小學(xué)奧數(shù)：雞兔同籠問題(三).專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、6-1-9.雞兔同籠問題（三）11 教學(xué)目標(biāo)1 .熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設(shè)法”2 .利用雞兔同籠的方法解決一些實(shí)際問題，需要把多個(gè)對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)組合以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對(duì)象.卅Ml正 知識(shí)精講一、雞兔同籠這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一.大約在 1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這 個(gè)有趣的問題.書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔？你會(huì)解答這個(gè)問題嗎？你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個(gè)問題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只

2、雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了 “獨(dú)腳雞” 每只兔就變成了 “雙腳兔”.這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了 47只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1.因此，腳的總只數(shù) 47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即 47 35 12 （只）.顯然，雞的只數(shù)就是 35 12 23 （只）了。這一思路 新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已.除此之外，“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法” .假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳， 和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到.解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：雞數(shù) =（

3、每只兔子腳數(shù)X雞兔總數(shù) -實(shí)際腳數(shù)）+ （每只兔子腳 數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù) 二（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)X雞兔總數(shù)）+ （每只兔子 腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用， 滲透假設(shè)法的重要性， 在以后的專題中，如工程, 行程，方程等專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法漸值比 例題精講模塊一、多個(gè)量的“雞兔同籠”一一雞兔同籠問題【例1】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對(duì)翅膀；蟬 6條腿，一對(duì)翅膀），求蜻

4、蜓有多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動(dòng)物都是 6條腿，則總腿數(shù)為6 18 108（條），所差118 108 10（條），必然是由于少算了蜘 蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有 （118 108） （8 6） 5 （只）蜘蛛.這樣剩下的18 5 13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1 13 133）,比實(shí)際數(shù)少 20 13 7（）,這是由于蜻蜓有兩對(duì)翅膀，而 我們只按一對(duì)翅膀計(jì)算

5、所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7 （2 1） 7（只）.【答案】7【鞏固】 希望小學(xué)的生物標(biāo)本室里有蜻蜓，蟬，蜘蛛共 11只，它們共有74條腿，10對(duì)翅 膀，由圖7知該標(biāo)本室里有 只蜘蛛。圖7【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試，假設(shè)思想方法【解析】 這個(gè)題目就是有三種動(dòng)物的雞兔同籠問題，需先轉(zhuǎn)化成兩種動(dòng)物。 蜻蜓與蟬有共同的特征，所以我們可以先把它們看成一種動(dòng)物，取名叫蜻蟬。用假設(shè)法知： 如果這11只全是蜻蟬，則應(yīng)長腿：11 6 66 （只），比實(shí)際少了： 74 66 8 （只），用一只蜘蛛去換一只蜻蟬，則就多2只，要多8只則需要蜘蛛8 2 4 （只）?！敬鸢浮?/p>

6、4只【鞏固】 犀牛、羚羊、孔雀三種動(dòng)物共有頭26個(gè)，腳80只，恰角20只.已知犀牛有 4只腳、1只恰角，羚羊有4只腳，2只悟角，孔雀有2只腳，沒有恰角.那么，犀 牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 這道題有三種不同的動(dòng)物混合在一起，這樣假設(shè)起來會(huì)比較麻煩， 像前面的題一樣，我們可以觀察一下：雖然有三種不同的動(dòng)物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數(shù)，就可以把孔雀與這兩種動(dòng)物分開，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“雞兔同籠”問題，然后再通過招角的不同，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次“雞兔同籠”. 假設(shè)26只都是孔雀，那么就有腳：26

7、 2 52 （只），比實(shí)際的少：80 52 28 （只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊.每增加一只犀?；蛄缪颍瑴p少一只孔雀，就會(huì)增加腳 數(shù)：4 2 2 （只）.所以，孔雀有26 28 2 12 （只），犀牛和羚羊總共有 26 12 14（只）. 假設(shè)14只都是犀牛，那么就有恰角： 14 1 14 （只），比實(shí)際的少：20 14 6 （只），這 說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊.每增加一只羚羊，減少一只犀牛，椅角數(shù) 就會(huì)增加：2 1 1 （只），所以，羚羊的只數(shù)：6 1 6 （只），犀牛的只數(shù)：14 6 8 （只）.小結(jié)1這道題出現(xiàn)了三種動(dòng)物，關(guān)鍵是尋找不同動(dòng)物的相同點(diǎn)，把三種動(dòng)

8、物化為兩類，先 使用“雞兔同籠”問題的解法把另外特殊的一種區(qū)分出來，再使用另外條件區(qū)分具有相同點(diǎn)的動(dòng)物.【答案】犀牛8只，羚羊6只，孔雀12只模塊二、多個(gè)量的“雞兔同籠”一一變例【例2】食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元.已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元，則每千克 20元的收入： 2570 1970 600元，所以賣出：600 20 30千克，

9、所以賣出每千克 25元和每千克30克的糖果共100 30 70千克，相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千 克？轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問題.假設(shè)全是每千克25元的，1970 25 7030 25 =44 （千克），所以30元的是44千克，所以25元的有：70 44=26 （千克）關(guān)鍵：將三種以及更多的動(dòng)物/東西，轉(zhuǎn)化為兩種最基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)化后的“頭”與“腳”。【答案】26千克【鞏固】08年春，我國南方遭受到重大雪災(zāi)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)三年級(jí)一班的42名同學(xué)給南方的災(zāi)區(qū)捐款450元。其中有12名同學(xué)每人捐5元，其他同學(xué)

10、捐10元或20元，則捐10 元的有 名，捐20元的有 名?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級(jí)，第8題，假設(shè)思想方法【解析】由題意，42 12=30 （名）同學(xué)捐10元或20元，一共捐了 450 12 5 390 （元）， 那么捐20元的同學(xué)有：（390 10 30） （20 10） 9 （人），捐10元的有：30 9 21 （名）?！敬鸢浮?1名【例3】某場(chǎng)足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共 400張，甲類票50元/張，乙類票40 元/張，丙類票30元/張，共收入15500元，其中乙類、丙類門票張數(shù)相同.則甲 類、乙類、丙類門票分別售出多少張？【考點(diǎn)】雞兔同

11、籠問題【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 14題【解析】 雞兔同籠問題，乙類、丙類門票張數(shù)相同，則可以看成價(jià)格為35元/張的同一類門票.容易得到甲類門票售出400- （50? 400 15500） ? （50 35） = 100張，乙類、丙類各售出（400 -100） +2=150張.【答案】甲門票售出100張，乙和丙售出150張【例4】有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2,黃色卡片的兩面上分別寫著1和3 ,綠色卡片的兩面上分別寫著 2和3 .現(xiàn)在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數(shù)字的那面朝上，經(jīng)計(jì)算，各卡片上所 顯示的數(shù)

12、字之和為 234.若把所有卡片正反面翻轉(zhuǎn)一下，各卡片所顯示的數(shù)字之 和則變成123.問黃色卡片有多少張？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 開始的時(shí)候，黃色和綠色的卡片上都是 3,紅色卡片上是2 .如果全部是紅色卡片， 那么數(shù)字之和為：2 100 200,比實(shí)際的少：234 200 34.每增加一張黃色或 綠色卡片，那么數(shù)字就會(huì)增加：3 2 1.那么，黃色和綠色卡片之和：34 1 34（張）,紅色卡片有：100 34 66 （張）.翻轉(zhuǎn)過來后，紅色和黃色卡片上都是1,綠色卡片上是2.紅色卡片有66張，剩下的綠色和黃色卡片上的數(shù)字之和為：123 1 66

13、57 .如果34張卡片都是黃色的，那么這 34張卡片上的數(shù)字之和為：1 34 34,比實(shí)際的少：57 34 23.每增加一張綠色卡片，數(shù)字之和 就會(huì)增加：2 11,所以，綠色卡片有：23 1 23 （張），黃色卡片有：34 23 11 （張）.【答案】11張【例5】商店出售大，中，小氣球，大球每個(gè)3元，中球每個(gè)1.5元，小球每個(gè)1元.張老師用 120元共買了 55個(gè)球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個(gè)？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答6-1-9.雞兔同籠問題.題庫page 3 of 6教師版【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù)，大，小球的價(jià)錢也都是

14、整數(shù)，所以買中球的錢數(shù)是整數(shù)，而且還是3的整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買中球，小球錢中各出3元.就可買2個(gè)中球，3個(gè)小球.因此，可以把這兩種球看作一種，每個(gè)價(jià)錢是 （1.5 X 2+1X3） + （2+3）=1.2（ 元）.從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是（120-1.2 X 55） + （3-1.2）=30（ 個(gè)）.買中，小球錢數(shù)各是（120-30 X 3） + 2=15（元）. 可買10個(gè)中球,15個(gè)小球.【答案】大球30個(gè)，中球10個(gè)。小球15個(gè)【例6】從甲地至乙地全長 45千米，有上坡路，平路，下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米，平路上速度是每小時(shí)5千米，下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地，李強(qiáng)行走了

15、10小時(shí)；從乙地到甲地，李強(qiáng)行走了11小時(shí).問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 把來回路程 45X 2=90（千米）算作全程.去時(shí)上坡，回來是下坡；去時(shí)下坡回來 時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成"一種”路程，根據(jù)例15,平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡單的"雞兔同籠”問題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù)90,雞，兔腳數(shù)分別是 4和5.因此平路所用時(shí)間是（90-4 X21） + （5-4）=6（小時(shí)）.單程平路行走時(shí)間是6 + 2=3（小時(shí)）.從甲地至乙地，上坡和下坡用了 10-3=7（小時(shí)）行

16、走路程是45-5 X 3=30（千米）.又是一個(gè)"雞兔同籠"問題.從甲地至乙地 ，上坡行走的時(shí)間是（6X7-30） +（6-3）=4（小時(shí)）.行走路程是3 X 4=12（千米）.下坡行走的時(shí)間是7-4=3（小時(shí)）.行走路程是6 X 3=18（千米）.【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.【例7】在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共22道.選擇題和填空題每題4分，解答題每題10分.這次考試總分是 100分，其中選擇題和解答題的分值比填 空題多4分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假

17、設(shè)思想方法，希望杯【解析】選擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類。如果這次考試的22道題全是解答題， 則總分應(yīng)是：22 10 220（分），但實(shí)際總分是100分，所以選擇題和填空題共有： （220 100） （10 4） 20 （道），解答題有：22 20 2 （道）.選擇題比填空題少： 2 10 4 16（分），選擇題有：（100 2 10 16） 2 4 8（道），填空題有： 20 8 12（道）.【答案】選擇題8題，填空題12題，解答題2題【例8】某商場(chǎng)為招攬顧客舉辦購物抽獎(jiǎng).獎(jiǎng)金有三種：一等獎(jiǎng)1000元，二等獎(jiǎng)250元，三等獎(jiǎng)50元.共有100人中獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額為9500元.問二等獎(jiǎng)有多

18、少名？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 假設(shè)全是三等獎(jiǎng)，共有： 9500/50=190 （人）中獎(jiǎng)，比實(shí)際多：190-100=90 （人）1000/50=20 ,也就是說：把20個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù) 減少了： 20-1=19 （人）250/50=5 ,也就是說：把5個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng) 金總額不變，而人數(shù)減少了： 5-1=4 （人）。因?yàn)槎喑龅氖?0人，而：90=19*2+4*13. 即：要使總?cè)藬?shù)為100,只需要把20*2=40個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成2個(gè)一等獎(jiǎng)，把5*13=65 個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成13個(gè)二等獎(jiǎng)就可以了。所以，二等獎(jiǎng)有1

19、3個(gè)人?！敬鸢浮?3人【鞏固】 有50位同學(xué)前往參觀，乘電車前往每人1.2元，乘小巴前往每人 4元,乘地下鐵路 前往每人6元.這些同學(xué)共用了車費(fèi)110元，問其中乘小巴的同學(xué)有多少位？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 由于總錢數(shù)110元是整數(shù)，小巴和地鐵票也都是整數(shù)，因此乘電車前往的人數(shù)一定 是5的整數(shù)倍.如果有30人乘電車，110-1.2 X 30=74(元). 還余下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了.如果有40人乘電車110-1.2 X 40=62(元).還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往，錢還有多(62&g

20、t;6 X 10).說明假設(shè)的乘電車 人數(shù)又多了 .30至40之間，只有35是5的整數(shù)倍.現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠”了：總頭數(shù) 50-35=15, 總腳數(shù) 110-1.2 X 35=68.因此，乘小巴前往的人數(shù)是(6 X 15-68) +(6-4)=11.【答案】11【例9】學(xué)校組織新年游藝晚會(huì)，用于獎(jiǎng)品的鉛筆 ，圓珠筆和鋼筆共 232支，共花了 300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支 2.7元，鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】從條件"鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍&

21、quot;，這兩種筆可并成一種筆，四支鉛筆和一支圓珠筆成一組，這一組的筆，每支價(jià)格算作(0.60 X 4+2.7) + 5=1.02(元).現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠”公式可算出，鋼筆支數(shù)是(300-1.02 X 232) + (6.3-1.02)=12( 支). 鉛筆和圓珠筆共232-12=220( 支).其中圓珠筆 220 +(4+1)=44( 支). 鉛筆 220-44=176( 支).【答案】鋼筆12支，圓珠筆44支，鉛筆176支【例10】某次考試有52人參加，共考5道題，每題做錯(cuò)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表如下圖.題號(hào)"爐y U .五：做錯(cuò)人數(shù)4 口6戶

22、10+20十391還知道每人都至少做對(duì) 1道題，做對(duì)1道題的有7人，5道題全對(duì)的有6人，做對(duì)2道題和3道題的人數(shù)一樣多.那么做對(duì)4道題的人數(shù)是多少？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 總共答對(duì)了： 52 5 (4 6 10 20 30) 190道題，做對(duì)2、3、4道題的人總共 有：52 7 6 39人，這39人總共答對(duì)了： 190 7 1 5 6 153道題.可假設(shè) 做對(duì)2道題的有1人，假設(shè)出錯(cuò)量：2 1 3 1 (39 2) 4 153 (4 2 2 3) 0 ,所以假設(shè)正確，對(duì)二、三道題的 各1人，對(duì)4道題的37人.難點(diǎn)：給的是做錯(cuò)題的表， 而條件給的是做對(duì)的條件?！敬鸢浮?7人【鞏固】 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對(duì)181道題，已知每人至少做對(duì) 1道 題，做對(duì)1道的有7人,5道全對(duì)的有6人，做又2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做 對(duì)4道的人數(shù)有多少人？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】對(duì)2道,3道,4道題的人共有 52-7-6=39（人）.他們共做對(duì)