高等數(shù)學 格林公式及其應用（課堂PPT）

1、 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用110.3 格林公式及其應用格林公式及其應用 小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)格林格林(Green)(Green)公式公式平面上曲線積分與路徑無關的平面上曲線積分與路徑無關的條件條件全微分方程全微分方程格林格林 Green.G. (17931841) 英國數(shù)學家、物理學家英國數(shù)學家、物理學家第第1010章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用2DD1. 區(qū)域連通性的分類區(qū)域連通性的分類 設設D為平面區(qū)域為平面區(qū)域,復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域一、格林公式一、格林公式否則稱為否則稱為則稱則稱D為

2、平面為平面復連通區(qū)域復連通區(qū)域. .成的部分都屬于成的部分都屬于D,如果如果D內(nèi)任一閉曲線所圍內(nèi)任一閉曲線所圍單連通區(qū)域單連通區(qū)域, , 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用3定理定理10.4(10.4(格林公式格林公式) ) 設設閉區(qū)域閉區(qū)域D由分段光滑由分段光滑的曲線的曲線L圍成圍成, LDyQxPyxyPxQdddd)(函數(shù)函數(shù)P(x, y)及及Q(x, y)在在D上具有上具有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù), 則有則有2. 格林公式格林公式其中其中L是是 D的取的取正向正向的邊界曲線的邊界曲線.一階一階 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用4DLl當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走

3、時,(1) P、Q在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導上具有一階連續(xù)偏導; (2) 曲線曲線L是封閉的是封閉的, 并且取正向并且取正向. .注注規(guī)定規(guī)定 邊界曲線邊界曲線L的的正向正向. .區(qū)域區(qū)域D總在他的總在他的左邊左邊. .DL D:記為記為 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用5),()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD (1)先對簡單區(qū)域證明先對簡單區(qū)域證明:證明證明 LDyQxPyxyPxQdddd)(若區(qū)域若區(qū)域D既是既是型型 X又是又是型型 Y即平行于坐標軸的直線即平行于坐標軸的直線

4、和和L至多交于兩點至多交于兩點.xyOabdcD)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用6D)(2yx )(1yx DyxxQdd dcyyyQd),(2 CBEyyxQd),(同理可證同理可證 LDxyxPyxyPd),(dd dcyd dcyyyQd),(1 LDyQxPyxyPxQdddd)( yyxQd),( EACyyxQd),( dcyyyyxQd),()()(21 xxQyyd)()(21 CBECAE yyxQd),( LDyQxPyxyPxQdddd)( LyyxQd),(xyOdcABCE化為二次積分化為二次積分化為

5、第二類曲線積化為第二類曲線積分分 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用7DL(2) 再對一般區(qū)域證明再對一般區(qū)域證明: :1L1D2D3D DyxyPxQdd)(若區(qū)域若區(qū)域D由按段光滑由按段光滑(如圖如圖)將將D分成三個既是分成三個既是型型 X又是又是型型 Y的區(qū)域的區(qū)域,1D yxyPxQdd)(2L3L321DDD ,2D.3D的閉曲線圍成的閉曲線圍成.xyO積分區(qū)域的可加性積分區(qū)域的可加性 LDyQxPyxyPxQdddd)( 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用8 LyQxPdd DyxyPxQdd)( 321dd)(DDDyxyPxQ yxyPxQdd)( yxyPxQ

6、dd)( yQxPdd yQxPdd LDyQxPyxyPxQdddd)( yxyPxQdd)(1D2D3D yQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D(L1, L2, L3對對D來說為正方向來說為正方向) 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用91L2L3L(3) 對復連通區(qū)域證明對復連通區(qū)域證明: : DyxyPxQdd)(若區(qū)域不止由一條閉曲線若區(qū)域不止由一條閉曲線 LyQxPdd 所圍成所圍成. .)dd(yQxP 2L( 3L 1L)D格林公式格林公式且邊界的方向對區(qū)且邊界的方向對區(qū)的曲線積分的曲線積分,右端應包括沿區(qū)域右端應包括沿區(qū)域D的的全部邊界全部邊界域域D來說都

7、是正向來說都是正向. LDyQxPyxyPxQdddd)(對復連通區(qū)域對復連通區(qū)域D, (L1, L2, L3對對D來說為正方向來說為正方向) 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用101L2L3L(3) 對復連通區(qū)域證明對復連通區(qū)域證明: :由由(2)知知 DyxyPxQdd)( 3L)0, 0( CEECABBA若區(qū)域不止由一條閉曲線若區(qū)域不止由一條閉曲線添加直線段添加直線段,AB.CE則則D的邊界曲線由的邊界曲線由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及及構成構成. LyQxPdd 所圍成所圍成. . AB 2L BA AFC CE)dd(yQxP EC CGA)dd(yQ

8、xP 2L( 3L 1L)GFDCEAB(L1, L2, L3對對D來說為正方向來說為正方向)對復連通區(qū)域對復連通區(qū)域D, 格林公式格林公式且邊界的方向對區(qū)且邊界的方向對區(qū)的曲線積分的曲線積分,右端應包括沿區(qū)域右端應包括沿區(qū)域D的的全部邊界全部邊界域域D來說都是正向來說都是正向. 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用11 便于記憶形式便于記憶形式:.dddd LDyQxPyxQPyx格林公式的實質格林公式的實質之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與溝通了沿閉曲線的積分與二重積分二重積分 LDyQxPyxyPxQdddd)( 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用12 Lxyyx

9、dd(1) 計算平面的面積計算平面的面積3. 簡單應用簡單應用 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式.dd21 LxyyxAy x得得 Dyxdd2閉區(qū)域閉區(qū)域D的的面積面積 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用13Oxy 例例 求橢圓求橢圓解解由公式由公式得得tttabAd)sin(cos212202 .ab D所圍成的面積所圍成的面積. LxyyxAdd2120,sin,cos ttbytax 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用14對對平面閉曲線平面閉曲線上的對坐標曲線積分上的對坐標曲線積分,yPxQ 當當比較簡單時比較簡單時, 常?？紤]通過常?？紤]通過格林格

10、林公式公式化為化為二重積分二重積分來計算來計算. . DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用15D計算計算.d)(d)3( LxyxyyxL是圓周是圓周: :如把如把圓周寫成參數(shù)方程圓周寫成參數(shù)方程: :,cos31 x再將線積分化為定積分計算再將線積分化為定積分計算,用用格林公式格林公式易求易求.分析分析 sin34 y)20( 則過程較麻煩則過程較麻煩.9)4()1(22 yx解解, )(yxP 設設yxQ 3由格林公式由格林公式3 xQ, 1 yP Dyxdd2.18 Lxyxyyxd)(d)3(Oxy(2) 簡化曲線積分的計算簡化曲線積分的計算

11、例例 DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用162.1 LyyyyxxyxI,d)2e(de3計算計算其中其中L為圓周為圓周xyx222 解解,eyP yxxyQy2e3 ,eyyP yyxQe3 3yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 DLyxyPxQyQxPdd)(dd I對稱性對稱性的的正向正向.Oxy yxyDdd3. 0D 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用17則曲線積分則曲線積分為取正向的圓周為取正向的圓周設設, 922 yxL Lyxxxyxy).(d)4(d)22(218 解解,22yxyP 設設xxQ42 由格林公式由格林公式

12、42 xxQ, 22 xyP Lyxxxyxyd)4(d)22(2 Dyxxxdd)2242( Dyxdd2.18 DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用18例例 計算計算 ,d)cose (d)sine (ymyxmyyxAOx .22axyx 分析分析但由但由myQx cose xQ yP可知可知 yPxQ非常簡單非常簡單.m,coseyxmyx cose,sinemyyPx 其中其中AO是從點是從點A(a,0)到到點點O(0,0)的上半圓周的上半圓周此積分路徑此積分路徑AO不是閉曲線不是閉曲線! !Oxy )0 ,(aA 10.3 格林公式及其應

13、用格林公式及其應用19Oxy為應用為應用格林公式格林公式再補充一段曲線再補充一段曲線,因在補充的曲線上還要算曲線積分因在補充的曲線上還要算曲線積分,補充的曲線要簡單補充的曲線要簡單,使之構成使之構成閉曲線閉曲線.所以所以因而這里補加直線段因而這里補加直線段直線段直線段.通常是補充與坐標軸平行的通常是補充與坐標軸平行的 L不閉合不閉合 + 邊邊L, 使使L+ L閉合閉合, 再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式 Dyxmdd ymyxmyyxOAAOxd)cose (d)sine ( 281am 解解.OAaxy 0, 0OA的方程為的方程為 ax0d0故故0所以所以, I.812am

14、0812am AO OA OA000myPxQ ymyxmyyxOAxd)cose (d)sine ( )0 ,(aA 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用20 Lxyyxd2d則曲線積分則曲線積分222 yx設設L為正向圓周為正向圓周在第一象限中的部分在第一象限中的部分,的值為的值為( ).23解解 Lxyyxd2d 2121LLLLL00dd3 Dyx3 yPxQ4)2(32 .23 LOxy222L1L DLyxyPxQyQxPdd)(ddD 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用210(3) 二重積分化為線積分計算二重積分化為線積分計算則則 yPxQ解解 令令, 0 P2ey

15、xQ 例例為頂點的為頂點的 Dyyx,dde2計算計算是是其中其中D)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO以以 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 Dyyxdde2 BOABOAyyxde2 OAyyxde2 AByyxde2 BOyyxde22ey ).e1(211 10de2xxx0 0 0Oxy11ABD三角形閉區(qū)域三角形閉區(qū)域. 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用22解解記記L所圍成的閉區(qū)域為所圍成的閉區(qū)域為D,其中其中L為一條無重點為一條無重點,分段光滑且分段光滑且不經(jīng)過原點不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線的連續(xù)閉曲線, L的方向為的方向為例例 Lyxx

16、yyx,dd22計算計算令令,22yxyP 22yxxQ ,022時時則則當當 yx有有 xQyP 22222)(yxxy 逆時針方向逆時針方向. 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用23L Lyxxyyx22dd即即L為為不包圍原點不包圍原點的任一閉曲線的任一閉曲線.即即L為為包圍原點包圍原點在內(nèi)的任一在內(nèi)的任一閉曲線閉曲線.由格林公式由格林公式,)0 , 0()1(時時當當D ,)0 , 0()2(時時當當D 應用由應用由格林公式格林公式, 得得 LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ 作位于作位于D內(nèi)圓周內(nèi)圓周222:ryxl DLxyOD1DrlxyOP、Q在閉區(qū)域在閉區(qū)

17、域D上具有一階連續(xù)偏導上具有一階連續(xù)偏導;曲線曲線L是封閉的是封閉的, 并且取正向并且取正向. .記記D1由由L和和l所圍成所圍成, Lyxxyyx,dd22計算計算 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用24 Lyxxyyx22dd 2022222dsincos rrr Lyxxyyx22dd.2 yxyPxQdd 所以所以 00 lyxxyyx22dd sincosryrx1DyPxQ lyxxyyx22dd222:ryxl 其中其中l(wèi) 的方向取的方向取逆時針方向逆時針方向L1DrlxyO注意格林公式的條件注意格林公式的條件對復連通區(qū)域對復連通區(qū)域D, 格林公式右端應包括沿格林公式右端

18、應包括沿且邊界的方向且邊界的方向區(qū)域區(qū)域D的的全部邊界全部邊界的曲線積分的曲線積分,對區(qū)域對區(qū)域D來說都是正向來說都是正向. 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用25解解記記L與與l 圍成的閉區(qū)域為圍成的閉區(qū)域為D1.設設L為圓周為圓周在在L內(nèi)部作有向橢圓內(nèi)部作有向橢圓l:順時針方向順時針方向.例例 LyxyxxyI.4dd22求求,022時時當當 yxxQyP .422的正向的正向 yx4:22 yxLlxyO,4222 yxl的方向為的方向為1D I Lyxyxxy224ddl lyxyxxy224dd 而而 lLyxyxxy224dd格林公式格林公式y(tǒng)xyPxQDdd)(1 00

19、lyxyxxy224dd cos2 x sin y 202)sin(dcos2)cos2(dsin 法一法一 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用26 lyxyxxy224dd 202)sin(dcos2)cos2(dsin dcos2sin22022222 20d21 221 I所以所以0 . 法二法二 lyxyxxy224dd lyxxydd12 yxDdd)11(122 2)2(122 4:22 yxLlxyO1DD2是由是由l 所圍區(qū)域所圍區(qū)域2224 yx2224: yxl格林公式格林公式2D lyxxydd2 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用27Oxy 0sinde

20、yyD 研究生考題研究生考題(數(shù)學一數(shù)學一)(10分分)已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx.2dede)2(2sinsin Lxyxyyx證證左邊左邊 =L 0sindeyy,)dee (0sinsin xxx右邊右邊 = 0sindexx,)dee (0sinsin xxx法一法一 0sindexxxxxx(1) 2eesinsin xx LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyxdedededesin

21、sinsinsin 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用28.2dede)2(2sinsin Lxyxyyx 0sinsin)dee (xxx已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx證證(2) 由于由于, 2eesinsin xx故由故由(1)得得 Lxyxyyxdedesinsin .22研究生考題研究生考題(數(shù)學一數(shù)學一)(10分分) 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用29證證 法二法二 (1) 根據(jù)根據(jù)格林公式格林公式, 得得左邊左邊 =右邊右邊

22、 =,d)ee (sinsin xDy ,d)ee (sinsin xDy 因為因為D關于關于xy 對稱對稱, 所以所以 d)ee (sinsinxDy d)ee (sinsinxDy OxyDL LDyQxPyxyPxQdddd)(研究生考題研究生考題(數(shù)學一數(shù)學一)(10分分).2dede)2(2sinsin Lxyxyyx已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin 10.3 格林公式及其應用格

23、林公式及其應用30證證 法二法二由由(1)知知 Lxyxyyxdedesinsin d)ee (sinsinxDy d)ee (sinsinxDx d2 D.22 Lxyxyyxdedesinsin d)ee (sinsinxDy d)ee (sinsinxDy Lxyxyyxdedesinsin+研究生考題研究生考題(數(shù)學一數(shù)學一)(10分分).2dede)2(2sinsin Lxyxyyx已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx 10.3 格林公式及其應用格林公

24、式及其應用31G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有二、平面上曲線積分與路徑無關二、平面上曲線積分與路徑無關的條件的條件AL1L21. 平面上曲線積分與路徑無關的定義平面上曲線積分與路徑無關的定義否則與路徑有關否則與路徑有關.則稱曲線積分則稱曲線積分 LyQxPdd在在G內(nèi)內(nèi)與路徑無關與路徑無關,xyO 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用322. .平面曲線積分與路徑無關的條件平面曲線積分與路徑無關的條件定理定理10.510.5的各分量在區(qū)域的各分量在區(qū)域D上有上有一階一階連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù), 則以下三個則以下三個(1)對對D中任意分段光滑的中任意分段

25、光滑的閉閉曲線曲線L, 總有總有; 0d),(d),( yyxQxyxPL(2)曲線積分曲線積分yyxQxyxPLd),(d),( 在在D內(nèi)與內(nèi)與(3)yyxQxyxPd),(d),( 在在D內(nèi)是某個二元內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分函數(shù)的全微分, 即存在即存在u(x, y), 使得使得路徑無關路徑無關;.d),(d),(),(dyyxQxyxPyxu ),(),(),(yxQyxPyxF 設向量函數(shù)設向量函數(shù)命題命題等價等價： 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用33證證 定理中的三個條件互為定理中的三個條件互為充要條件充要條件. 證明方式證明方式:)2()1(0d),(d),( yyxQx

26、yxPL在在D內(nèi)與路徑無關內(nèi)與路徑無關.DABL1L2如圖如圖, 在在(1)的條件下的條件下yyxQxyxPLd),(d),( 0yyxQxyxPd),(d),( yyxQxyxPd),(d),( 1L 2LyyxQxyxPLd),(d),(2 于是于是,yyxQxyxPLd),(d),(1 .d),(d),(2yyxQxyxPL yyxQxyxPLd),(d),( )1()3()2()1( 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用34:)3()2(由條件由條件(2)yyxQxyxPABd),(d),( yyxQxyxPd),(d),( ),(00yx),(yx),(yxu只需證只需證xu

27、yu 由偏導定義由偏導定義lim xu),(),(yxuyxxu x 0 x ),(yxxuyyxQxyxPd),(d),( ),(00yx),(yxx 在在D內(nèi)與路徑無關內(nèi)與路徑無關yyxQxyxPLd),(d),( yyxQxyxPyxud),(d),(),(d 設設A(x0, y0), B(x, y)是是D內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點, 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用35),(yxx xyOD ),(yxxM yyxQxyxPd),(d),( ),(yxyyxQxyxPd),(d),( ),(yx),(yxPxu 于是于是, ),(yxxu),(yxu xyxPd),(xyxxP )

28、,( 積分中值定理積分中值定理0lim xxu),(yxxP ),(yxP P連續(xù)連續(xù)同理可證同理可證),(yxQyu 所以所以, ),(yxxuyyxQxyxPd),(d),( ),(00yx),(yxx .d),(d),(),(dyyxQxyxPyxu xx x),(00yx),(yxu),(yxB),(00yxA 0）（10 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用36:)1()3(不妨設封閉曲線不妨設封閉曲線其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為),(),(tyytxx ,10ttt ),(),(00tytx)(),(11tytx都對應都對應A點點, 則則 ACBAyyxQxyxPd),(d),(

29、 10d)()(),()()(),(ttttytytxQtxtytxP易證易證)()(),()()(),()(),(tytytxQtxtytxPtytxu 是是原函數(shù)原函數(shù).)(),()(),(0011tytxutytxu )()(AuAu . 0 yyxQxyxPyxud),(d),(),(d . 0d),(d),( yyxQxyxPLACBA是光滑的是光滑的,化為定積分化為定積分 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用37推論推論10.1(10.1(曲線積分的基本定理曲線積分的基本定理) )積分積分 LrFd區(qū)域區(qū)域G內(nèi)的一個向量場內(nèi)的一個向量場,),(),(),(yxQyxPyxF

30、設向量函數(shù)設向量函數(shù)續(xù)續(xù),是平面是平面P(x, y)及及Q(x, y)都在都在G內(nèi)連內(nèi)連且存在一個數(shù)量函數(shù)且存在一個數(shù)量函數(shù)f (x, y),使得使得,fF 則曲線則曲線在在G內(nèi)與路徑無關內(nèi)與路徑無關, 且且).()(dAfBfrFL 其中其中L為位于區(qū)域為位于區(qū)域G內(nèi)起點為內(nèi)起點為A、終點為、終點為B的任意分的任意分分段光滑曲線分段光滑曲線. 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用38定理定理10.610.6下兩個命題下兩個命題等價等價：(1)曲線積分曲線積分yyxQxyxPLd),(d),( 在在D內(nèi)與內(nèi)與xQyP (2)在在D內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立.路徑無關路徑無關;的各分量在的各分量在單

31、連通單連通區(qū)域區(qū)域D上有上有一階一階連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù),),(),(),(yxQyxPyxF 設向量函數(shù)設向量函數(shù)則以則以證證在在D內(nèi)任取一條內(nèi)任取一條閉閉曲線曲線C, 都有都有. 0dd yQxPC格林公式格林公式 CGyQxPyxyPxQdddd閉閉曲線曲線C所包圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域G完全位于完全位于D內(nèi)內(nèi),:)2()1(0 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用390dd yxyPxQGxQyP ,由于由于的連續(xù)性的連續(xù)性,在在D內(nèi)恒內(nèi)恒可以得到可以得到xQyP 成立成立.:)1()2(在在D內(nèi)任取一條內(nèi)任取一條閉閉曲線曲線C, 單連通的單連通的, 因為因為D是是閉閉曲線曲線C所包

32、圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域G完全位于完全位于D內(nèi)內(nèi),格林公式格林公式y(tǒng)xyPxQyQxPGCdddd 0 所以所以, 曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關. 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用40例例 計算曲線積分計算曲線積分,d)(d)21(22yyxxyxyL 其中其中L是是)1 , 1()0 , 0(222到到上上從從yyx 的一段有向弧的一段有向弧.xyO)1 , 1(B解解,21),(2yxyyxP ,)(),(2yxyxQ yP)(2yx xQ 曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關.L上述定理的簡單應用：上述定理的簡單應用： (1) 簡化曲線積分簡化曲線積分 10.3 格林公式及

33、其應用格林公式及其應用41曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關.xyO)1 , 1(BL所以所以可以用有向折線可以用有向折線代替有向弧代替有向弧L.如圖如圖. 于是于是,d)(d)21(22yyxxyxyL yyxxyxyd)(d)21(22 yyxxyxyd)(d)21(22 10dx0000 102d)1(yy.34 ,d)(d)21(22yyxxyxyL ).1 , 1()0 , 0(2:22到到上從上從yyxL ABOAL 10ABOA)0 , 1(A1 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用42xyO 解解.1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy

34、 d)1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關.例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422計計算算為為其其中中L.2sin)1 , 1()0 , 0(xyBO 的的曲曲線線弧弧到到點點由由點點xQyP )0 , 0()1 , 1()1 , 1(B )0 , 1( 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用43考慮表達式考慮表達式如果存在一個函數(shù)如果存在一個函數(shù)yyxQxyxPd),(d),( ),(yxu使得使得 ),(dyxu則稱則稱yyxQxyxPd),(d),( 并將并將的的一一個個稱稱為為yyxQxyxPyxuud),(d),

35、(),( yyxQxyxPd),(d),( 全微分式全微分式, ,為一為一原函數(shù)原函數(shù). .yyxQxyxPd),(d),()2( 求求的原函數(shù)的原函數(shù).定理的簡單應用：定理的簡單應用： 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用44 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分別是上面的分別是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函數(shù)原函數(shù). .全微分式全微分式. . 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用45 下面說明一般怎樣下面說明一般怎樣 判斷全微分式判斷全微分式求原函數(shù)求原函數(shù)xQ

36、yP 由定理由定理,yyxQxyxPd),(d),( 是一個是一個全微分式全微分式,即即 ),(dyxuyyxQxyxPd),(d),( (1) 判斷全微分式判斷全微分式 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用46xQyP 若若 ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPxyxPxxd),(00 ),(0yxC ),(yxB yyxQyyd),(00 D(x0, y)yyxQyyd),(0 xyxPxxd),(0 或或則則Oxy),(00yxA (2) 求原函數(shù)求原函數(shù) ),(yxu ),(yxu ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPACBADB 10.3

37、 格林公式及其應用格林公式及其應用47例例?d)2e(d)e (是是否否為為全全微微分分式式問問yyxxxyy 用曲線積分求其一個原函數(shù)用曲線積分求其一個原函數(shù).如是如是,解解 在全平面成立在全平面成立.exQyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. .e222yxxy 因而一個原函數(shù)是：因而一個原函數(shù)是：全平面為單連通域全平面為單連通域,yyxxxyxuyyxyd)2e(d )e (),(),()0 ,0( yyxyyd )2e(0 xxxd )e (00 xyO法一法一 )0 ,(x(x,y) 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用48這個原函數(shù)也可用下法這個原函數(shù)也可用下法“分

38、組分組”湊出湊出: 222edyxxy.e2),(22yxxyxuy yyxxxyyd)2e(d)e ( )dede (yxxyy )e(dyx )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用49因為函數(shù)因為函數(shù)u滿足滿足Pxxuy e故故yy2)( 從而從而所以所以,.2e),(22Cyxxyxuy 問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxxxyyd)2e(d)e ( 用曲線積分求其一個原函數(shù)用曲線積分求其一個原函數(shù).如是如是, xxuyd)e (2e2xxy )(y 由此得由此得yxy2e y的待定函數(shù)的待定函數(shù)法三法三 )(eyxy y

39、uCyyyy 2d2)( 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用50解解,2)(2xyxyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP )(),(xyyxQ xQyP 積分與路徑無關積分與路徑無關設曲線積分設曲線積分與路徑無關與路徑無關,yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導數(shù)具有連續(xù)的導數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算即即xyxy2)( 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用51xyO 10d0 x.21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由Cxx 2)( 0 C知知2)(xx )1 , 1( 設曲線積分設曲線

40、積分與路徑無關與路徑無關,yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導數(shù)具有連續(xù)的導數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用52xyO法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0 1022x .21 設曲線積分設曲線積分與路徑無關與路徑無關,yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導數(shù)具有連續(xù)的導數(shù), 其中其中, 0)0(

41、 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用53),()( 在在設設函函數(shù)數(shù)xf內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù),L是上半平面是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線內(nèi)的有向分段光滑曲線,為為(a, b), 終點為終點為(c, d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyIL 記記(1) 證明證明曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關無關;(2) 當當ab = cd 時時, 求求I 的值的值.證證)(112xyfyyyyP 因為因為 1)(22 xyfyyxxxQ

42、)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面內(nèi)所以在上半平面內(nèi)曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關無關.(1)例例其起點其起點 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用54.badc 解解(2)由于由于曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關無關,yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點起點(a, b), 終點終點(c, d).),(dc 所以所以xbxfbbIcad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfbaccad)( bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbc

43、bcabd)(d)( (2) 當當ab = cd 時時,求求I 的值的值.0tt法一法一xyO ),(ba),(bc 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用55解解(2)yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點起點(a, b), 終點終點(c, d).(2) 當當ab = cd 時時,求求I 的值的值.法二法二 I,d)(d)(yxyxfxxyyfL 2ddyyxyxLbadc 2ddyyxyxL 設設F(x)為為f (x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), 則則 yxyxfxxyyfLd)(d)( )

44、()(abFcdF.badcI 由此得由此得 Lyxd),(),(dcbayx, 0)d()(xyxyfL )dd( )(yxxyxyfL 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用56例例 求解求解 有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的逆運有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的逆運xyy (是可分離、是可分離、解解 將方程寫成將方程寫成因為左端是全微分式因為左端是全微分式所以方程變成所以方程變成得通解得通解.Cxy 三、全微分方程三、全微分方程又是齊次方程又是齊次方程 )(d xy算解出算解出. xyyxdd0dd xyyx0)(d xy 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用571. 定義定

45、義0d),(d),( yyxQxyxP則則若有全微分形式若有全微分形式如如0dd yyxx)(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當方程或恰當方程yyxxddd 是全微分方程是全微分方程.xQyP 所以所以0dd yyxx),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 全微分方程全微分方程 10.3 格林公式及其應用格林公式及其應用582. .解法解法0d),(d),( yyxQxyxP(1) 應用曲線積分與路徑無關應用曲線積分與路徑無關;xQyP 通解為通解為yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 ,d),(d),(000 xyxPyyxQxxyy Cyxu ),(2) 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法;全微分方程全微分方程(3) 用不定積分的用不定積