《固體電子學(xué)》課件：第二章

1、第二章第二章 晶格振動(dòng)和晶體的缺陷晶格振動(dòng)和晶體的缺陷 在一般溫度下，晶體內(nèi)的粒子在各自平衡位置附在一般溫度下，晶體內(nèi)的粒子在各自平衡位置附近振動(dòng)。由于粒子間存在著相互作用力，因此，各近振動(dòng)。由于粒子間存在著相互作用力，因此，各粒子的振動(dòng)相互關(guān)聯(lián)。粒子的振動(dòng)相互關(guān)聯(lián)。 當(dāng)振動(dòng)很微弱時(shí)，粒子間非諧的相互作用可以忽當(dāng)振動(dòng)很微弱時(shí)，粒子間非諧的相互作用可以忽略，可近似地用略，可近似地用簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)來處理，此時(shí)這些振動(dòng)模來處理，此時(shí)這些振動(dòng)模式是相互獨(dú)立的。式是相互獨(dú)立的。 晶格周期性條件決定了模式所取的能量值是分立晶格周期性條件決定了模式所取的能量值是分立的。這些獨(dú)立的、分立的振動(dòng)模式，可以用一

2、系列的。這些獨(dú)立的、分立的振動(dòng)模式，可以用一系列獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子聲子來描述。這樣，晶格振動(dòng)聲子來描述。這樣，晶格振動(dòng)的總體就可以看作是聲子的系統(tǒng)。的總體就可以看作是聲子的系統(tǒng)。 晶格振動(dòng)同晶體的許多晶格振動(dòng)同晶體的許多宏觀熱學(xué)性質(zhì)宏觀熱學(xué)性質(zhì)，如固體的，如固體的比熱、熱膨脹、熱導(dǎo)等問題有密切的聯(lián)系，對(duì)晶體比熱、熱膨脹、熱導(dǎo)等問題有密切的聯(lián)系，對(duì)晶體的的電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)也有很大的影響。也有很大的影響。 在研究晶體的光學(xué)、電學(xué)等宏觀性質(zhì)時(shí)，由于晶在研究晶體的光學(xué)、電學(xué)等宏觀性質(zhì)時(shí)，由于晶格振動(dòng)對(duì)光子、電子和中子等都有格振動(dòng)對(duì)光子、電子和中子等都有散射作用散射作用，而引，而引

3、入聲子概念可以把上述散射入聲子概念可以把上述散射當(dāng)作聲子與光子、電子當(dāng)作聲子與光子、電子和聲子的相互碰撞來處理和聲子的相互碰撞來處理。所以，在研究與晶格振。所以，在研究與晶格振動(dòng)有關(guān)的各種物理問題時(shí)，就變的非常形象直觀。動(dòng)有關(guān)的各種物理問題時(shí)，就變的非常形象直觀。2.1 2.1 晶格振動(dòng)和聲子晶格振動(dòng)和聲子 首先考慮一維晶格的振動(dòng)，然后把一些主要結(jié)論首先考慮一維晶格的振動(dòng)，然后把一些主要結(jié)論和方法推廣到三維晶格振動(dòng)的分析和研究中去。和方法推廣到三維晶格振動(dòng)的分析和研究中去。 2.1.1 2.1.1 一維原子晶格的振動(dòng)一維原子晶格的振動(dòng) 1.1.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 由一系列質(zhì)量為由一系列質(zhì)量為 m

4、的原子構(gòu)成的一維原的原子構(gòu)成的一維原子鏈，如圖所示，其子鏈，如圖所示，其平衡時(shí)原子間距為平衡時(shí)原子間距為a。nx用用表示第表示第n個(gè)原子個(gè)原子 的位移，第的位移，第n個(gè)原子和第個(gè)原子和第n+1個(gè)原子的相對(duì)位移為個(gè)原子的相對(duì)位移為 nnxx1 設(shè)在平衡位置設(shè)在平衡位置 在平衡位置附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，可得在平衡位置附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，可得nar 時(shí)，兩個(gè)原子間的相互作用勢(shì)時(shí)，兩個(gè)原子間的相互作用勢(shì)能為能為 ),(naU產(chǎn)生相對(duì)位移后，相互作用勢(shì)能變成產(chǎn)生相對(duì)位移后，相互作用勢(shì)能變成 );(naU,21)()(222 nanadrUddrdUnaUnaU式中第一項(xiàng)是常數(shù)，第二項(xiàng)為零（在平衡時(shí)勢(shì)能取極

5、式中第一項(xiàng)是常數(shù)，第二項(xiàng)為零（在平衡時(shí)勢(shì)能取極小值）。小值）。 當(dāng)振動(dòng)很微弱時(shí)，第當(dāng)振動(dòng)很微弱時(shí)，第n+1個(gè)原子對(duì)第個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的恢復(fù)個(gè)原子的恢復(fù)力近似為力近似為nnnannxxdrUdddUf122, 1這一近似稱為簡(jiǎn)諧近似，式中這一近似稱為簡(jiǎn)諧近似，式中nadrUd22稱為稱為恢復(fù)力常數(shù)恢復(fù)力常數(shù)，或或耦合常數(shù)耦合常數(shù)。 除第除第n+1個(gè)原子外，原子個(gè)原子外，原子n還受到第還受到第n-1個(gè)原子的個(gè)原子的作用，其表達(dá)式為作用，其表達(dá)式為11,nnnnxxf 若僅考慮相鄰原子的相互作用，則可以獲得第若僅考慮相鄰原子的相互作用，則可以獲得第 n n個(gè)原子所受到的總作用力，即個(gè)原子所受到的總

6、作用力，即)2()()(11111, 1nnnnnnnnnnnnxxxxxxxfff第第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成 ), 2 , 1(, )2(1122Nnxxxdtxdmnnnn 對(duì)每一個(gè)原子，都有一個(gè)類似上式的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)每一個(gè)原子，都有一個(gè)類似上式的運(yùn)動(dòng)方程，方程的數(shù)目和原子數(shù)相同。方程的數(shù)目和原子數(shù)相同。 格點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的格點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的解可以寫成解可以寫成式中式中qna表示第表示第 n個(gè)原子振動(dòng)的位相因子。個(gè)原子振動(dòng)的位相因子。 )(tqnainAex 當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)趍個(gè)和第個(gè)和第n個(gè)原子的位相差等于個(gè)原子的位相差等于2的整數(shù)倍的整數(shù)倍時(shí)，有時(shí)，有 ntqnaitqma

7、imxAeAex)()(即即當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)趍個(gè)原子和第個(gè)原子和第n個(gè)原子的距離滿足個(gè)原子的距離滿足，qsnama2原子因振動(dòng)而產(chǎn)生的位移相等。原子因振動(dòng)而產(chǎn)生的位移相等。 也就是說，原子振動(dòng)隨空間呈周期性變化，空間周期=2/q 2.2.格波格波 晶體中所有原子共同參與的同一種頻率的振動(dòng)，不同原子的振動(dòng)位相隨空間呈周期性變化，這種振動(dòng)以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。 這里的格波顯然是這里的格波顯然是平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波，如圖所示。如圖所示。 q2nq2 格波的波長(zhǎng)為格波的波長(zhǎng)為 格波的波矢為格波的波矢為n是是沿格波傳播方向的單位矢量。沿格波傳播方向的單位矢量。 把上述解代入運(yùn)動(dòng)方程組中，可得把上

8、述解代入運(yùn)動(dòng)方程組中，可得 即即 如圖所示，上式給出了q和的色散關(guān)系。 )cos(122qam2sin221qam 3. 3. 色散關(guān)系色散關(guān)系 波矢具有簡(jiǎn)約的性質(zhì)，可將波矢限于一個(gè)周期范圍。aqa一維晶格點(diǎn)陣的一維晶格點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) q 4 4布里淵區(qū)布里淵區(qū) 從倒格子點(diǎn)陣的原點(diǎn)出發(fā)，作出它最近鄰點(diǎn)的倒從倒格子點(diǎn)陣的原點(diǎn)出發(fā)，作出它最近鄰點(diǎn)的倒格子點(diǎn)陣矢量，并作出每個(gè)矢量的垂直平分面，所格子點(diǎn)陣矢量，并作出每個(gè)矢量的垂直平分面，所圍成的具有最小體積的區(qū)域，稱為第一布里淵區(qū)，圍成的具有最小體積的區(qū)域，稱為第一布里淵區(qū)，圖所示。圖所示。 布里淵區(qū)的邊界由倒格布里淵區(qū)的邊界由倒格矢

9、的垂直平分面構(gòu)成。矢的垂直平分面構(gòu)成。 按照上述方法，同樣可以作出第二、第三、按照上述方法，同樣可以作出第二、第三、.布布里淵區(qū)。里淵區(qū)。321321aaa32b bb bb b 第一布里淵區(qū)就是倒格第一布里淵區(qū)就是倒格子原胞子原胞，其體積是一個(gè)倒，其體積是一個(gè)倒格點(diǎn)所占的體積，與倒格格點(diǎn)所占的體積，與倒格子原胞的體積相等，即子原胞的體積相等，即 2.1.2 2.1.2 周期性邊界條件周期性邊界條件 在前面的討論中沒有考慮邊界問題，認(rèn)為一維晶體是無限的。但實(shí)際晶體總是有限的，總存在邊界，邊界原子所處的情況與體內(nèi)原子不同，相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)也與體內(nèi)原子不同。 設(shè)想一個(gè)有限晶體的長(zhǎng)度為Na，對(duì)于一維有

10、限的簡(jiǎn)單格子，第一個(gè)原胞的原子和第N+1個(gè)原胞原子的振動(dòng)情況相同，即1N1xx()1i qatxAe 其中： 因此：1iqNae (1)1i q natNxAeN要想上式成立，必須有qNa=2l（l為整數(shù)），也即q=2l/(Na)，l為整數(shù) 即描寫晶格振動(dòng)狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的值?？蓪限于簡(jiǎn)約區(qū)，即 ，所以l限于 ，由此可知，l只能取N個(gè)不同的值，q也只能取N個(gè)不同的值，這里N原胞的數(shù)目。qaa22NlN 只要晶體大小是有限的，則波矢的取值就不是連續(xù)的。波矢取值只能與宏觀參量L=Na（L是晶體的長(zhǎng)度）有關(guān)。晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù) 如果每個(gè)原胞或原子不限于一維晶體，則。晶格振動(dòng)模

11、式的數(shù)目=晶體自由度數(shù) 2.1.3 2.1.3 晶格振動(dòng)量子化晶格振動(dòng)量子化 聲子聲子經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的212Tx&勢(shì)能為：動(dòng)能為：2212Umx總能量為：221122ETUmxm x&力學(xué)量連續(xù)取值 在量子力學(xué)中，力學(xué)量用算符表示，能量算符即哈密頓算符。解薛定諤方程可得到能量的本征值：（n=0,1,2.）即能量只能取一些分立值。 對(duì)于一維簡(jiǎn)單格子的情況，只考慮最近鄰粒子間的相互作用，則晶體的勢(shì)能為：212nnnU（-）動(dòng)能為： 勢(shì)能函數(shù)包含有依賴于兩原子坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，在處理多自由度的振動(dòng)問題時(shí)，往往引入新的坐標(biāo)-正則坐標(biāo)：它與原坐標(biāo)的關(guān)系：哈密頓量可以消去交叉項(xiàng)：該坐標(biāo)體系下的總能量：

12、212nnTm&( )( )iqnaqnnmQ tt eN2221()2qqqqHPQ()1()2qqqEn N個(gè)原子的集體振動(dòng)可以轉(zhuǎn)化為N個(gè)獨(dú)立的諧振子。各諧振子的能量是量子化的。 可以用獨(dú)立諧振子的振動(dòng)來描述格波的獨(dú)立模式。 聲子是晶格振動(dòng)中簡(jiǎn)諧振子的能量量子，聲子具有能量 ，動(dòng)量 ，但聲子只反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元，不能脫離固體單獨(dú)存在，并不是一種真實(shí)的粒子，只是一種準(zhǔn)粒子。hqh例如： 格波在晶體中傳播受到散射的過程可以理解為格波在晶體中傳播受到散射的過程可以理解為聲子聲子同晶體中的原子的碰撞同晶體中的原子的碰撞。 導(dǎo)電過程中電子遭受格波的散射，可以看作導(dǎo)電過程中電子遭受格波

13、的散射，可以看作電子與聲電子與聲子之間的碰撞子之間的碰撞。 光在晶體中的散射，很大程度上也可以看作是由于光子與聲子的相互作用乃至強(qiáng)烈的耦合。光電熱 2.2.1 2.2.1 一維雙原子晶格的振動(dòng)一維雙原子晶格的振動(dòng)2.2 2.2 聲學(xué)波與光學(xué)波聲學(xué)波與光學(xué)波 設(shè)相鄰兩個(gè)不設(shè)相鄰兩個(gè)不同原子構(gòu)成一個(gè)同原子構(gòu)成一個(gè)分子，分子內(nèi)兩分子，分子內(nèi)兩 原子平衡位置的間距為原子平衡位置的間距為b，恢復(fù)力常數(shù)為，恢復(fù)力常數(shù)為1 ；兩分兩分子間兩原子對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力常數(shù)為子間兩原子對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力常數(shù)為2 。質(zhì)量為。質(zhì)量為 m 的的原子位于原子位于.2n-1，2n+1，2n+3.各點(diǎn)，質(zhì)量為各點(diǎn)，質(zhì)量為 M 的原子位于的

14、原子位于.2n-2，2n，2n+1.各點(diǎn)。各點(diǎn)。 考慮由質(zhì)量分別為考慮由質(zhì)量分別為M和和m的兩種不同原子所構(gòu)成的兩種不同原子所構(gòu)成的一維復(fù)式格子，如圖所示。的一維復(fù)式格子，如圖所示。 ABba 若只考慮相鄰原子的相互作用，則第若只考慮相鄰原子的相互作用，則第 2n+1 個(gè)原個(gè)原子所受的恢復(fù)力為子所受的恢復(fù)力為 第第2n個(gè)原子所受恢復(fù)力為個(gè)原子所受恢復(fù)力為 nnnnmnxxxxf21211222212122121222nnnnMnxxxxfABba2n-1 2n 2n+1 2n+2相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為 122221212222121122222122nnnnnnnnnnxxxxd

15、txdMxxxxdtxdm其解為其解為 tqnaitqbanqintqnaitanqinBeeBxAeAex)22(12)22(2 上式代表角頻率為上式代表角頻率為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其它各點(diǎn)的位其它各點(diǎn)的位移按下列原則得出：移按下列原則得出： * * 同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。同，其振幅不同。 * * 相隔一個(gè)晶格常數(shù)相隔一個(gè)晶格常數(shù)a 的同種原子，位相差為的同種原子，位相差為qn。 把上式代入動(dòng)力學(xué)方程，把上式代入動(dòng)力學(xué)方程，整理后整理后得得 002212121221mAeBeAMiqaiqa 若若A、B 有非

16、零解，則其系數(shù)行列式必零，即有非零解，則其系數(shù)行列式必零，即 02212121221meeMiqaiqa由此可以解得由此可以解得 2122212122122sin162qamMMmMmmM 上式表明上式表明，對(duì)一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立對(duì)一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立的格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系，的格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系，即即： 2122212122122sin162qamMMmMmmMA2122212122122sin162qamMMmMmmMo和和 顯然，顯然，復(fù)式格子的振動(dòng)頻率在波矢空間內(nèi)具有周復(fù)式格子的振動(dòng)頻率在波矢空間內(nèi)具有周期性期性，即，即 qa

17、q2 實(shí)際上，實(shí)際上，當(dāng)波矢增加當(dāng)波矢增加2 /a的整數(shù)倍時(shí)，原子位的整數(shù)倍時(shí)，原子位移和色散關(guān)系不變。移和色散關(guān)系不變。 對(duì)一維復(fù)式格子，對(duì)一維復(fù)式格子，如果其晶格常數(shù)為如果其晶格常數(shù)為a，則則q值也值也限制在（限制在（-/a，/a），即），即第一布里淵區(qū)內(nèi)第一布里淵區(qū)內(nèi)。 因?yàn)橐驗(yàn)閝a介于（介于（-，），），所以有所以有 和和 212122121221max162mMMmMmmMA212122121221min162mMMmMmmMo 顯然，顯然， o 的最小值比的最小值比 的最大值還大，即的最大值還大，即 AA 支支格波頻率總比格波頻率總比 o 的頻率低。的頻率低。 實(shí)際上，實(shí)際上， o

18、 支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波光頻支格波，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為光學(xué)波光學(xué)波。 而而A 支的格波常稱為支的格波常稱為聲頻支格波聲頻支格波，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱聲學(xué)波聲學(xué)波。 現(xiàn)在，由于高頻超聲波技術(shù)的發(fā)展，聲學(xué)波也可以現(xiàn)在，由于高頻超聲波技術(shù)的發(fā)展，聲學(xué)波也可以用超聲波來激發(fā)。用超聲波來激發(fā)。 2.2.2 2.2.2 聲學(xué)波和光學(xué)波的特點(diǎn)聲學(xué)波和光學(xué)波的特點(diǎn) 下面討論復(fù)式格子中兩支格波的色散關(guān)系。下面討論復(fù)式格子中兩支格波的色散關(guān)系。* * 聲學(xué)波的色散關(guān)系聲學(xué)波的色散關(guān)系 因?yàn)橐驗(yàn)?212222121212122212122122sin161122sin162

19、qaMmmMMmmMqamMMmMmmMA令令由由 yqaMmmM2sin162222121118121112yyyy取前兩項(xiàng)，即得取前兩項(xiàng)，即得 1/212124sin()()()AqamM 該式與一維布喇菲格子中的色散關(guān)系在形式上是相該式與一維布喇菲格子中的色散關(guān)系在形式上是相同的，也具有如圖所示的特征。同的，也具有如圖所示的特征。 上述結(jié)果說明：上述結(jié)果說明：由完全相同原子所組成的布喇菲由完全相同原子所組成的布喇菲格子只有聲學(xué)波。格子只有聲學(xué)波。 * * 光學(xué)波的色散關(guān)系光學(xué)波的色散關(guān)系 因?yàn)橐驗(yàn)?近似得：近似得： 2sin412222121212qaMmmMmMMmo 21222212

20、1212122212122122sin161122sin162qaMmmMMmmMqamMMmMmmMo 光學(xué)波的頻率具有最大值，光學(xué)波的頻率具有最大值，即即 式中式中=mM/(m+M)是兩種原子的折合質(zhì)量。是兩種原子的折合質(zhì)量。 ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0q2121maxo00Aq時(shí)，當(dāng)當(dāng) 這時(shí)這時(shí)光學(xué)波頻率則為最小。光學(xué)波頻率則為最小。 （1）當(dāng)取當(dāng)取 綜合上述的討論結(jié)果，歸納如下：綜合上述的討論結(jié)果，歸納如下： 上述結(jié)論表明上述結(jié)論表明：聲學(xué)波的取值可以無限低。聲學(xué)波的取值可以無限低。 aq 時(shí)，時(shí)，聲學(xué)波的頻率有最大值聲學(xué)波的頻率有最大值，即即 212122121221162mMMmMmmM00Aq

21、，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ，聲學(xué)波的頻率有最小值聲學(xué)波的頻率有最小值。 （2）當(dāng)當(dāng) 0q 時(shí)，時(shí)，光學(xué)波的頻率有最大值光學(xué)波的頻率有最大值，為，為 2121aq當(dāng)取當(dāng)取 時(shí)，時(shí)，光學(xué)波的頻率有最小值光學(xué)波的頻率有最小值，為為 212122121221162mMMmMmmM 一維雙原子復(fù)式格子中，聲學(xué)波與光學(xué)波的色散一維雙原子復(fù)式格子中，聲學(xué)波與光學(xué)波的色散曲線如圖所示。曲線如圖所示。 * * 相鄰兩種原子的振幅之比相鄰兩種原子的振幅之比（1 1） 關(guān)于聲學(xué)波關(guān)于聲學(xué)波 12212iqaAeBAm 相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)波，號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)

22、波，相鄰原子都是沿著一個(gè)方向振相鄰原子都是沿著一個(gè)方向振動(dòng)的動(dòng)的。 于是原子的位移變成于是原子的位移變成 。）（100B/AB/A，則時(shí)，Aq當(dāng)當(dāng)122nnxx002212121221mAeBeAMiqaiqa 對(duì)長(zhǎng)聲學(xué)波，對(duì)長(zhǎng)聲學(xué)波，原胞內(nèi)不同原子以相同的振幅和位原胞內(nèi)不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)，相作整體運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)概況如圖所示。其振動(dòng)概況如圖所示。 長(zhǎng)聲學(xué)波描述的是原胞的剛性運(yùn)動(dòng)。長(zhǎng)聲學(xué)波描述的是原胞的剛性運(yùn)動(dòng)。即即：長(zhǎng)聲學(xué)長(zhǎng)聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的振動(dòng)。波代表了原胞質(zhì)心的振動(dòng)。（2 2）關(guān)于光學(xué)波，相鄰兩種原子振幅之比為）關(guān)于光學(xué)波，相鄰兩種原子振幅之比為 對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，有對(duì)于長(zhǎng)

23、光學(xué)波，有于是有于是有 , 0q 即得即得212AmMmM0 BmAM002212121221mAeBeAMiqaiqaiqaAeMAB21212 對(duì)長(zhǎng)光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的對(duì)長(zhǎng)光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動(dòng)方向相反振動(dòng)方向相反，原胞中不同原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量原胞中不同原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，小的振幅大，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。即，。即，長(zhǎng)光學(xué)波是長(zhǎng)光學(xué)波是保持原胞質(zhì)心不動(dòng)的一種振動(dòng)模式保持原胞質(zhì)心不動(dòng)的一種振動(dòng)模式。 光學(xué)波光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。 （3 3）玻恩）玻恩卡門邊界條件卡門邊界條件

24、 實(shí)際晶體總是有限的，因此存在著邊界對(duì)內(nèi)部原實(shí)際晶體總是有限的，因此存在著邊界對(duì)內(nèi)部原子振動(dòng)狀態(tài)的影響。子振動(dòng)狀態(tài)的影響。 設(shè)在一長(zhǎng)為設(shè)在一長(zhǎng)為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個(gè)相同晶體與其連結(jié)，從而形成無限長(zhǎng)的線狀窮多個(gè)相同晶體與其連結(jié)，從而形成無限長(zhǎng)的線狀晶格，且各塊晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)原子的運(yùn)動(dòng)情況相同，晶格，且各塊晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)原子的運(yùn)動(dòng)情況相同，即第即第j 個(gè)原子和第個(gè)原子和第tN+j 個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況相同，個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況相同， jtNjxx 由于原子間相互作用是短程的，在有限晶體中只由于原子間相互作用是短程的，在有限晶體中只有邊界上極少數(shù)原子的運(yùn)動(dòng)才受到相鄰

25、假想晶體的有邊界上極少數(shù)原子的運(yùn)動(dòng)才受到相鄰假想晶體的影響，而內(nèi)部絕大部分原子的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上不會(huì)受影響，而內(nèi)部絕大部分原子的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上不會(huì)受到這些假想晶體的影響。到這些假想晶體的影響。 所以有所以有 因?yàn)橐驗(yàn)?)(1tqaiAex)1(1taNqiNAex1iqNae顯然，顯然，只有只有 lqNa2時(shí)，上式才成立。時(shí)，上式才成立。 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?aqa所以所以l 的取值范圍為的取值范圍為22NlN由此可以確定，可能的取值為由此可以確定，可能的取值為 2,1 , 0 , 1,12NNl 這說明，這說明，描述晶格振動(dòng)的波矢描述晶格振動(dòng)的波矢q q 只能取一些分立只能取一些分立的值。的值。 由于每

26、個(gè)由于每個(gè)q對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的振動(dòng)模式，因此，對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的振動(dòng)模式，因此，一維一維布喇菲格子的獨(dú)立振動(dòng)模式數(shù)等于其原胞的數(shù)目布喇菲格子的獨(dú)立振動(dòng)模式數(shù)等于其原胞的數(shù)目。 進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)：晶格獨(dú)立振動(dòng)狀態(tài)數(shù)等于晶晶格獨(dú)立振動(dòng)狀態(tài)數(shù)等于晶格的自由度數(shù)格的自由度數(shù)。 在波矢空間，一維雙原子復(fù)式格子的每一個(gè)可能在波矢空間，一維雙原子復(fù)式格子的每一個(gè)可能 q值有兩個(gè)不同的頻率，一個(gè)是光學(xué)波角頻率，另值有兩個(gè)不同的頻率，一個(gè)是光學(xué)波角頻率，另一個(gè)是聲學(xué)波角頻率。一個(gè)是聲學(xué)波角頻率。對(duì)于一維雙原子的復(fù)式格子對(duì)于一維雙原子的復(fù)式格子，角頻率數(shù)為角頻率數(shù)為2N，格波數(shù)也為，格波數(shù)也為2N。于是得

27、到結(jié)論于是得到結(jié)論： * * 晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目晶體的原胞數(shù)；晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目晶體的原胞數(shù)；* * 晶格振動(dòng)頻率（模式）的數(shù)目晶格振動(dòng)頻率（模式）的數(shù)目= =晶體的晶體的自由度數(shù)自由度數(shù)。2.3 2.3 格波與彈性波的關(guān)系（格波與彈性波的關(guān)系（長(zhǎng)波近似）長(zhǎng)波近似） 下面的計(jì)算中，近似認(rèn)為兩種不同的原子恢復(fù)力常數(shù)相同，均為。則雙原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子的聲學(xué)則雙原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子的聲學(xué)波的角頻率波的角頻率與波矢與波矢q q的關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：的關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：l下面主要討論聲學(xué)波：下面主要討論聲學(xué)波：1/2222-2cos()mMmMmMqamM 當(dāng)波長(zhǎng)很長(zhǎng)時(shí)，即q很小時(shí)，長(zhǎng)聲學(xué)波的角頻率角頻

28、率與與波矢波矢q q的關(guān)系簡(jiǎn)化為：的關(guān)系簡(jiǎn)化為：1/22/ 2+qam M1/22/ 2+pvaqm M長(zhǎng)聲學(xué)波的波速vp表示為： 從角頻率的角度看，長(zhǎng)聲學(xué)波的角頻率與波矢為線性關(guān)系，這一特征與晶體中的彈性波完全一致。 實(shí)際上，由于長(zhǎng)聲學(xué)波的波長(zhǎng)比原細(xì)胞線度大得多，半個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)包含很多原胞，這些原胞整體的沿同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，因此晶格可以近似的看成連續(xù)介質(zhì)，而長(zhǎng)聲學(xué)波也就可以近似的被認(rèn)為是彈性波。 當(dāng)q趨于零時(shí)，即對(duì)長(zhǎng)聲學(xué)波，相鄰原胞中原子振動(dòng)的位相差趨近于零，振幅也趨近于相等。從波速的角度看：下面計(jì)算彈性波的波速 設(shè)有一維的連續(xù)介質(zhì)，x點(diǎn)的位移為（x），（x+dx）點(diǎn)的位移為（x+dx），連續(xù)介質(zhì)

29、因位移引起的形變?yōu)椋?xdxxdx 因形變而產(chǎn)生的恢復(fù)力為，c為介質(zhì)的彈性模量： xdxxdxF xccdxdx 作用在長(zhǎng)度為dx的介質(zhì)上的運(yùn)動(dòng)方程為： 22,dx tdxF xF xdxdt即：2222,( , )(, )( , )dx tdx tdxdx tdxcdtdxdxdx tcdx改為偏微商的符號(hào)，2222,( , )x tcx ttx 其解為：()0,i qx wtx te由此得出關(guān)系：22=cq彈性波的傳播相速度：=cvq彈對(duì)于一維復(fù)式格子，其線密度為=2mMa對(duì)于一維復(fù)式格子，在簡(jiǎn)單情況中，恢復(fù)力為：1mmdFccdxa這里的c相當(dāng)于楊氏模量。而第m+1個(gè)原子對(duì)第m個(gè)原子產(chǎn)生

30、的恢復(fù)力為：1mmF 兩式比較可得：ca由此彈性波的相速度為：1/21/22/=mMvaaamM彈彈性波與長(zhǎng)聲波的相速度完全相等。晶格的長(zhǎng)聲波可以看做彈性波2.4 2.4 聲子譜的測(cè)量方法聲子譜的測(cè)量方法 晶格振動(dòng)的頻率 與波矢 之間的關(guān)系稱為格波的色散關(guān)系，也稱為晶格振動(dòng)譜或聲子譜。q 聲子譜的測(cè)量方法主要通過中子、光子、X射線與晶格的非彈性散射；而熱中子的非彈性散射是最常用的方法，因?yàn)闊嶂凶拥哪芰亢蛣?dòng)量與聲子的產(chǎn)生或湮滅所需要的對(duì)應(yīng)值在同一數(shù)量級(jí)，所以在散射時(shí)，入射中子的能量與動(dòng)量有顯著變化。 把晶格振動(dòng)用準(zhǔn)粒子-聲子來描述，外部粒子和晶格相互作用后 的能量和動(dòng)量的變化傳遞給聲子，則外部粒

31、子和聲子之間滿足能量和動(dòng)量守恒（下面為簡(jiǎn)單，只考慮一個(gè)聲子的情況）。 光子射入晶格能夠與晶格振動(dòng)發(fā)生相互作用，這種相互作用會(huì)使晶體的晶格振動(dòng)發(fā)生相應(yīng)的變化，這種相互作用可以理解為光子受到聲子的非彈性散射。 1.1.中子的非彈性散射中子的非彈性散射原理：中子與晶體的相互作用中子與晶體中聲子的相互作用中子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射散射過程滿足能量守恒和動(dòng)量守恒：入射中子流：動(dòng)量能量kp 2=2npM從晶體中流出的中子流：=pk 2=2npMMn為中子質(zhì)量碰撞過程滿足動(dòng)量守恒和能量守恒：能量守恒：222222kkmm 動(dòng)量守恒：kkq加號(hào)表示中子放出了一個(gè)聲子，減號(hào)表示中子吸收了一個(gè)聲子。頻率：22=

32、- 2kkm波矢：=q kk實(shí)驗(yàn)中，測(cè)出入射方位上的散射中子能量與入射中子能量差，并根據(jù)散射中子束及入射中子束的幾何關(guān)系求出 ，就可決定聲子的振動(dòng)譜。kk 2.2.光的散射和光的散射和X-X-射線散射射線散射光的散射：光的散射：光子與晶體的相互作用光子與晶體中聲子的相互作用光子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射散射過程滿足能量守恒和動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：kkq能量守恒： 加號(hào)表示中子放出了一個(gè)聲子，減號(hào)表示中子吸收了一個(gè)聲子。所以：kkq 測(cè)出光子散射前后的頻率和波矢，就可以算出與光子作用的聲子的頻率與波矢。 可見光范圍，波矢為105cm-1的量級(jí)，故相互作用的聲子的波矢也在105cm-1的量級(jí)，只是布里

33、淵區(qū)中心附近很小一部分區(qū)域內(nèi)的聲子，即長(zhǎng)波聲子。（1）布里淵散射：光子與長(zhǎng)聲學(xué)波聲子的相互作用；（2）拉曼散射：光子與光學(xué)波聲子的相互作用。X-射線散射：射線散射： 為了研究整個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)的聲子振動(dòng)譜，要求光子具有較大的波矢，也就是要求光的波長(zhǎng)比較小。而X光的波矢與整個(gè)布里淵區(qū)的范圍相當(dāng)，因此常利用X光的非彈性散射來研究聲子的振動(dòng)譜。 很難精確的測(cè)量X光在散射前后的頻率差。一個(gè)典型X光光子的能量約為104ev，典型聲子的能量約為10-2ev。一個(gè)X光光子吸收或發(fā)射一個(gè)聲子而發(fā)生非彈性散射時(shí)，X光光子能量的相對(duì)變化約為10-6，在實(shí)驗(yàn)上很難分辨這么小的能量改變。2.5 2.5 晶體中的缺陷晶體中

34、的缺陷 完全理想的、無限周期排列的點(diǎn)陣構(gòu)成的晶體是不存在的。實(shí)際上實(shí)際晶體中微粒的排列等不同程度地存在著偏離嚴(yán)格周期性的情況。 2.5.1 2.5.1 點(diǎn)缺陷點(diǎn)缺陷（零維缺陷） 空位、填隙原子、雜質(zhì)原子等類型缺陷所引起對(duì)晶格周期性的破壞發(fā)生在一個(gè)或幾個(gè)晶格常數(shù)的限度范圍內(nèi)，故稱點(diǎn)缺陷點(diǎn)缺陷（約占一個(gè)原子大小的尺寸）。1.空位和填隙原子 熱激發(fā)條件下某些原子因熱起伏（能量漲落）而具有離開所在格點(diǎn)的能量，遷移到表面或進(jìn)入間隙位置，則在晶體中形成空位或空位加間隙原子 由熱起伏產(chǎn)生的空位和填隙原子叫做熱缺陷，也叫本征缺陷。常見的熱缺陷下面幾種：（1 1）弗侖克爾（）弗侖克爾（FrenkelFrenke

35、l）缺陷：缺陷：原子由正常格點(diǎn)跳到填隙位置，同原子由正常格點(diǎn)跳到填隙位置，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)空位和一個(gè)填隙原子。時(shí)產(chǎn)生一個(gè)空位和一個(gè)填隙原子?？瘴慌c填隙原子數(shù)目相等，缺陷的產(chǎn)生與復(fù)合過程相平衡。（2 2）肖特基（）肖特基（SchottkySchottky）缺陷：缺陷：晶體內(nèi)部只有空位，晶體內(nèi)部只有空位，晶體內(nèi)晶體內(nèi)部的原子遷移到晶體表面的正常格點(diǎn)上，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)部的原子遷移到晶體表面的正常格點(diǎn)上，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)空位和一個(gè)新的正常格點(diǎn)空位和一個(gè)新的正常格點(diǎn)，表面構(gòu)成新的一層，表面構(gòu)成新的一層。（3 3）晶體內(nèi)部只有填隙原子。晶體表面上的原子跑到晶體內(nèi)晶體內(nèi)部只有填隙原子。晶體表面上的原子跑到晶體內(nèi)部的間

36、隙位置。部的間隙位置。晶體內(nèi)部只有填隙原子的示意圖通常只考慮弗侖克爾缺陷和肖特基缺陷就夠了。通常填隙缺陷要產(chǎn)生，則固有原子需擠進(jìn)正常晶格間隙位置，這時(shí)所需能量要遠(yuǎn)高于形成空位的能量，故在溫度不太高時(shí)，對(duì)大多數(shù)晶體而言，形成Schottky的幾率要遠(yuǎn)大于形成Frenkel的幾率，當(dāng)然如果外來原子較小時(shí)，也可進(jìn)入間隙。2.雜質(zhì)原子 在偏離理想狀態(tài)的固體點(diǎn)缺陷中，除了熱運(yùn)動(dòng)引起的本征點(diǎn)缺陷之外，其余都為雜質(zhì)點(diǎn)缺陷。雜質(zhì)來源：1.晶體生長(zhǎng)過程中不可避免的雜質(zhì)缺陷2.有目的地改善晶體的某種性能而有控制地引入外來原子。 純粹的Ge，Si等材料的導(dǎo)電性質(zhì)并不靈敏，摻入微量的三價(jià)雜質(zhì)（B，Al，Ga，In）或

37、五價(jià)雜質(zhì)（P，As，Sb）可以使Ge，Si的電學(xué)性能發(fā)生很大的變化。例如，在105個(gè)Si原子中有一個(gè)B原子，可以使Si的電導(dǎo)增大103倍。a替代式雜質(zhì)點(diǎn)缺陷：（例 形成N型半導(dǎo)體， 形成P型半導(dǎo)體， ， ，剛玉晶體變?yōu)?紅寶石。）b填隙式雜質(zhì)點(diǎn)缺陷：例能源材料貯氫材料，H進(jìn)入金屬或 合金原子間隙。某些合金就是由C、H、O、N等較小元素 進(jìn)入金屬元素間隙而形成的。鋼摻碳，C進(jìn)入Fe原子填隙；SiP SiGa 3232OAlOCr33AlCr 對(duì)于一定的晶體而言，雜質(zhì)原子式形成替代式雜質(zhì)還是形成填隙式雜質(zhì)，主要取決于雜質(zhì)原子與基質(zhì)原子幾何尺寸的相對(duì)大小及其電負(fù)性。3.色心研究這些晶體的吸收光譜，發(fā)

38、現(xiàn)在可見光區(qū)各有一個(gè)像鐘形的吸收帶，稱為F帶，而把產(chǎn)生這個(gè)帶的吸收中心稱為F心。色心是一種非化學(xué)計(jì)量比引起的空位缺陷，這種空位可以吸收可見光，使原來透明的晶體出現(xiàn)顏色。研究體系為堿鹵化合物到很多金屬氧化物體系。 1）.F心（負(fù)離子缺位）： 將堿鹵晶體在堿金屬的蒸汽中加熱，此時(shí)堿金屬的組分超過化學(xué)比，晶格中出現(xiàn)鹵素離子的缺位，則原來透明的晶體就出現(xiàn)了顏色：NaCl變成淡黃色，氯化鉀變成紫色，氟化鋰變成粉紅色等。 以NaCl為例，出現(xiàn)了氯離子空位。由于負(fù)離子是個(gè)正電中心，能束縛電子，通?？傆幸粋€(gè)電子被束縛在它周圍，為六個(gè)最近臨的鈉離子所共有，當(dāng)晶體受激（如可見光照）時(shí)，這個(gè)束縛著的電子就可能吸收某

39、個(gè)波段的能量而被電離到導(dǎo)帶，不被吸收的光則透過，顯色，稱F心。2）.V心（正離子缺位）：將堿鹵晶體在鹵素蒸汽中加熱，此時(shí)鹵素的組分超過化學(xué)比，為保持電中性和原來晶體結(jié)構(gòu)不變，晶格中出現(xiàn)相同數(shù)量的堿金屬離子的缺位，即正離子空位。鹵素占據(jù)晶體中的格點(diǎn)位置并電離，在附近產(chǎn)生一個(gè)空穴。由于空穴帶正電，它被正離子空位形成的負(fù)電荷中心所束縛，這種由正離子空位形成的負(fù)電荷中心和被它束縛的空穴所組成的體系稱為V心。3）.其他色心：除了基本色心F心和V心以外還有一系列其它色心，B心，M心以及N心等。應(yīng)用：堿鹵晶體中的色心能制作可調(diào)激光器；BaFBr：Eu中的色心可用來存儲(chǔ)X射線的圖像，提高醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)的效率和圖像的

40、質(zhì)量。4.極化子這樣就得到了極化子的定義：一個(gè)攜帶著四周的晶格畸變而一個(gè)攜帶著四周的晶格畸變而運(yùn)動(dòng)的電子，可看作為一個(gè)準(zhǔn)粒子（電子運(yùn)動(dòng)的電子，可看作為一個(gè)準(zhǔn)粒子（電子+ +晶格的極化畸變）晶格的極化畸變），叫做極化子，叫做極化子。 當(dāng)一個(gè)電子被引入到完整的離子晶體中時(shí)，它就會(huì)使得原來的周期性勢(shì)場(chǎng)發(fā)生局部的畸變，這個(gè)電子吸引鄰近的正離子，使之內(nèi)移，又排斥鄰近的負(fù)離子使之外移，從而產(chǎn)生極化。 離子的這種位移極化所產(chǎn)生的庫(kù)侖引力趨于阻止電子從這個(gè)區(qū)域逃逸出去，即電子所在處出現(xiàn)了束縛這個(gè)電子的勢(shì)能阱，這種束縛作用稱為電子的“自陷”作用。在自陷作用下產(chǎn)生的電子束縛態(tài)稱為自陷態(tài)，它永遠(yuǎn)追隨著電子從晶格中一處移至另一處。 2.5.2 2.5.2 線線缺陷缺陷當(dāng)晶格的周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一條線的周圍近鄰，這就稱為線缺陷。位錯(cuò)就是典型的線缺陷。點(diǎn)缺陷