求數(shù)列通項公式和前n項和方法總匯

1、求數(shù)列通項公式的常用幾種方法數(shù)列知識是高考中的重要考察內(nèi)容,而數(shù)列的通項公式又是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,它如同函數(shù)中的解析式一樣,有了解析式便可研究起性質(zhì)等;而有了數(shù)列的通項公式便可求出任一項以及前N項和等.因此,求數(shù)列的通項公式往往是解題的突破口,關(guān)鍵點.故將求數(shù)列通項公式的方法做一總結(jié),希望能對廣大考生的復(fù)習(xí)有所幫助.下面就談?wù)勄髷?shù)列通項公式的幾種方法：1、類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，2、類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件

2、知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例:已知， ，求。解： 。3、類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:遞推式：。解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異4、類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以5、類型5 遞推

3、公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足例:已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。6、類型6解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，7、類型7 1、利用sn和n的關(guān)系求an 思路：當n=1 時，an=sn當n2 時, an=sn-sn-1例6、已知數(shù)列前項和s=n2+1,求an的通項公式.解：當n=1 時，an=sn2當n2 時

4、, an=sn-sn-1n+1-(n-1)2+1=2n-1而n=1時，a1=2不適合上式當n=1 時，an=2當n2 時, an=2n-12、利用sn和an的關(guān)系求an 思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關(guān)系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解例、在數(shù)列an中，已知sn=3+2an，求an解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1) an=2an-1an是以為公比的等比數(shù)列an=a1·2n-1= -3×2n-18、倒數(shù)變換將遞推公式(c、d為非零常數(shù))取倒數(shù)得.例6 在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.解：，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列前N項和的常

5、用方法一.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和如果一個數(shù)列an，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。例題1：設(shè)等差數(shù)列an，公差為d，求證：an的前n項和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+.+an 倒序得：Sn=an+an-1+an-2+a1 +得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)又a1+an=

6、a2+an-1=a3+an-2=an+a12Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2點撥：由推導(dǎo)過程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1即與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來實現(xiàn)的。二.用公式法求數(shù)列的前n項和對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。例題2：求數(shù)列的前n項和Sn解：點撥：這道題只要經(jīng)過簡單整理，就可以很明顯的看出：這個數(shù)列可以分解成兩個數(shù)列，一個等差數(shù)列，一個

7、等比數(shù)列，再分別運用公式求和，最后把兩個數(shù)列的和再求和。三.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。例題3：求數(shù)列(nN*)的和解：點撥：此題先通過求數(shù)列的通項找到可以裂項的規(guī)律，再把數(shù)列的每一項拆開之后，中間部分的項相互抵消，再把剩下的項整理成最后的結(jié)果即可。四.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列an·bn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。例題4：求數(shù)列nan

8、(nN*)的和解：設(shè) Sn = a + 2a2 + 3a3 + + nan則：aSn = a2 + 2a3 + + (n-1)an + nan+1-得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + + an - nan+1若a = 1則：Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 若a 1則：點撥：此數(shù)列的通項是nan,系數(shù)數(shù)列是：1，2，3n，是等差數(shù)列；含有字母a的數(shù)列是：a,a2,a3,，an,是等比數(shù)列，符合錯位相減法的數(shù)列特點，因此我們通過錯位相減得到式，這時考慮到題目沒有給定a的范圍，因此我們要根據(jù)a的取值情況分類討論。我們注意到當a=1時數(shù)列變成等差數(shù)列，可以直接運用公式求值

9、；當a1時，可以把式的兩邊同時除以（1-a），即可得出結(jié)果。五.用迭加法求數(shù)列的前n項和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an ，從而求出Sn。例題5：已知數(shù)列6,9,14,21,30,其中相鄰兩項之差成等差數(shù)列，求它的前n項和。解：a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 , an - an-1 = 2n-1把各項相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) =an

10、 = n2 - 1 + a1 = n2 + 5Sn = 12 + 22 + + n2 + 5n =+ 5n點撥：本題應(yīng)用迭加法求出通項公式，并且求前n項和時應(yīng)用到了12 + 22 + + n2=因此問題就容易解決了。六.用分組求和法求數(shù)列的前n項和所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例題6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1n2(nN*)解：當n是偶數(shù)時：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 1)2 - n2= - (1 + 2 + + n) = - 當n是奇數(shù)時：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 2)2 - (n - 1)2 + n2= - 1 + 2 + + (n - 1) + n2= -綜上所述：S = (-1)n+1n(n+1)點撥：分組求和法的實質(zhì)是：將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個可以求和的數(shù)列,分別求和。七