si.sir.sis模型

1、數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)報(bào)告10學(xué)院： 專 業(yè)：姓 名：學(xué)號(hào)： 實(shí)驗(yàn)時(shí)間： 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：一、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：傳染病模型求解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵骯.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的數(shù)值解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問題的描述各種傳染病給人類帶來的巨大的災(zāi)難，長期以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點(diǎn)，在此以一般的傳播機(jī)理建立幾種 3模型。分別對3種建立成功的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一(SI模型)：(1)模型假設(shè)1 .在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)

2、N不變，人群分為健康人和病人， 時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為s (t)和i (t)。2 .每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a, a成為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，可使其患病。(2)建立模型根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使as (t)個(gè)健康人變成病人，t時(shí)刻病人數(shù)為Ni (t),所以每天共有aNsNdi/dt=aNsi(t) i (t)個(gè)健康者被感染，即病人的增加率為:又因?yàn)?s (t) +i (t) =1再記時(shí)刻t=0時(shí)病人的比例為i0則建立好的模型為：diai (1 i) dt(3)模型求解syms a i t i0 %的值i(0)=i0:日接觸率，i ：病人比例，s :健康人比

3、例，i0 :病人比例在t=0時(shí)(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,);ezplot(y,0,100)figure i=str2double(i); i=0:1;y=*i.*(1-i);piot(i,y)SI模型的it曲線SI模型的di/dti 曲線(4)結(jié)果分析由上圖可知，在i=0:1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在i二時(shí)，取到最大值，即在 t->inf 時(shí)，所有人 都將患病。上述模型顯然不符合實(shí)際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假設(shè)，建立SI

4、S模型模型二(SIS模型)(1)模型假設(shè)假設(shè)條件與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s(t)=1 ;則有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定義k=a/b ,可知k是整個(gè)傳染傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)。則建立好的模型為：di aii (1 1/k)dti(0)=i0;(2)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)>> syms a i u t i0 % a日接觸率，i ：病人比例，u：日治愈

5、率，i0 :病人比例在t=0時(shí)的值>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')%> > syms k% k> > k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t') %給k、a、i0指定特殊值，作出相關(guān)圖像> > y=subs(i,k,a,i0,2,);%> > ezplot(y,0,100)>>pause%>

6、; > gtext('1/k')> >legend('k>1 本例中 k=2')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:1;> > y=*i.*i-1/2;> > plot(i,y)%> > gtext('1-1/k, 在此圖中為')求用u表示的i t解析式:接觸數(shù)求用k表示的i t解析式k>1的情況，以k=2為例作i t圖，分析隨時(shí)間t的增加,i的變化作di/dt -i的圖像>> legend(

7、9;k=2')k<1的情況，以k=為例作i t圖，分析隨時(shí)間t增加，i的變化作di/dt -i的圖像SIS模型的di/dt i曲線 (k>1)SIS 模型的i t曲線(k>1)SIS模型的di/dt i曲線 (k<1)(4)結(jié)果分析不難看出，接觸數(shù) k=1是一個(gè)閾值，當(dāng)SIS 模型的i t曲線(k<1)k>1時(shí)，i (t)的增減性取決于i0的大小，但其極限值i( 8)=i-i/k隨k的增加而增加；當(dāng) k<=i時(shí)，病人比例i (t)越來越小，最終趨于 0,這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過原來病人數(shù)的緣故。模型三.SIR模型

8、(1)模型假設(shè)1 .總?cè)藬?shù)N不變，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱SIR模型。時(shí)刻t三類人在總?cè)藬?shù)N中占得比例分別記作可。/"和r(t)。2 .病人的日接觸率為，日治愈率為(與SI模型相同)，傳染期接觸數(shù)為(2)模型建立由假設(shè)1顯然有s(t) i(t) r(t) 1(1)對于病愈免疫的移出者而言應(yīng)有drN Nidt(2)再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是SIR模型的方程可以寫作s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨設(shè)移出者的初始值r0=0),則di dt ds dtsi i,i(0) toSi, S(0)So(3)> > y=subs(i,

9、k,a,i0,);%> > ezplot(y,0,100)%> > legend('k<1 本例中 k=')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:1;> > y=*i.*i-(1-1/;> > plot(i,y)%> > legend('k=')> > gtext('k<=1 時(shí)的情況)(3)模型求解我們無法求出解析解，先做數(shù)值計(jì)算:設(shè) 1,O.3，i(0) O.02，S(0) 0.98,用 matla

10、瞅件編程:function y=ill a=1;b=;(t, x)y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=,；t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pause plot(x(:,2),x(:,1)表1i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果ti(t)012345678s(t)t91015202530354045i(t)0s(t)i(t),s的圖形is圖形(相軌線)(4)結(jié)果分析i(t)，s(t)的圖形見左圖，is的圖形見右圖，稱為相軌線，隨著t的增加，($D

11、沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng)。由上圖結(jié)合表1可知，i(t)由初值增長至約t 7時(shí)達(dá)到最大值，然后減少，t ，t 0;s(t)則單調(diào)減少 t ,s O.0398。進(jìn)行相軌線分析，可得：s i平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域(SD D為D (s,t)|s 0,i 0,s i 1在方程(3)中消去dt ,并注意到的定義，可得di 1 d二1 i |idt s |s s00(4)容易求出它的解為1 . si(So I。) s -ln -s0(5)在定義域D內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線1.不論初始條件s0,i0如何，病人終將消失，即ds其證明如下，首先，由（3）, dti 0八dr -0 0而s0故s存在

12、；由（2）, dt ，而r故r存在,dr再由（1）,對于充分大的t有dt2 ,這將導(dǎo)致，與r存在相矛盾。2.最終未被感染的健康者的比例是s，在（5）式中令i 0得到，s是方程s0i01 . s 八s 一 ln 0s在（0，1/ ）內(nèi)的根。在圖形上，s是相軌線與s軸在9,3 ）內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.若s0 1/ ，則i先增加，當(dāng)s 1/時(shí)，i達(dá)到最大值1i 生 i0（1 ln %）（8）然后i（t）減小且趨近于0, s（t）則單調(diào)減小至s 。4.若s0 1/ ,則i（t）單調(diào)減少至0, s（t）單調(diào)減少至s。如果僅當(dāng)病人比例i（t）有一段增長的時(shí)期才 認(rèn)為傳染病在蔓延，那么 1/是一個(gè)閾值，當(dāng)s0 1/ （即1/s。）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳染期接觸數(shù)，即提高閾值1/ ,使得s0 1/ （即 I/%）,傳染病就不會(huì)蔓延（健康者比例的初始值比是一定的，通?？烧J(rèn)為 s0接近1）。并且，即使S。1/ ，從（7）,（8）式可以看出，減少時(shí)，s增加（通過作圖分析），im降低，也控制了蔓延的程度，我們注意到，在/中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率 越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率越大，于是 越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病