線性代數(shù)知識點總結(jié)匯總

1、線性代數(shù)知識點總結(jié)1行列式（一）行列式概念和性質(zhì)1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù) k,等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。（5） 一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對角線）行列式的值 等于主對角線元素的乘積一”5、副對角線行列式的值等

2、于副對角線元素的乘積乘（7）二6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則A0A*=A. » E*B0B7、n階（n>2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明 8、對角線的元素為a,其余元素為b的行列式的值:abb-bbab-bbba-bbbb-a（三）按行（列）展開9、按行展開定理：(1)任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各個元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式：(1) |kA|二kn|A|(2) |AB|二|A| |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|

3、=|A| -1(5) |A*|二|A| n-1I/卜出(6)若A的特征值XL入2加，則E(7)若A與B相似,則|A|二|B|(五)克萊姆法則11、克萊姆法則：(1 )非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0 ,那么方程為唯一解(2)如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0(3)若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為 0,則齊次線性方程組只有0解；如 果方程組有非零解，那么必有 D=0。2矩陣(一)矩陣的運算1、矩陣乘法注意事項：(1)矩陣乘法要求前列后行一致；(2)矩陣乘法不滿足交換律；(因式分解的公式對矩陣不適用，但若 B=E,O,A1, A*,f(A)時，可以用交換律)(3) A

4、B=O不能推出A=O或B=O。2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(5條)(1) (A+B)=AT+BT(2) (kA) T=kAT(3) (AB)工BTAT(4) |A|T二|A|(5) (AT) T=A(二)矩陣的逆3、逆的定義：AB=EmE BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A| W04、逆的性質(zhì)：(5條)(1) (kA) -1=1/k - A-1 (kw0)(2) (AB) -1=B1 - A-1(3) |A-1|=|A| -1(4) (AT) -1= (A-1) T(5) (A-1) -1=A5、逆的求法：(1) A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解(2) A為數(shù)字矩

5、陣：(A|E)初等行變換(E|A-1)(三)矩陣的初等變換6、初等行(列)變換定義：(1)兩行(列)互換；(2) 一行(列)乘非零常數(shù)c(3) 一行(列)乘k加到另一行(列)7、初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：(1)初等行(列)變換相當(dāng)于左(右)乘相應(yīng)的初等矩陣(2)初等矩陣均為可逆矩陣，且 Ej-1=Ej (i, j兩行互換)；E-1 (c) =E (1/c)(第 i 行(列)乘 c)Ej-1 (k) =Ej (-k)(第 i 行乘 k 加到 j)(四)矩陣的秩9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：(1) r (A) =0意味著所有元素為0,即A=

6、O(2) r (Anxn) =n (滿秩)|A| *0 A 可逆；r (A) < n|A|=0A 不可逆；(3) r (A) =r (r=1、2、n-1) r階子式非零且所有r+1子式均為0。10、秩的性質(zhì)：(7條)(1) A為 mXn 階矩陣，則 r (A) < min (m,n)(2) r (A± B) & r (A) ± ( B)(3) r (AB) < minr (A), r (B) (4) r (kA) =r (A) (20)(5) r (A) =r (AC) (C是一個可逆矩陣)(6) r (A) =r (AT) =r (ATA) =r

7、 (AAT)(7) 設(shè) A 是 m x n 階矩陣，B 是 n x s 矩陣，AB=O,則 r (A) +r (B) < n 11、秩的求法:（1） A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2） A為數(shù)字矩陣：A初等行變換階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0）,則r （A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質(zhì)：(8條)(1) AA*=A*A=|A|EA*=|A|A(2) (kA) *=kn-1A*(3) (AB) *=B*A*(4) |A*|二|A| n-1(5) (At) *= (A*) T(6) (A-1) *= (A*) -1=A|A|-1(7) (A*) *=|A|

8、n-2 - A (8)r(A*)=n(r(A)=n);r(A*)=1(r(A)=n-1);r(A*)=0(r(A)< n-1)(六)分塊矩陣13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。14、分塊矩陣求逆：B 印_口 oiro bTFo L p c_ o L c o方 o3向量（一）向量的概念及運算1、向量的內(nèi)積：（a, B） =aT0 =B Ta2、長度定義：| a |= "I " " V 12"3、正交定義：（a, B） =a T0 = B T a =a1b1+&b2+一+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAt=E A-1=

9、At AtA=E |A|= ± 1（二）線性組合和線性表示5、線性表示的充要條件：非零列向量B可由ai, a 2,，a s線性表示(1)非齊次線性方程組(ai, a 2,，as)(Xi,X2,，Xs)T=0有解。(2)r(ai, a 2,，as) =r ( a i, a 2,，as, B )(系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗)6、線性表示的充分條件： (了解即可)若ai, a 2,，a s線性無關(guān)，ai, a2,，as, 0線性相關(guān)，則0可由a i,a 2,，a s線性表小。7、線性表示的求法： (大題第二步)設(shè)ai, a 2,，a s線性無關(guān)，0可由其線性表示。(

10、ai, a2,，a s| B )初等行變換(行最簡形|系數(shù))行最簡形：每行第一個非0的數(shù)為i,其余元素均為0(三)線性相關(guān)和線性無關(guān)8、線性相關(guān)注意事項：(1) a線性相關(guān)a =0(2) a i, a 2線性相關(guān)a i , a 2成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組a i, a 2,，as線性相關(guān)(i)有個向量可由其余向量線性表示；(2)齊次方程(ai, a 2,，as)(Xi, X2,，Xs) T=0有非零解；(3) r(ai, a 2,，as) <s即秩小于個數(shù)特別地，n個n維列向量a i, a 2,，an線性相關(guān)(1) r(ai, a2,，an)<n(2) | a i, a

11、2,，a n |=0(3) ( a i, a 2,，an)不可逆i0、線性相關(guān)的充分條件：(i)向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)( 2)部分相關(guān)，則整體相關(guān)( 3)高維相關(guān)，則低維相關(guān)( 4)以少表多，多必相關(guān)推論： n+1 個 n 維向量一定線性相關(guān)11、線性無關(guān)的充要條件向量組a 1, a 2,，a s線性無關(guān)( 1)任意向量均不能由其余向量線性表示；(2)齊次方程(ai, a2,，as)(Xi,X2,，Xs)T=0只有零解(3) r ( a i, a 2,，a s) =S特別地，n個n維向量ai, a 2,，a n線性無關(guān)r (ai, a 2,，an) =n | ai, a 2,，a

12、 n |W0 矩陣可逆12、線性無關(guān)的充分條件：(1)整體無關(guān)，部分無關(guān)( 2)低維無關(guān)，高維無關(guān)( 3)正交的非零向量組線性無關(guān)( 4)不同特征值的特征向量無關(guān)13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定(1)定義法( 2)秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)【專業(yè)知識補充】( 1)在矩陣左邊乘列滿秩矩陣(秩=列數(shù))，矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。(2)若n維列向量a1，a 2, a 3線性無關(guān)，01, 0 2, B 3可以由其線性表示， 即(B1, 0 2, 0 3)= (a1，a 2, a3)C,則 r (儲，0 2, B 3) =r (C),從而 線性無關(guān)。r ( 01

13、, B2, 0 3)=3 r (C) =3 |C| *0(四)極大線性無關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無關(guān)組不唯一15、向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)注:向量組a 1 , a 2,，as的秩與矩陣A= ( a 1, a 2,，a s)的秩相等16、極大線性無關(guān)組的求法(1) a 1, a 2,，as為抽象的：定義法(2) ai, a 2,，as為數(shù)字的：(ai, a2,，a J初等行變換階梯型矩陣則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組(五)向量空間17、基(就是極大線性無關(guān)組)變換公式：若ai, a2,，an與0i, 02,，Bn是n

14、維向量空間V的兩組基，則基 變換公式為(B 1, 0 2,，Bn) = ( ai, a2,，an) Gxn其中，C是從基ai, a2,，an到01, 02,，0n的過渡矩陣。C=(ai, a2,，an)" (Bi, 02,，Bn)i8、坐標(biāo)變換公式：向量丫在基a i , a 2,，a n與基Bi, B 2,，Bn的坐標(biāo)分別為x=(xi , X2,， Xn) T, y= ( yi , y2,，yn) T,即丫 =xi a i+ X2 a 2+ +Xn a n =yi B i + Y2 B 2 + +ynBn,則坐標(biāo)變換公式為乂子丫或y'd 其中，C是從基ai, a 2,，a n

15、到 Bi, B2,，Bn 的過渡矩陣。C= ( a i , a 2,，a n) -i ( B i, B2,，B n)(六)SchmidtiE交化i9、Schmidt 正交化 設(shè)a i, a 2, a 3線性無關(guān)(i)正交化令B i=自一一(昂自十一(匹.魚(2)單位化4線性方程組(一)方程組的表達(dá)形與解向量1、解的形式：(1) 一般形式矩陣形式：Ax=b;(3)向量形式：A=(ai, a2,，an)2、解的定義：若q二(ci, C2,，Cn) T滿足方程組Ax=b,即A4 二b,稱“是人乂巾的一個解(向 量)(二)解的判定與性質(zhì)3、齊次方程組：(1)只有零解r (A) =n (n為A的列數(shù)或是

16、未知數(shù)x的個數(shù))(2)有非零解r (A) <n4、非齊次方程組：(1)無解 r (A) <r (A|b) r (A) =r (A) -1(2)唯一解 r (A) =r (A|b) =n(3)無窮多解 r (A) =r (A|b) <n5、解的性質(zhì)：(1)若己1,己2是Ax=0的解，貝U k1± 1+k2±2是Ax=0的解(2)若己是Ax=0的解，4是Ax=b的解，貝U己+4是Ax=b的解(3)若41,42是Ax=b的解，貝U刀1-42是Ax=0的解【推廣】(1)設(shè)刀1,42,，rs是Ax=b的解，貝 k141+k2 T 2+ksi s為-Ax=b 的解 (

17、當(dāng) 2ki=1)一 Ax=0的解(當(dāng) 2ki=0)(2)設(shè)刀1,刀2,，"s是Ax=b的s個線性無關(guān)的解，則42-T 1,43-T1,，“s_41為Ax=0的s-1個線性無關(guān)的解。變式：刀1-42,刀3-42,，"s-T2刀2-41 , 刀3-42, ，刀s-4s-1(三)基礎(chǔ)解系6、基礎(chǔ)解系定義：(1)，E2,，ES是Ax=0的解(2)，E2,，Es線性相關(guān)(3) Ax=0的所有解均可由其線性表示基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組注：基礎(chǔ)解系不唯一。任意n-r (A)個線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。7、重要結(jié)論：(證明也很重要)設(shè)A施mXn階矩陣，B是nXs階矩陣，AB=O(1

18、) B的列向量均為方程Ax=0的解(2) r (A) +r (B) & n (第 2 章，秩)8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法(1) A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r (A)個線性無關(guān)的解(2) A為數(shù)字的：A初等行變換階梯型自由未知量分別取1,0,0; 0,1,0; 0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系(四)解的結(jié)構(gòu)(通解)9、齊次線性方程組的通解(所有解)設(shè)r (A) =r, E 1, E 2,，E n-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k141+k242+kn-r4n-r (其中k1, k2 ,，kn-r為任意常數(shù))10、非齊次線性方程組的通解設(shè)r(A) =r,己1,己2

19、,，E n-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，”為人乂小的特解，則Ax=b的通解為q+ k141+k2 7 2+kn-r 7 n-r (其中k1,卜2,，kn-r為任意常數(shù))(五)公共解與同解11、公共解定義：如果a既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱a為其公共解12、非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解(I x =r < n有非零解13、重要結(jié)論（需要掌握證明）（1）設(shè)A是mXn階矩陣，則齊次方程 ATAx=W Ax=0同解，r （ATA =r （A）（2）設(shè)A是mXn階矩陣，r （A） =n, B是nXs階矩陣，則齊次方程 ABx=0與 Bx=0 同解，r

20、 （ AB） =r（ B）5 特征值與特征向量（一）矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)人及非零列向量a ,使得Aa =入a ,稱a是矩陣 A屬于特征值人的特征向量。2、特征多項式、特征方程的定義：|入E-A|稱為矩陣A的特征多項式（入的n次多項式）。|入E-A |=0稱為矩陣A的特征方程（入的n次方程）。注:特征方程可以寫為|A-入E|=03、重要結(jié)論：（1）若a為齊次方程Ax=0的非零解，則Aa =0 a ,即a為矩陣A特征值人=0 的特征向量（2） A的各行元素和為k,則（1, 1,1）T為特征值為k的特征向量。（ 1） （下）三角或主對角的矩陣的

21、特征值為主對角線各元素。4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法（ 2） A 為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（ 3） A 為數(shù)字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|入E-A|=0,得矩陣A的n個特征值入1,入2,，入n注：n次方程必須有n個根（可有多重根，寫作入產(chǎn)入2=,，=入s=實數(shù)，不能省略）（2）解齊次方程（入iE-A） =0,得屬于特征值入i的線性無關(guān)的特征向量，即其 基礎(chǔ)解系（共n-r （入iE-A）個解）6、性質(zhì)：（ 1）不同特征值的特征向量線性無關(guān)(2) k重特征值最多k個線性無關(guān)的特征向量1<n-r (入 iE-A) < ki(3)設(shè)A的特征值為入1,入2,，入

22、n,則冏二口入i, 2入i=2 aii(4)當(dāng)r (A) =1,即A=a BT,其中a , B均為n維非零列向量，則A的特征值為入 1 = 2 di=a TB =BTa,入 2=-=入 n=0(5)設(shè)a是矩陣A屬于特征值人的特征向量，則Af (A)ATA1A*P-1AP (相似)入f ( N入入1|A| 入1入aa/aaP1 a(二)相似矩陣7、相似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣 P使得B=P1AP,稱A與B相似，記 作AB8、相似矩陣的性質(zhì)(1)若A與B相似，則f (A)與f (B)相似(2)若A與B相似，B與C相似，則A與C相似(3)相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項

23、式、特征方程、特征值、跡(即 主對角線元素之和)【推廣】(4)若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B1相似，A*與B* 也相似(三)矩陣的相似對角化9、相似對角化定義：卜如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣 P,使得P-1AP=A =一右，稱 A 可相似對角化。注：Aa 1=34（口產(chǎn)0,由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值入的特征向量10、相似對角化的充要條件 1） A有n個線性無關(guān)的特征向量 2） 2） A 的 k 重特征值有k 個線性無關(guān)的特征向量11、相似對角化的充分條件： 1） A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)） 2） 2） A 為實對稱

24、矩陣12、重要結(jié)論：（1）若A可相似對角化，則r （A）為非零特征值的個數(shù)，n-r （A）為零特征值的個數(shù)（2）若A不可相似對角化，r （A）不一定為非零特征值的個數(shù)（四）實對稱矩陣13、性質(zhì)（ 1）特征值全為實數(shù)（ 2）不同特征值的特征向量正交（3） A可相似對角化，即存在可逆矩陣 P使得P-1APW（4） A可正交相似對角化，即存在正交矩陣 Q,使得Q-1AQ=QTAQ=6 二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型：（ 1）一般形式（ 2）矩陣形式（常用）2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項，即 f（X1, X2,，Xn） =dlXl2+d2X22+ - +dnXn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對角線）3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（ 1）配方法：通過可逆線性變換x=Cy （C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換 及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到。（ 2）正交變換法：通過正父變換x=Qy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 入iy/+入2y2?+ X nyn2其中，入1,入2,