數(shù)教畢業(yè)論文格式模板黃審馮

1、（宋粗小二）景德鎮(zhèn)高等專科學(xué)校畢業(yè)論文（黑二）二元一次不定方程及應(yīng)用（宋三）柯紅微09級(jí)數(shù)學(xué)教育班 （宋四）2010年12月18 日學(xué)校代碼 10894 （宋四） 學(xué) 號(hào) （宋粗小二）景德鎮(zhèn)高等?？茖W(xué)校畢業(yè)論文 （黑二）二元一次不定方程及應(yīng)用（宋三）柯紅微(宋四)指導(dǎo)教師 馮全民 副教授專業(yè) 09級(jí)數(shù)學(xué)教育 論文提交日期 2010年01月12日20 年 月 日目錄（黑小二）摘要 第1章 不定方程（黑小四） 11.1不定方程的概念及分類（宋小四） 21.2不定方程的解法 21.2.1 二元一次不定方程 2 n元一次不定方程（n3） 4 不定方程組 7第2章 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的不定方程72.1二元一次不

2、定方程的應(yīng)用 72.2不定方程組的應(yīng)用 10第3章 結(jié) 論 12參考文獻(xiàn) 13致謝 13附件：論文英文簡(jiǎn)介二元一次不定方程及應(yīng)用（黑小4）摘要:(宋小4號(hào))不定方程的整數(shù)解的判別與求解方法是初等數(shù)論的一個(gè)重要內(nèi)容，在相關(guān)學(xué)科和實(shí)際生活有著廣泛的應(yīng)用。本文首先歸納了枚舉法、整數(shù)分離法、奇偶分析法等幾種常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程為基礎(chǔ)，進(jìn)一步討論求多元一次不定方程整數(shù)解的方法，最后對(duì)幾例中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題求解可以看到合理選用二元一次不定方程的解法使得相關(guān)問(wèn)題簡(jiǎn)單化。（黑小4） 關(guān)鍵詞:（宋小4）不定方程 解法 應(yīng)用 （宋小四、行距1.5倍）不定方程(組)及整數(shù)解是數(shù)論中的一個(gè)

3、古老分支，其內(nèi)容極其豐富。我國(guó)對(duì)不定方程的研究已延續(xù)了數(shù)千年，張丘建的“百雞百錢(qián)” 問(wèn)題等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為孫子定理。學(xué)習(xí)不定方程，不僅可以拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學(xué)解題的技能。下面就不定方程的一些概念及二元一次不定方程的解法進(jìn)行討論，進(jìn)而通過(guò)對(duì)幾例數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的求解來(lái)討論二元一次不定方程及解法在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用。第1章 不定方程（粗黑三）1.1不定方程的概念及分類（粗黑小三）不定方程是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多余方程的個(gè)數(shù)，且其解受到某種條件的限制（例如要求求整數(shù)解，非負(fù)整數(shù)解等）的方程或方程組。按不定方程所含元的個(gè)數(shù)和元的次數(shù)可分為二元一次不定方程、多元一次

4、不定方程、非一次不定方程。下面主要介紹二元一次不定方程和多元一次不定方程的解法及其應(yīng)用。1.2不定方程的解法二元一次不定方程（粗黑四）二元一次不定方程： (，)如果二元一次不定方程的一個(gè)整數(shù)解（特解）是，那么它的一切整數(shù)解就可以表示為 要求不定方程的解，我們首先要驗(yàn)證這個(gè)不定方程是否有解，對(duì)于二元一次不定方程 (其中)而言，它有整數(shù)解的充要條件是.若所求的不定方程滿足上面的條件，我們才能求出它的整數(shù)解，否則就不能找出它的整數(shù)解。因此在求整數(shù)解之前很有必要去驗(yàn)證它是否有這個(gè)數(shù)解。比如方程2x+4y=25，我們?nèi)菀昨?yàn)證它是沒(méi)有整數(shù)解的，因此就不能找出它的整數(shù)解。在所求二元一次不定方程存在整數(shù)解的情

5、況下，有幾種我們常見(jiàn)的解法。（1）枚舉法：枚舉法是在日常生活中我們習(xí)慣使用的方法，這種方法一般只用于有限數(shù)據(jù)實(shí)際問(wèn)題中，在解決一般數(shù)學(xué)問(wèn)題有時(shí)是無(wú)效的。比如給定一個(gè)不定方程 ,求它的整數(shù)解；我很習(xí)慣假設(shè)當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，不滿足條件；當(dāng)時(shí),此時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí),此時(shí)，不滿足條件； 就這樣依次去尋找它的整數(shù)解，顯然我們沒(méi)有辦法用這種方法去一一去找出它的所有整數(shù)解的，那我們能不能采用用其他的辦法來(lái)求出它的整數(shù)解呢？（2）整數(shù)分離法：對(duì)于二元一次不定方程 (),為了實(shí)際操作的簡(jiǎn)便，在這里我假設(shè)<,有=-+(c-)-(-)通過(guò)觀察，我們找到一個(gè)整數(shù)，使得(c-)-(-)也是一個(gè)整數(shù)，從而找到了對(duì)應(yīng)的一

6、個(gè),然后我們根據(jù)這一對(duì)特解和它的不定方程和求出它的通解，其通解為 假如要求不定方程的非負(fù)整數(shù)解，那只要令0, ,0,解出的范圍，由于，我們就可以找出的取值，那么就可以找到下的,. 例1. 求不定方程的整數(shù)解. 解：我們首先將原不定方程變形為=1-+在這取y=2,則x=-1,所以不定方程的通解為 整數(shù)分離的方法， （3）同余式法：對(duì)于二元一次不定方程的整數(shù)解，我們能否可以利用同余的知識(shí)來(lái)求不定方程，根據(jù)同余的概念可知，我們可以將它看成兩個(gè)同余式因此，可以借助于同余式的解來(lái)解二元一次不定方程，也就是解上面的任一個(gè)同余式，求出x或y,然后代入原不定方程求得另一個(gè)解。例2. 利用同余式的解法來(lái)求解不定

7、方程的整數(shù)解.解：首先我們將不定方程改寫(xiě)成兩個(gè)同余式：在這取，可得所以 將y代入原不定方程可以得到所以原不定方程的解為 我們可以看到采用同余式來(lái)解二元一次不定方程也比較簡(jiǎn)捷。（特點(diǎn)）（4）奇偶數(shù)分析法：根據(jù)方程的特征，我們有時(shí)可應(yīng)用奇數(shù)與偶數(shù)的一些性質(zhì)，我們也能判別方程是否有整數(shù)解或求出它的整數(shù)解。例如上面給出的不定方程，由于未知量的系數(shù)都是偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)的性質(zhì)，任意一個(gè)偶數(shù)乘以任意整數(shù)還是偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)之和還是偶數(shù)，而常數(shù)項(xiàng)是奇數(shù)，因此左邊不等于右邊，則該不定方程沒(méi)有整數(shù)解。 元一次不定方程（） 元一次不定方程： (其中為整數(shù),)對(duì)于多元一次不定方程，我們很難通過(guò)一個(gè)公式直接求解，即使有那么

8、一個(gè)公式也是很復(fù)雜的，因?yàn)槲粗膫€(gè)數(shù)多了，它的解所含的自由未知量也就多了，因此不便于記憶和使用。關(guān)于多元一次不定方程的解法，主要是采用兩種思想，第一種是采用代換的思想，根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，就這這樣依次把它轉(zhuǎn)化成n-1個(gè)二元一次不定方程然后采用上面的二元一次不定方程的解法進(jìn)行求解。第二種是采用代數(shù)中矩陣的思想進(jìn)行求解。（1）代換法：首先估計(jì)系數(shù)較大的未知數(shù)的可能取值的范圍，在此基礎(chǔ)上，在這個(gè)未知數(shù)的取值范圍內(nèi)取某個(gè)正整數(shù)，代入原不定方程，于是就得到一個(gè)未知量比原不定方程未知量少1的新的不定方程；然后估計(jì)新的不定方程中系數(shù)最大的未知數(shù)的可能取值范圍，再假設(shè)這個(gè)未知

9、數(shù)的取值范圍內(nèi)取某個(gè)正整數(shù)值，依次進(jìn)行下去，最后得到一個(gè)二元一次不定方程，根據(jù)上面求解二元一次不定方程的解法求出它的解，然后依次往回代，從而就能求得原方程的整數(shù)解。例3.求不定方程的整數(shù)解.解：因?yàn)椋?，7，16）=140，所以原不定方程存在整數(shù)解.設(shè),通過(guò)觀察我們找到方程的一個(gè)特解,；所以 不定方程的通解為 將代入原方程，得到了一個(gè)新的二元一次不定方程,通過(guò)觀察我們可找到它的一個(gè)特解,所以這個(gè)不定方程的通解為 將、代入原方程即可得到原方程的通解 上面的三元一次不定方程是采用代換的思想，將它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次不定方程，然后將它代入原方程最后得到了它的解。我們可以想想假如是五元或者更高，那這種方

10、法的計(jì)算量是不小的，可以嘗試用代數(shù)中矩陣解決此問(wèn)題。（1）矩陣法：設(shè)元一次不定方程： (其中為整數(shù),)構(gòu)造一個(gè)的矩陣AA=對(duì)A只能實(shí)行如下三種初等變換： 交換兩行； 用-1乘以矩陣的某一行； 用某一整數(shù)乘矩陣的某一行加到另一行.矩陣經(jīng)過(guò)上面的初等變換變?yōu)锽B=假若dc,則該n元一次不定方程有整數(shù)解（否則就沒(méi)有整數(shù)解）,它的通解為： 例4試用矩陣來(lái)求解不定方程的整數(shù)解.解：首先我們構(gòu)造一個(gè)矩陣AA=然后將A進(jìn)行允許的三種初等變換可以得到BA=B=又因?yàn)?40，所以原不定方程有整數(shù)解，它的解為 我們可以將、進(jìn)行比較，其實(shí)是、可以轉(zhuǎn)換為，因此采用上面兩種解法的求解的解是相同的，顯然采用第二種解法更適

11、合于求多元元一次不定方程。（可以考慮給個(gè)5元方程的例子） 不定方程組不定方程組是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程組。本文對(duì)于解不定方程組主要采用兩條途徑，第一條途徑是通過(guò)消元的方法將它化成一個(gè)不定方程，然后根據(jù)所含的元的數(shù)量來(lái)合理選擇方法來(lái)求它的整數(shù)解；第二途徑是運(yùn)用代數(shù)中矩陣求解線性方程的方法來(lái)求解的。顯然第二種途徑運(yùn)的范圍僅局限在解一次不定方程，第一種途徑的運(yùn)用的范圍要比第二種途徑廣。本文不作進(jìn)一步討論第2章 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的不定方程我國(guó)對(duì)不定方程的研究已有悠久的歷史，據(jù)史料記載，早在公元5世紀(jì)前，孫子定理、張丘建算經(jīng)等古書(shū)就記載了此類問(wèn)題。不定方程內(nèi)涵豐富，解法靈活，綜合性強(qiáng)；目前，不定方程

12、的正整數(shù)解是中小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽中重要內(nèi)容，謀取其不定方程整數(shù)解的題目是小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽中的熱門(mén)試題之一。解答的思路是變“方程不足”為“足夠”或“分類討論”。涉及的不定方程的解法的技巧性較強(qiáng)。下面通過(guò)數(shù)學(xué)奧賽例題求解對(duì)不定方程的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行討論，其主要涉及求解不定方程(組)的幾種常用方法,主要方法是枚舉法、整數(shù)分離法、同余式法、奇偶分析法以及幾種方法的綜合運(yùn)用。2.1二元一次不定方程的應(yīng)用 例5小張帶了5角錢(qián)去買(mǎi)橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問(wèn)5角錢(qián)剛好買(mǎi)幾塊橡皮和幾支鉛筆？（枚舉法、整數(shù)分離法）解析：設(shè)小張買(mǎi)了塊橡皮，支鉛筆，于是根據(jù)題意可得到方程這是一個(gè)二元一次不定方程從方程來(lái)看，任給

13、一個(gè)值，就可以得到一個(gè)值，所以它的解有無(wú)數(shù)多組。由于這個(gè)問(wèn)題要求的是買(mǎi)橡皮的塊數(shù)和鉛筆的支數(shù)，而橡皮的塊數(shù)與鉛筆的支數(shù)只能是正整數(shù)或零，所以從這個(gè)問(wèn)題的要求來(lái)說(shuō)，我們只要求這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解。因?yàn)殂U筆每支1角1分，所以5角錢(qián)最多只能買(mǎi)到4支鉛筆，因此，小張買(mǎi)鉛筆的支數(shù)只能是0，1，2，3，4支，即的取值只能是0，1，2，3，4這五個(gè)值若，則，符合題意；若，則，不是整數(shù)，不合題意；若，則，不是整數(shù)，不合題意；若，則，符合題意；所以，這個(gè)方程有兩組正整數(shù)解，即5角錢(qián)剛好能買(mǎi)2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆。關(guān)于橡皮與鉛筆的例子，我們是用逐個(gè)檢驗(yàn)的方法來(lái)求它們的非負(fù)整數(shù)解的，但是這種方

14、法在給出的數(shù)目比較大的問(wèn)題或者方程有無(wú)數(shù)組解的時(shí)候就會(huì)遇到漏解等一系列的麻煩。那么能不能找到一個(gè)有效而又方便的方法來(lái)求解呢？ 下面嘗試采用整數(shù)分離的方法來(lái)求解上面的問(wèn)題。上面由題意已列出這個(gè)不定方程，下面來(lái)求解這個(gè)不定方程。=16+下面給出不定方程的一個(gè)特解，去,則所以不定方程的通解為 因?yàn)?均為正整數(shù)，所以只能取0和-1，此時(shí)它解為 和所以5角錢(qián)剛好能買(mǎi)2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆。將上面的兩種方法進(jìn)行比較，我們可以看到采用整數(shù)分離的方法解決這個(gè)問(wèn)題，步驟簡(jiǎn)潔，思路清晰明了。用同余的知識(shí)解不定方程時(shí)，可以表達(dá)得簡(jiǎn)明清楚些。例6大客車有48個(gè)座位，小客車有30個(gè)座位?，F(xiàn)有306

15、名旅客，要使每個(gè)旅客都有座位而且車上無(wú)空位，需要大、小客車各多少輛？解：由題意可知,要解決這個(gè)問(wèn)題，就是求它的非負(fù)整數(shù)解，本題采用四種方法進(jìn)行求解。方法1：列舉法通過(guò)畫(huà)表列舉的方法，一一嘗試，最終把答案找出來(lái)。分析：可見(jiàn)這種方法的計(jì)算量很大，花的時(shí)間也應(yīng)比較長(zhǎng)，因此這種方法不是解決此問(wèn)題的好方法。方法2：假設(shè)法假設(shè)全部用小客車，需要10輛，另空出6個(gè)座位。由于題目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是換幾輛小客車挪出的空位正好能換成大客車，即是48的倍數(shù)。經(jīng)過(guò)嘗試，退出3輛小客車，就有人沒(méi)座位，正好可乘兩輛大客車。所以，需要大客車2輛，小客車7輛。 分析：當(dāng)問(wèn)題給的數(shù)目比較小時(shí)，采用此

16、方法還是可以的，但當(dāng)問(wèn)題所給的數(shù)目比較大時(shí)，計(jì)算量也是比較大的，而且很容易造成漏解的情況。方法3：用不定方程求解法由于旅客人數(shù)、車輛數(shù)都是非負(fù)整數(shù)，所以我們可以列出符合題意的不定方程，并求出它的非負(fù)整數(shù)解。設(shè)需要大客車輛，小客車輛則  即 1）整數(shù)分離法；上面不定方程經(jīng)過(guò)變形可化為= =10+令,則,這是上不定方程的一個(gè)特解，由于二元一次不定方程在無(wú)約束條件的情況下，通常有無(wú)數(shù)組整數(shù)解，求出的特解不同，因此同一個(gè)不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的只要將解中的參數(shù)t做適當(dāng)代換，就可化為同一形式下面給出不定方程的通解 由于,是正整數(shù)，所以 即需要大客車2輛，小客車7

17、輛2）奇偶數(shù)分析法是一個(gè)偶數(shù)，51是個(gè)奇數(shù)，那么肯定是個(gè)奇數(shù)。那么的個(gè)位數(shù)字一定是5，由于和是51，可見(jiàn)的個(gè)位數(shù)字一定是6，即或7，把它代入不定方程中，很容易得出：；從上面看，有時(shí)候我們?cè)谇蠼獠欢ǚ匠讨?，我們?yīng)認(rèn)真分析一下不定方程的對(duì)應(yīng)未知量和常數(shù)項(xiàng)的奇偶性，有時(shí)我們可以從中得到一種關(guān)系，這樣我們可以大大降低解題的難度和所花費(fèi)的時(shí)間。通過(guò)上面例題的解析我們可以看到采用不定方程給解決這一類問(wèn)題的優(yōu)越性。2.2 不定方程組的應(yīng)用上面介紹了不定方程組的解法，主要也是采用消元的辦法，將它化為一次不定方程來(lái)求解。下面看看不定方程組在實(shí)際有些什么運(yùn)用？例7：新發(fā)行的一套郵票共3枚，面值分別為20分，40

18、分和50分，小明花5.00元買(mǎi)了15張，問(wèn)：其中三種面值的郵票各多少?gòu)?？解析：上面這個(gè)問(wèn)題是我們?cè)谌粘Ｉ钪谐?huì)遇見(jiàn)的一類“定值定量”問(wèn)題。對(duì)于類問(wèn)題我們經(jīng)常可以采用設(shè)未知量然后列方程（組），最后解方程求出它的解。設(shè)20分，40分和50分面值的郵票各、張，可以列方程組如下：則（2）（1）×20得到： ， 上式通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到 = (3)1） 整數(shù)分離法：下面我們首先給出它的一個(gè)特解，由于,均為非負(fù)整數(shù)，令,則,所以它的通解為 因?yàn)?均為非負(fù)整數(shù)，所以2） 枚舉法：由（3）可知必須能被2整除，且=6，則z可以取2，4，6，得到三組解如下：可見(jiàn)20，40，50分的郵票為6，7，2張或者7

19、，4，4張或者8，1，6張。大約1500年以前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張丘建在他編寫(xiě)的張丘建算經(jīng)的古書(shū)里，曾經(jīng)提出并解決了“百錢(qián)買(mǎi)百雞”這個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面我們看看能不能做到百錢(qián)買(mǎi)百雞呢？如果能，那他又是如何做到百錢(qián)買(mǎi)百雞呢？例8今有公雞每只五個(gè)錢(qián)，母雞每只三個(gè)錢(qián)，小雞每個(gè)錢(qián)三只用100個(gè)錢(qián)買(mǎi)100只雞，問(wèn)公雞、母雞、小雞各買(mǎi)了多少只？解析：設(shè)公雞、母雞、小雞各買(mǎi),只，由題意列方程組 得 即 先解，有=,先給出它的一個(gè)特解，令,則，所求得它的通解為 （3）將（3）代入（1）中可得 由題意知的所有整數(shù)解的取值為,，由于是整數(shù)，故只能取26，27，28，而且,還應(yīng)滿足不定方程.求得不定方程的解為 ，

20、，即可能有三種情況： 4只公雞，18只母雞，78只小雞；或8只公雞，11只母雞，81只小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞上面對(duì)于求解不定方程組主要是采用先消元的思想，化成一次不定方程，然后采用一次不定方程的整數(shù)分離方法進(jìn)行求解，這樣我們能順利地解決流傳至今的“百雞問(wèn)題”，假如我們采用枚舉法那計(jì)算量是相當(dāng)大，因此解決此類問(wèn)題不宜采用枚舉法。第3章 結(jié)論不定方程的解法很多，我們需要根據(jù)題目自身的特點(diǎn)尋找一種適合解題的方法。在求解之前，我們要注意的是不能盲目的求解，須認(rèn)真驗(yàn)證所求不定方程是否有約束解；在求解的時(shí)候，我們應(yīng)觀察它的元的次數(shù)，然后看看元的個(gè)數(shù)，當(dāng)元的次數(shù)為一的時(shí)候，假如是多元的我們

21、就應(yīng)采用換元法或者是矩陣求解法，如果是二元的，那我們采用整數(shù)分離法，同余式法，奇偶分析法，枚舉法，當(dāng)然也可以用矩陣求解法，但因?yàn)樵膫€(gè)數(shù)不是很多，就沒(méi)有必要用這種方法。因此求解二元一次不定方程，我們還是采用上面所提到的常用的基本方法，然后根據(jù)題目自身所具有的特征，進(jìn)一步選取適合所需求解題目的解。對(duì)于不定方程在小學(xué)奧數(shù)中的應(yīng)用，我們是?？梢砸?jiàn)到的。一般求解這類問(wèn)題時(shí)，首先我們需認(rèn)真閱讀題目所提供的信息，然后設(shè)未知量，列出滿足題意的方程，按照不定方程解法進(jìn)行求解，最后通過(guò)一一驗(yàn)證找出其合格解。 參考文獻(xiàn)（黑粗小三）1陳肇曾.數(shù)論初步M.第一版.北京：高等教育出版社，1996. P65-72，P89

22、-952晏能中.初等數(shù)論M.第一版.北京：電子科技出版社， 2005. P63-65 （宋小四號(hào)）3張同軍、陳傳理.競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究M.第一版.北京：高等教育出版社,2000. P178-179致 謝（黑粗小三）本篇論文是在我的指導(dǎo)老師馮全民的悉心的指導(dǎo)下完成的。他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。從論題的選擇到論文的最終完成，馮老師始終給我以不厭其煩的進(jìn)行指導(dǎo)和悉心指點(diǎn)，使我在完成論文的同時(shí)也深受啟發(fā)和教育！兩年多來(lái)，馮老師不僅在學(xué)業(yè)上給了我精心指導(dǎo)，而且還從思想上激勵(lì)我要更好地學(xué)習(xí)、工作、生活，為提升自己人生價(jià)值而努力，在此謹(jǐn)向指導(dǎo)老師馮全民致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意！將標(biāo)題、作者、論文提要、關(guān)鍵詞 用英語(yǔ)翻譯部分置于正文末參考文獻(xiàn)后。 Binary linear Diophantine equation and applicationKe Hong-weiAbstract:(4號(hào)Times New Roman)（Times New Roman小四） Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the soluti