變（例如，圖2中的兩個三葉結(jié)能否互變），并且不只做個模型試試，還要給出證明，那就遠不是件容易的事了（見紐結(jié)理論）。 維數(shù)問題什么是曲線？樸素的觀念是點動成線，對拓撲學(xué)也十分重

28、要。隨一個參數(shù)（時間）連續(xù)變化的動點所描出的軌跡就是曲線?？墒牵琯.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，它填滿整個正方形！這激發(fā)了關(guān)于維數(shù)概念的深入探討，經(jīng)過2030年才取得關(guān)鍵性的突破（見維數(shù)）。并啟示了處理微分流形的剜補術(shù)。 布線問題（嵌入問題） 一個復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時自然會碰到這個問題。莫爾斯理論后來又用于拓撲學(xué)中，圖3中左面的圖把一根對角線移到方形外面就可以布在平面上，但圖4兩個圖卻無論怎樣挪動都不能布在平面上。把流形上光滑函數(shù)的臨界點的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來，1930年k.庫拉托夫斯基證明，一個網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，為了研究黎曼流形上的測

29、地線，就看其中是否不含有這兩個圖之一。 向量場問題考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場，即在曲面的每一點放一個與曲面相切的向量，并且其分布是連續(xù)的。拓撲學(xué)的重要性，其中向量等于0的地方叫作奇點。例如，地球表面上每點的風(fēng)速向量就組成一個隨時間變化的切向量場，拓撲學(xué)對于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，而奇點就是當(dāng)時沒風(fēng)的地方。從直觀經(jīng)驗看出， 拓撲學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中普遍存在著，球面上的連續(xù)切向量場一定有奇點，區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點的向量場。 進一步分析，每個奇點有一個“指數(shù)”，即當(dāng)動點繞它一周時，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微

30、分結(jié)構(gòu)。動點處的向量轉(zhuǎn)的圈數(shù)；此指數(shù)有正負，視動點繞行方向與向量轉(zhuǎn)動方向相同或相反而定(圖5)。龐加萊發(fā)現(xiàn)，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。球面上切向量場，只要奇點個數(shù)是有限的，這些奇點的指數(shù)的代數(shù)和（正負要相消）恒等于2；而環(huán)面上的則恒等于0（見曲面）。這2與0恰是那兩個曲面的歐拉數(shù)，j.w.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法剜補術(shù)，這不是偶然的巧合。 不動點問題考慮一個曲面到自身的連續(xù)變換（映射），即曲面的每一點被移到該曲面上的新的位置，連續(xù)是指互相鄰近的點被移到互相鄰近的點。不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，新舊位置相同的點叫作這變換的不動點。隨后，每個不動點也有個“指數(shù)

31、”，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。即當(dāng)動點繞它一周時，1956年j.w.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，從動點指向其像點的向量轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。同時也刺激了代數(shù)拓撲學(xué)的進一步發(fā)展。拓撲學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，曲面到自身的映射的不動點個數(shù)如果是有限的，它們的指數(shù)的代數(shù)和不會因?qū)@映射做細微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特征計算出來。特別是對于實心圓上的映射，指數(shù)和恒為1，所以實心圓到自身的映射總有不動點。h.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，這類定理對于證明數(shù)學(xué)中各種方程的解的存在性非常有用（見不動點理論）。 一、 拓撲學(xué)簡介拓撲學(xué)學(xué)科作用拓撲學(xué)對于分析學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展起了極大的推動作用。隨著

32、科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，需要研究各式各樣的非線性現(xiàn)象，分析學(xué)更多地求助于拓撲學(xué)。要問一個結(jié)能否解開（即能否變形成平放的圓圈），3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。后者以及前述的臨界點理論，紐結(jié)問題 紐結(jié)問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，都已成為研究非線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)的工具。所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。微分拓撲學(xué)的進步，促進了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力系統(tǒng)的理

33、論，要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來，是分析學(xué)與拓撲學(xué)結(jié)合的范例?，F(xiàn)代泛函分析的算子代數(shù)已與K 理論、指標(biāo)理論、葉狀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在多復(fù)變函數(shù)論方面，來自代數(shù)拓撲的層論已經(jīng)成為基本工具。 拓撲學(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且形成了兩個新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K 理論。 四色問題 在平面或球面上繪制地圖，代數(shù)幾何學(xué)從50年代以來已經(jīng)完全改觀。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù)-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用。托姆的協(xié)邊論直接促使代數(shù)簇的黎曼羅赫定理的產(chǎn)生，后者又促

34、使拓撲K 理論的產(chǎn)生。現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語言，在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？代數(shù)數(shù)論與代數(shù)群也在此基礎(chǔ)上取得許多重大成果，例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見代數(shù)數(shù)論）。 范疇與函子的觀念，是在概括代數(shù)拓撲的方法論時形成的。范疇論已深入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何學(xué)等分支（見范疇）；對拓撲學(xué)本身也有影響，通俗的說法是框形里有個洞。如拓撲斯的觀念大大拓廣了經(jīng)典的拓撲空間觀念。凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別， 在經(jīng)濟學(xué)方面，這說明，J.馮諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟學(xué)中，對于經(jīng)濟的數(shù)學(xué)模型，均衡的存在性、性質(zhì)、計算等根本問

35、題都離不開代數(shù)拓撲學(xué)、微分拓撲學(xué)、大范圍分析的工具。在系統(tǒng)理論、對策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓撲學(xué)也都有重要應(yīng)用。 托姆以微分拓撲學(xué)中微分映射的奇點理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了突變理論，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用歐拉的多面體公式與曲面的分類 歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)， 除了通過各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外，拓撲學(xué)的概念和方法對物理學(xué)(如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類)、化學(xué)（如分子的拓撲構(gòu)形）、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓撲異構(gòu)酶)都有直接的應(yīng)用。 拓撲學(xué)與各數(shù)學(xué)領(lǐng)域、各科學(xué)領(lǐng)域之間的邊緣性研究方興未艾。 學(xué)科關(guān)系連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中

36、普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓撲學(xué)對于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識。拓撲學(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。 拓撲學(xué)與微分幾何學(xué)有著血緣關(guān)系，向量場問題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場，它們在不同的層次上研究流形的性質(zhì)。就看其中是否不含有這兩個圖之一。為了研究黎曼流形上的測地線，一個網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論，把流形上光滑函數(shù)的臨界點的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來，并發(fā)展成大范圍變分法。莫爾斯理論后來又用

37、于拓撲學(xué)中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K 理論的基石)，并啟示了處理微分流形的剜補術(shù)。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當(dāng)?shù)恼w微分幾何學(xué)提供了合適的理論框架，也從中獲取了強大的動力和豐富的課題。G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，陳省身在40年代引進了“陳示性類”，就不但對微分幾何學(xué)影響深遠，隨一個參數(shù)（時間）連續(xù)變化的動點所描出的軌跡就是曲線。對拓撲學(xué)也十分重要。樸素的觀念是點動成線，纖維叢理論和聯(lián)絡(luò)論一起為理論物理學(xué)中楊米爾斯規(guī)范場論（見楊米爾斯理論）提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架， 維數(shù)問題 維數(shù)問題 什么是曲線？猶如20世紀初黎曼幾何學(xué)對于A.愛因斯坦廣義相

38、對論的作用。規(guī)范場的研究又促進了四維的微分拓撲學(xué)出人意料的進展。參考書目 江澤涵著：拓撲學(xué)引論，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上海，1978。 M.A.Armstrong 著，孫以豐譯：基礎(chǔ)拓撲學(xué)，北京大學(xué)出版社，北京，上有七座橋（見圖論）。1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，是20世紀理論數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個明顯特征。McGraw-Hill， London， 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod，F(xiàn)oundations of Algebraic Topology，又相繼出現(xiàn)了微分拓撲學(xué)、幾何拓撲學(xué)等分支。 Princeton Univ. Pr

39、ess， Princeton，后者則成為代數(shù)拓撲學(xué)。 1952. J.L.凱萊著，現(xiàn)在前者已演化成一般拓撲學(xué)，吳從炘、吳讓泉譯：一般拓撲學(xué)，科學(xué)出版社，北京，1982。拓撲學(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支。(J.L.Kelley，General Topology，Van Nostrand， New York， 1955.)熊金城 呂杰 譚楓譯：拓撲學(xué)（原書第2版）原書名 Topology (2nd Edition) 原出版社Prentice Hall/Pearson 作者（美）James R.Munkres 出版社 機械工業(yè)出版社 本書最大的特點在于概念引入自然，循序漸進。對于疑難的推理證

40、明，將其分解為簡化的步驟，不給讀者留下疑惑。是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，同時是滲透到整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法?！巴負洹币辉~是音譯自德文 topologie，最初由高斯的學(xué)生李斯亭引入 （1848年），用來表示一個新的研究方向，“位置的幾何”。拓撲，舉例來說，是在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學(xué)里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。這些就是拓撲學(xué)思考問

41、題的出發(fā)點。簡單地說，拓撲就是研究有形的物體在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。中國第一個拓撲學(xué)家是江澤涵，他早年在哈佛大學(xué)師從數(shù)學(xué)大師莫爾斯，學(xué)成后為中國帶來了這個新學(xué)科（1931年）。拓撲學(xué)經(jīng)常被描述成 “橡皮泥的幾何”，就是說它研究物體在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。比如，所有多邊形和圓周在拓撲意義下是一樣的，因為多邊形可以通過連續(xù)變形變成圓周，右邊這個圖上，一個茶杯可以連續(xù)地變?yōu)橐粋€實心環(huán)，在拓撲學(xué)家眼里，它們是同一個對象。而圓周和線段在拓撲意義下就不一樣，因為把圓周變成線段總會斷裂（不連續(xù)）。為什么要研究這種性質(zhì)呢？這就要追溯到幾百年以前先賢們的遐想了。好在拓撲學(xué)比微積分還是新得多，用不著

42、“言必稱希臘”，只要從萊布尼茲開始就行。萊布尼茲在三百多年前想要建立的，是現(xiàn)在稱為“代數(shù)拓撲”的學(xué)問，中間經(jīng)過歐拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比烏斯，克萊因，特別是黎曼和貝迪的思考和嘗試，終于在19，20世紀之交，由法國天才數(shù)學(xué)家龐卡萊悟到了。在這些先驅(qū)中，高斯名氣最大，被稱為數(shù)學(xué)王子；大家可能不太熟悉黎曼，其實他同高斯在數(shù)學(xué)史上的地位是相當(dāng)?shù)?，他?9世紀中葉的很多想法直到現(xiàn)在還有著巨大的影響；莫比烏斯，他在數(shù)學(xué)上有很多貢獻，不過他為世人所知還多半是因為用他的名字命名的奇怪曲面：莫比烏斯帶。上面這個圖就是莫比烏斯帶，它的重要特性是，雖然在每個局部都可以說正面反面，但整體上不能分隔成正面和反面。這

43、種曲面叫做 “單側(cè)曲面”。在這樣的曲面上散步一定很別扭，哈哈。拓撲學(xué)的由來 幾何拓撲學(xué)是十九世紀形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓撲學(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀就出現(xiàn)了。那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓撲學(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學(xué)發(fā)展史的重要問題。 哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多

44、人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個問題找到了當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓撲學(xué)的“先聲”。 在拓撲學(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個定理內(nèi)容是：如果一個凸多面體的頂點

45、數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓撲學(xué)發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。 四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色?！?1872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)

46、學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。 進入20世紀以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200

47、個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法。 上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學(xué)”的先聲。二、拓撲學(xué)中糾結(jié)分類問題這次來談?wù)勍負鋵W(xué)中有代表性的一個課題， 扭結(jié)分類問題。所謂扭結(jié)，顧名思義就是一根繩子首尾相接，它可能打了結(jié)。更一般的，可以是幾根繩子，除了自身打結(jié)以外，還互相打結(jié)。對具體的一個扭結(jié)，也許可以通過做實驗的辦法判斷它是否打結(jié)，但是數(shù)學(xué)家希望找一個普適的，定量的辦法。比如說，任意畫一個扭結(jié)（它實際上是一個空間扭結(jié)

48、的平面投影），比如這個有點復(fù)雜的，怎樣不動手做實驗就能判斷它到底有沒有打結(jié)？這個問題后來證實是非常復(fù)雜的問題。在有了計算機以后，才能找到一種時間代價很高的算法讓計算機幫助我們判斷一個扭結(jié)投影到底有沒有打結(jié)。直到 2006 年，才找到一種真正快速的計算機算法來判斷這件事。扭結(jié)分類的問題比判斷是否打結(jié)更困難。比如，以下兩個扭結(jié)都打了結(jié)，它們是否本質(zhì)上是同一種結(jié)？所謂 “分類”， 就是要找一個（可計算的）判據(jù)，使得當(dāng)兩個扭結(jié)滿足這個判據(jù)時就是同一種結(jié)；當(dāng)它們不滿足這個判據(jù)時就不是同一種結(jié)。到現(xiàn)在為止，也還只能找到一些非常復(fù)雜的判據(jù)，同樣要借助計算機才能大致判斷兩個扭結(jié)是否本質(zhì)上為同一種結(jié)。扭結(jié)理論有

49、一段很有趣的早期歷史。1867 年，著名物理學(xué)家開爾文勛爵，就是那個號稱物理學(xué)已經(jīng)接近終結(jié)，只剩 “兩朵烏云”的開爾文，突然產(chǎn)生了關(guān)于化學(xué)元素表的新看法（那時候還沒有發(fā)現(xiàn)原子，所以化學(xué)元素表還是一個謎）。開爾文認為，不同的化學(xué)元素其實是 “以太”的渦旋在空間中的扭結(jié)形態(tài)?！耙蕴笔?9 世紀的物理學(xué)家們發(fā)明的概念，它被想象成充滿整個空間，是電磁波傳播的載體（或媒質(zhì)）。開爾文是很嚴肅的物理學(xué)家，當(dāng)然不能憑空想象，實際上他提出了幾個即使從現(xiàn)在的觀點看來也很合理的證據(jù)：（1）元素很穩(wěn)定，這可以用扭結(jié)的拓撲性質(zhì)來解釋，微小的形變不改變扭結(jié)的 “扭法”。（2）元素很多樣，這可以用扭結(jié)的多樣性來解釋，不同

50、的 “打結(jié)方式” 實在太多了。（3）不同的元素發(fā)出不同的光譜，這可以用 “以太扭結(jié)” 的各種 “振動方式” 來解釋。有時候我們不得不佩服一些大師，他們雖然偶爾有點信口開河，不過極富原創(chuàng)力想象力。開爾文這個想法可以算是 “弦論” 的原生態(tài)。雖然后來化學(xué)周期表更好地被理解為原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但開爾文列舉的這幾個證據(jù)都能在新興的弦論中依稀找到一點影子。請原諒我不能在這里具體給出任何判斷兩個扭結(jié)不同的方法。任何這樣一個方法，都需要很多圖解和文字說明。有興趣的網(wǎng)友可以讀姜伯駒的繩圈的數(shù)學(xué)或者英文書 An introduction to knot theory， 作者 Lickorish, 屬于系列 GTM

51、(graduate texts in mathematics) 175. 再貼幾個扭結(jié)：然后是一個問題：下面三個扭結(jié)中，哪兩個本質(zhì)上是同一種結(jié)？拓撲學(xué)簡介（三）Comments龐卡萊是 19 世紀末 20 世紀初法國最偉大的數(shù)學(xué)家，他與德國的希爾伯特領(lǐng)銜當(dāng)時的數(shù)學(xué)界，分別繼承了黎曼和高斯的衣缽：龐卡萊對物理世界的深刻洞察給了他天馬行空般的想象力，一如當(dāng)年的黎曼；希爾伯特嚴謹，博學(xué)，細致入微地思考，為 20 世紀前半葉數(shù)論和代數(shù)幾何的發(fā)展指明了方向。龐卡萊的拓撲學(xué)和希爾伯特的代數(shù)幾何，就像普朗克的量子論和愛因斯坦的相對論，完全革新了整個學(xué)科的基本觀念。這一帖就試試介紹龐卡萊引入的兩個概念：“同調(diào)

52、群” 與 “基本群”。它們都是幾何體內(nèi)在性質(zhì)的 “代數(shù)體現(xiàn)”。龐卡萊意識到，描述一個幾何體抽象性質(zhì)的關(guān)鍵在于這個幾何體本身有沒有邊界，以及它是不是其它幾何體的邊界。比如，一個圓盤和一個球面為什么不同，就是因為圓盤有邊界而球面沒有邊界；球面為什么跟輪胎面不同，就是因為球面上的任何一個圈都是球面某一部分的邊界，比如赤道就是北半球面的邊界，而輪胎面上有的圈并不是輪胎面任何一部分的邊界。在第一篇里說過，萊布尼茲夢想用符號來表述一些抽象的幾何性質(zhì)。200多年后龐卡萊終于實現(xiàn)了這個夢，他把跟邊界有關(guān)的性質(zhì)數(shù)量化。先把幾何體剖分成基本組成部分（點，邊，三邊形，四面體，)，比如，一個球面上可以畫四個點，然后把

53、它們兩兩相連 （不允許連線相交），有六條邊，這些邊把球面分成四個三邊形，這就是球面的一個 “剖分”（見左圖）。剖分的基本組成成份叫做 “單形”，“點”是 0 維單形，“邊”是 1 維單形，“三邊形”（包括內(nèi)部）是 2 維單形，等等 （ 試想一下 3 維單形是什么 ）。拿之前已經(jīng)剖分的球面做例子，頂點 A, B, C, D 是 0 維單形，邊 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 維單形，三邊形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 維單形 （如果 ABC, ACD 是東半球的區(qū)域，那 ABD, BCD 就包括了西半球） 。因為考察的是球面，而不是球體，所以沒有三維以上的單

54、形。龐卡萊在單形前面放上系數(shù)（整數(shù)），假設(shè)它們能夠相加，以及做同類項合并。這種表達式稱為一個 “鏈”， 比如 (3 AB 2 BC) + (AC 5 BC) = 3 AB 7 BC + AC. 單形前面的加號減號具有幾何意義，“定向”。在 1維的時候就是邊的方向，比如，AB 是從 A 到 B 的邊，-AB 就是從 B 到 A 的邊，也就是 BA，所以 BA = AB. 三邊形的定向復(fù)雜一些，不過本質(zhì)上就是跟頂點的排列順序有關(guān)，對換兩個頂點就會改變定向，ACB = ABC. 由于每一個 n 維單形的邊界由若干 n-1 維單形組成，所以 “求邊界” 可以作為一種運算，作用在 “鏈” 上，得到另一個

55、 “鏈”，其每一項都比原來鏈里對應(yīng)項的維數(shù)低一維。在求邊界的過程中，定向也是一個重要因素，雖然 AB 的邊界是兩個點 A 和 B, 但為了體現(xiàn)定向性質(zhì)，規(guī)定 AB 的邊界是 ( B A ). 這種約定可以推廣到高維的鏈，大家不妨自己試試。如果用 d記求邊界運算，在跟定向相容的約定下，它在球面剖分的各單形上作用如下d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0; d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, 在 “鏈” 上的作用，d (3 AB 2 BC) = 3

56、 d (AB) 2 d (BC) = 3 (B-A) 2 (C-B) = -3 A + 5 B 2 C.邊界運算有一個很好的性質(zhì)。直觀上容易看到，“物體的邊界沒有邊界”。比如，三邊形的邊界是三條邊組成的閉合鏈。生活中我們說 “閉合” 的意思就是沒有邊界。代數(shù)上體現(xiàn)為，連續(xù)兩次求邊界一定是零，d d (BCD) = d CD BD + BC = d(CD) d(BD) + d(BC) = (D-C) (D-B) + (C-B) = 0現(xiàn)在把剖分后的幾何體的所有這樣的 “鏈” 放在一起，它們之間有加減法（合并同類項），可以用系數(shù)乘，還可以 “求邊界”。這就得到了一個代數(shù)對象，叫做這個剖分后的幾何體

57、的 “鏈群”。這個代數(shù)對象跟我們開始的剖分方法有關(guān)。在鏈群中，可以由求邊界運算得到的鏈叫做 “邊緣鏈”，比如， 2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC ) 說明等式左邊這個鏈?zhǔn)且粋€邊緣鏈。沒有邊界的鏈叫做 “閉鏈”。邊緣鏈一定是閉鏈，而閉鏈不一定是邊緣鏈。龐卡萊發(fā)現(xiàn)，“有多少閉鏈不是邊緣鏈” 這個性質(zhì)與剖分無關(guān)，從而是幾何體某種本性的代數(shù)體現(xiàn)。怎樣代數(shù)地描述這個性質(zhì)？ 考慮所有閉鏈，它們之間的加減，數(shù)乘，結(jié)果還是閉鏈，在其中把邊緣鏈等同于0，這樣得到的代數(shù)對象將不依賴于剖分幾何體的方法，龐卡萊叫它 “同調(diào)群”?，F(xiàn)在來算球面的同調(diào)群。頂點都沒有邊界，但是兩個頂點的差一定是一條邊的邊界，A-B = d (BA)按照龐卡萊的語言，A-B 是邊緣鏈，將被等同于 0, 也就是說，在同調(diào)群中 A-B = 0, 或者說 A = B. 這樣，本質(zhì)上只有一個 0 維對象，A = B = C = D, 它可以被整數(shù)乘，這樣我們得到球面的 0 維同調(diào)群 , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, 這個代數(shù)對象的加法，數(shù)乘，跟全體整數(shù)的加法，數(shù)乘是一樣的，用數(shù)學(xué)的語言來說，球面的 0 維同調(diào)群 “同構(gòu)于” 整數(shù)集。1 維的鏈?zhǔn)橇鶙l邊的組合，用代數(shù)運算（解線性方程組）或者幾何直觀都可以看到，沒